小升初數(shù)學(xué)易考30個(gè)題型匯總及知識(shí)點(diǎn)大全

1、12018小升初數(shù)學(xué)易考30個(gè)題型匯總及知識(shí)點(diǎn)大全一、 工程問題;1甲乙兩個(gè)水管單獨(dú)開，注滿一池水，分別需要20小時(shí)，16小時(shí).丙水管單獨(dú)開，排一池水要10小時(shí)，若水池沒水，同時(shí)打開甲乙兩水管，5小時(shí)后，再打開排水管 丙，問水池注滿還是要多少小時(shí)？解：1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率9/80X5=45/80表示5小時(shí)后進(jìn)水量1-45/80=35/80表示還要的進(jìn)水量35/80-(9/80-1/10) =35表示還要35小時(shí)注滿答：5小時(shí)后還要35小時(shí)就能將水池注滿。2修一條水渠， 單獨(dú)修，甲隊(duì)需要20天完成，乙隊(duì)需要30天完成。如果兩隊(duì)合作， 由于彼此施工有影響，他們的工作效率就

2、要降低，甲隊(duì)的工作效率是原來的五分之 四，乙隊(duì)工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計(jì)劃16天修完這條水渠，且要求兩隊(duì) 合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊(duì)要合作幾天？解：由題意知，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。又因?yàn)?，要求“兩?duì)合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi) 實(shí)在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少”。 設(shè)合作時(shí)間為x天，則甲獨(dú)做時(shí)間為(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=1 x=10答：甲乙最短合作10天3.一件工作，甲、乙

3、合做需4小時(shí)完成，乙、丙合做需5小時(shí)完成?，F(xiàn)在先請(qǐng)甲、 丙合做2小時(shí)2后，余下的乙還需做6小時(shí)完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時(shí)？ 解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時(shí)的工作量，1/5表示乙丙合作1小時(shí)的工作 量 （1/4+1/5）X2=9/10表示甲做了2小時(shí)、乙做了4小時(shí)、丙做了2小時(shí)的工 作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成”可知甲做2小時(shí)、乙做6小時(shí)、丙做2小時(shí)一共的工作量為1。所以19/10=1/10表示乙做6-4=2小時(shí)的工作量。1/10-2=1/20表示乙的工作 效率。1-1/20=20小時(shí)表示乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。答：乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。4.一項(xiàng)工程

4、，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天 甲做，這樣交替輪流做，那么完工時(shí)間要比前一種多半天。已知乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要多少天完成？解：由題意可知，1/甲+ 1/乙+ 1/甲+ 1/乙+.+1/甲=1 1/乙+ 1/甲+ 1/乙+ 1/甲+1/乙+1/甲X0.5=1（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則 第二種做法就不比第一種多0.5天）1/甲=1/乙+ 1/甲X0.5（因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁?都相等） 得到1/甲=1/乙X2又因?yàn)?/乙=1/

5、17所以1/甲=2/17，甲等于17-2=8.5天答：甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要8.5天完成。5師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時(shí)，徒弟完成了120個(gè)。當(dāng)師傅3完成了任務(wù)時(shí)，徒弟完成了4/5，這批零件共有多少個(gè)？答案為300個(gè)120+(4/5-2)=300個(gè) 可以這樣想：師傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出 第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個(gè)。6.一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？答案是15棵 算式：1+(1/6-1/10)=15棵7一

6、個(gè)池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管， 乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完， 丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時(shí)， 打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管， 多少分鐘將水放完？答案為45分鐘。1+(1/20+1/30) =12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘 數(shù)。1/12*(18-12) =1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的水。1/2+18=1/36表示甲每分鐘進(jìn)水最后就是1+(1/20-1/36) =45分鐘。8某工程隊(duì)需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完

7、成，若乙隊(duì)去做， 要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？答案為6天 解：由“若乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì) 單獨(dú)做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量=甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3:2甲、乙分別做全部的的工作時(shí)4間比是2：3時(shí)間比的差是1份 實(shí)際時(shí)間的差是3天 所以3-(3-2)X2=6天，就是甲的時(shí)間，也就是規(guī)定日期 方程方法：1/X+1/(x+2)X2+1/(x+2)x(x-2) =1解得x=6二、數(shù)字?jǐn)?shù)位問題9把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫下來得到一個(gè)多位數(shù)123456789.

8、2005,這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少?解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那 么這個(gè)數(shù)也能被9整除；如果各個(gè)位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這 個(gè)數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=4；5 45能被9整除依次類推：1 1 999這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除1019,20299099這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+90=450它有能被9整除同樣的道理，100900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除 也就是說1999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除； 同樣的道

9、理：10001999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個(gè)位 上的數(shù)字之和可以 被9整除(這里千位上的“1”還沒考慮，同時(shí)這里我們少5200020012002200320042005從10001999千位上一共999個(gè)“1”的和是999，也 能整除；200020012002200320042005的各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。 最后答案為余數(shù) 為0。10.A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求大值。(A-B)/(A+B)的最大值是：98/10011.已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的準(zhǔn)確值是多少?答案為6.375或6.4375因?yàn)锳/2+B/4

10、+C/16=8A+4B+C/126.4,所以8A+4B+&102.4，由于A、B C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個(gè)整數(shù)，可 能是102，也有可能是103。當(dāng)是102時(shí)，102/16=6.375當(dāng)是103時(shí)，103/16=6.437512.一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位 數(shù)的百位數(shù)A+B分之A-B的最小值解：(A-B)/(A+B)(A+B -2B)/(A+B)=1-2B/(A+B)前面的1不會(huì)變了，只需求后面的最小值，此時(shí)(A-B)/(A+B)最大。 對(duì)于B /(A+B)取最小時(shí)，(A+B)/B取最大，問題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最(A

11、+B)/B=1 + A/B，最大的可能性是A/B=99/1 (A+B)/B=1006字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).答案為476解：設(shè)原數(shù)個(gè)位為a,則十位為a+1,百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a100(16-2a)-10a-a=198解得a=6,貝 Sa+1=716-2a=4答：原數(shù)為476。13一個(gè)兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù).答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a,則該三位數(shù)為300+a 7a+24=300+a a=24答：該兩位數(shù)為24。14.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字

12、交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰 好是某自然數(shù)的平方,這個(gè)和是多少?答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b,則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a= 11( a+b)因?yàn)檫@個(gè)和是一個(gè)平方數(shù)，可以確定a+b=11因此這個(gè)和就是11X11=121答：它們的和為121。15一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2,則新六位數(shù)為2abcde(字母上無法加橫線，請(qǐng)將整個(gè)看成一個(gè)六位數(shù))再設(shè)abcde(五位數(shù))為x，則原六位數(shù)就是10 x+2,新六位數(shù)就 是200000+x7根據(jù)題意得，（200000+x）

13、x3=10 x+2解得x=85714所以原數(shù)就 是8571421 6有一個(gè)四位數(shù),個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如 果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求 原數(shù).答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abed，則新數(shù)為edab，且d+b=12,a+c=9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376二edab,列豎式便于觀察abed 2376 edab根據(jù)d+b=12,可知d、b可能是3、9;4、8;5、7;6、6。再觀察豎式中的個(gè)位，便可以知道只有當(dāng)d=3,b=9;或d=8,b=4時(shí)成立。先取d=3,b=9代入豎式的百位,可

14、以確定十位上有進(jìn)位。根據(jù)a+e=9,可知a、e可能是1、8;2、7;3、6;4、5。再觀察豎式中的十位,便可知只有當(dāng)e=6,a=3時(shí)成立。 再代入豎式的千位,成立。 得到：abed=3963再取d=8,b=4代入豎式的十位,無法找到豎式的十位合適的數(shù),所以不成立。17如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,那么在經(jīng)過28799.99（一共有20個(gè)9）分鐘之 后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分?答案是10：20解：（287999（20個(gè)9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時(shí)間仍然還是10：21,因?yàn)槭孪扔?jì)算時(shí)加了1分鐘,所以現(xiàn)在時(shí)間是10：20三、排列組合問題18有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)

15、相鄰的排法有()A 768種B 32種C 24種D 2的10次方種 解：根據(jù)乘法原理，分兩步：8第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5X4X3X2X1=120種不同的排法, 但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120-5=24種。第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對(duì)夫妻均有2種排法，總 共又2X2X2X2X2=32種 綜合兩步，就有24X32=768種。19.若把英語單詞hello的字母寫錯(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有()A 119種B 36種C 59種D 48種解：全排列5*4*3*2*1=120有兩個(gè)l所以120/2=60原來有一種正確的

16、所以60-1=59四、追及問題2 0慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢 車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車 需要多少時(shí)間？答案為53秒算式是(140+125)-(22-17)=53秒 可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點(diǎn)追 及慢車車頭的點(diǎn)，因此追及的路程應(yīng)該為兩個(gè)車長的和。21在300米長的環(huán)形跑道上， 甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑， 甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米， 兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？ 答案為100米300+(5-4.4) =500秒，表示追及時(shí)間

17、5X500=2500米，表示甲追到乙時(shí)所行的路程2500+300=8圈100米，表示甲追及總路程為8圈還9多100米，就是在原來起跑線的前方1 00米處相遇。22一個(gè)人在鐵道邊， 聽見遠(yuǎn)處傳來的火車汽笛聲后， 在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面， 已知火車鳴笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度(得 出保留整數(shù))答案為22米/秒 算式：1360-(1360-340+57)22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時(shí)車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方 行出1360+340=4秒的路程。也就是1 360米一共用了4+57=61秒。23.獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只

18、奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步 子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間， 兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步”可知同一時(shí)間，獵犬跑2a米，兔子 可跑5/9a*3=5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a=6：5，也就是說 當(dāng)獵犬跑60米時(shí)候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完。24.AB兩地，甲乙兩人騎自行車行完全程所用時(shí)間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時(shí)從AB兩地相對(duì)行使,4

19、0分鐘后兩人相遇，相遇后各自繼續(xù)前行，這樣，乙到達(dá)A地 比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘？答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y列式40 x+40y=1 x:y=5:4得x=1/72 y=1/9010走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘 故得解25一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時(shí)；逆流8小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？答案是96千米解：（1/6-1/8） -2=1/48表示水速的分率2-1/48=96千米，表示總路程26.快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，快車每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全 程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程。答案

20、是198千米解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時(shí)間比為3：4所以快車行全程的時(shí)間為8/4*3=6小時(shí)6*33=198千米27小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時(shí).已知,騎車每小時(shí)12千米,乘車每小時(shí)30千米,問:甲 乙兩地相距多少千米？答案是37.5千米解：把路程看成1,得到時(shí)間系數(shù)去時(shí)時(shí)間系數(shù)：1/3-12+2/3-30返回時(shí)間系數(shù)：3/5-12+2/5-30兩者之差：(3/5-12+2/5-30)-(1/3-12+2/3-30)=1/75相當(dāng)于1/2小時(shí) 去時(shí)時(shí)間：1/2X(1/3-12) -1/75和

21、1/2X(2/3-30)1/75路 程：12X1/2X(1/3-12)-1/75+30X1/2X(2/3-30)1/75=37.5(千 米)五、比例問題28甲乙兩人在河邊釣魚,甲釣了三條,乙釣了兩條,正準(zhǔn)備吃,有一個(gè)人請(qǐng)求跟他們 一起吃,于是三11人將五條魚平分了,為了表示感謝,過路人留下1 0元,甲、乙怎么分？ 答案：甲收8元,乙收2元。解： “三人將五條魚平分,客人拿出10元”,可以理解為五條魚總價(jià)值為30元, 那么每條魚價(jià)值6元。 又因?yàn)椤凹揍灹巳龡l”，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6=18元，“乙釣了兩條”，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*6=12元。而甲乙兩人吃了的價(jià)值都是10元，所以，甲還可

22、以收回18-10=8元 乙還可以收 回12-10=2元?jiǎng)偤镁褪强腿顺龅腻X。29一種商品,今年的成本比去年增加了10分之1,但仍保持原售價(jià),因此,每份 利潤下降了5分之2,那么,今年這種商品的成本占售價(jià)的幾分之幾？答案是22/25最好畫線段圖思考：把去年原來成本看成20份,利潤看成5份,則今年的成本提高1/10,就是22份, 利潤下降了2/5,今年的利潤只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤的2份。售 價(jià)都是25份。所以,今年的成本占售價(jià)的22/2530.一個(gè)圓柱的底面周長減少25%要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來的高度比是 多少？答案為64:27解：根據(jù)“周長減少25%”，可知周長是原來的3

23、/4，那么半徑也是原來的3/4，則面積是原來的9/16。 根據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來的4/3。體積+底面積=高現(xiàn)在的高是4/3-9/16=64/27，也就是說現(xiàn)在的高是原來的高的64/27或者現(xiàn)在的高：原來的高=64/27:1=64:27小學(xué)奧數(shù)29個(gè)知識(shí)點(diǎn)大全12一、和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件：幾個(gè)數(shù)的和與差、幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)、幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍：已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式：（和差）+2二較小數(shù)較小數(shù)+差二較大數(shù)和-較小數(shù)二較大數(shù)2：（和+差）2二較大數(shù)較大數(shù)-差二較小數(shù)和-較大數(shù)二較小數(shù)和寧（倍數(shù)+1）=小數(shù)小數(shù)x倍數(shù)二大數(shù)和-小數(shù)二大數(shù)差 r

24、倍數(shù)-i)=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)小數(shù)+差二大數(shù)2.年齡問題的三個(gè)基本特征：1兩個(gè)人的年齡差是不變的；2兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；3兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3.歸一問題的基本特點(diǎn)：13問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度” 等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4.植樹問題基本類型：在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線 上植樹，兩端都不植樹，在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹，封閉曲 線上植樹基本公式：棵數(shù)二段數(shù)+1棵距X段數(shù)二總長 棵數(shù)二段數(shù)1棵距X段數(shù)二總長 棵數(shù)二段數(shù)棵距X段數(shù)二總長關(guān)

25、鍵問題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5.雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換 出來；基本思路:1假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：2假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；3每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；4再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑?把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+ （兔腳數(shù)雞腳數(shù)）2把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+ （兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差 。6.盈虧問題14基本概念：一定量的對(duì)象，

26、按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分 組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì) 象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根 據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量.基本題型：1一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）寧兩次每份數(shù)的差2當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）寧兩次每份數(shù)的差3當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）寧兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的 關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7.牛

27、吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量=（較長時(shí)間x長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間x短時(shí)間牛頭數(shù)）+（長時(shí)間-短時(shí)間）；總草量二較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間x生長量；8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。15周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天；1年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平

28、年：一年有365天。1年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；9.平均數(shù)基本公式：平均數(shù)二總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量二平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)二總數(shù)量+平均數(shù)2平均數(shù)二基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和+總份數(shù)基本算法：1求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算.2基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接 近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求 出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就 是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。10.抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么

29、必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下 四種情況：14=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有216個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中nm那么必有一個(gè)抽屜至少有1k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。2k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和

30、抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11.定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算, 然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。2每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12.數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；項(xiàng)數(shù): 等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用

31、d表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；17數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1,an, d,n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量,如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè), 就可以求這第四個(gè)。基本公式：通項(xiàng)公式：an二a1+(n1)d;通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1)公差；數(shù)列和公式：sn，二(a1+ an)n2;數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2;項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)d+1;項(xiàng)數(shù)二(末項(xiàng)-首項(xiàng))公差+1;公差公式：d =(ana1) )(n1);公差二（末項(xiàng)首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)1）;關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量

32、，確定使用的公式;13.二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4二An 10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n- 7+.+A3102+A2101+A1100注意：N0=1;N1二N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用01兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）= An2n-1+A n-12 n-2+A n-22 n-3+A n-32 n-4+A n-42 n-5+A n-6

33、2 n-7+A322+A221+A12018注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：1根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次所得 的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。2先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第 二類方法中有m2種不同方法.，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可

34、完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方法，不管 第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法. 不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：mix m2xmn種不同的方法。 關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。191數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一1）;2數(shù)角規(guī)律=1+2+

35、3+（射線數(shù)一1）;3數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)二長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)：4數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1x1+2X2+3X3+行數(shù)x列數(shù)15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除 法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中a1、a2、a3.an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1a2a3.van求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1

36、) x (r2+1) x (r3+1) xx (rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16.約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。 公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾 個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約 數(shù)乘以m例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;2018的約數(shù)有

37、：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6;求最大公約數(shù)基本方法：1、 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、 短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、 輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最 大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48;18的倍數(shù)有：18、36、54、72;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作12,18=

38、36;最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17.數(shù)的整除一、 基本概念和符號(hào)：1、 整除：如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒有余數(shù), 那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”；因?yàn)榉?hào)“T”，所以的符號(hào)21“ ” 二、 整除判斷方法：1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被& 125

39、整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 &125整除。4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被7整除：1末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。2逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6.能被11整除:1末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。2奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。3逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被13整除：1末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。2逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性

40、質(zhì)：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。2218.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得ab=q.r，且0rb,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：1余數(shù)小于除數(shù)。2若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。3a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余 數(shù)。4a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b

41、除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19.余數(shù)、同余與周期、同余的定義:1若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。2已知三個(gè)整數(shù)a、b、m如果m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a三b(mod m),讀作a同余于b模m二、 同余的性質(zhì)：1自身性：a三a(mod m);2對(duì)稱性：若a三b(mod m),貝卩b三a(mod m);3傳遞性：若a三b(mod m),b三c(mod m),貝 Sa三c(mod m)4和差性：若a三b(mod m),c三d(mod m),貝 Sa+c三b+d(mod m),a-c三b-d(mod m);5相乘性：若a三b(mod m), c三d(mod

42、m),貝 Saxc三bxd(mod m);6乘方性：若a三b(mod m),貝 San三bn(mod m);237同倍性：若a三b(mod m),整數(shù)c,貝 Saxc三bxc(mod mxc);三、 關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：1若A=ax b,貝卩MA=Mxb=(Me)b2若B=c+d則MB二Mc+d=MfcMd四、 被3、9、11除后的余數(shù)特征：1一個(gè)自然數(shù)M n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M n(mod 9)或(mod 3);2一個(gè)自然數(shù)M X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，丫表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，貝卩 葉Y-X或 葉11-(X-Y)(mod 11);五、 費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(

43、素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三1(mod p)20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 基本概念與性質(zhì): 分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不 變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：1逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。2對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。3轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成 比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的

44、是一倍量）下的分率轉(zhuǎn) 化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。4假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè) 某種情況成立，24計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。5量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何 變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間 的差量不變化。6替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗 化。7同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。8

45、濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21.分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法:1通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。2通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。3基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。4分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越 大。5倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法 外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。(具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律)6轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分?jǐn)?shù)的值)后進(jìn)行比較。7倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，

46、結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。8大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。9倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。10基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22.完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：251.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。2.除以3余0或余1;反之不成立。3.除以4余0或余1;反之不成立。4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2二(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：（X+Y 2=X2+2

47、XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y223.比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的 后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad二be。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。24.綜合行程26基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程二速度x時(shí)間；路程寧時(shí)