高中新課標數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點匯整(三)

1、高中新課標數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點匯整（三）13函數(shù)零點的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法.14求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：審題認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；建模通過抽象概括，將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；解模求解所得的數(shù)學(xué)問題；回歸將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；建立分段函數(shù)模型；建立指數(shù)函數(shù)模型；建立型。恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.af(x)恒成立af(x)max,;af(x)恒成立af(x)min; 15導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)

2、定義：f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)記作；常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ； 。導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：所給點是切點嗎？所求的是“在”還是“過”該點的切線？注意：過某點的切線不一定只有一條; 如：已知函數(shù)，過點作曲線的切線，求此切線的方程（答：或）。 導(dǎo)數(shù)幾何物理意義:k=f/(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。Vs/(t)表示t時刻即時速度,a=v(t)表示t時刻加速度。如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_（答：5米/秒）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性： 是增函數(shù)； 為減函數(shù)；研究單調(diào)性步驟:分析y=f(x)定義域;

3、求導(dǎo)數(shù);解不等式f/(x)>0得增區(qū)間;解不等式f/(x)<0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點; 如：設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_（答：）；利用導(dǎo)數(shù)求極值：求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；檢驗在根左右兩側(cè)符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：求的根；求區(qū)間端點值（如果有）；把極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。如：（1）函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是_（答：5；）；（2）已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù)，那么bc有最_值_答：大，）（3）方程的實根的個數(shù)為_（答：1）特別提醒：（1）是

4、極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是0，0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！如：函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為_（答：7）14（理科）定積分 定積分的定義：定積分的性質(zhì)： （常數(shù)）； （其中。微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：定積分的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積：； 求變速直線運動的路程：；求變力做功：第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形1角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧長公式：；扇形面積公式：。如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧

5、度，求該扇形的面積。（答：2） 2三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點為，設(shè)則：3三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；4誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變,符號看象限” (注意：公式中始終視a為銳角)5函數(shù)y=b（）五點法作圖;振幅?相位?初相? 周期T=,頻率?=k時奇函數(shù); =k+時偶函數(shù).對稱軸：；對稱中心：； 對稱軸：；對稱中心：；總之，函數(shù)在對稱軸處取得最值,在對稱中心處值為0;余弦正切可類比.如（1）函數(shù)的奇偶性是_（答：偶函數(shù)）；（2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_（答：5）；（3）函數(shù)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是_、_（答：、）；（4）已知為偶函數(shù)，求的值。（答：）6同角三角

6、函數(shù)的基本關(guān)系：；如：知，則_；_（答：；）；7兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 。8二倍角公式：；。如：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_（答：）9正、余弦定理正弦定理（是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個；注：等三個。術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉(zhuǎn)至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角的取值范圍是：0°360°等10。幾個公式:三角形面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=巧變角：如，等如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為_（答：）輔助角公式中輔助角的確定：(其中)如：（1）當(dāng)函

7、數(shù)取得最大值時，的值是_(答：)；（2）如果是奇函數(shù)，則=(答：2)；11已知時三角形解的個數(shù)的判定： AbaCh其中h=bsinA,A為銳角時：a<h時，無解；a=h時，一解（直角）；h<a<b時，兩解（一銳角，一鈍角）；ab時，一解（一銳角）。A為直角或鈍角時：ab時，無解；a>b時，一解（銳角）。第四部分 數(shù)列1定義：等差數(shù)列 ；等比數(shù)列 ；等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項。提醒：等差（等比）數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：

8、、及，其中、（）稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）；奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要對分和兩

9、種情形討論求解。不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數(shù)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關(guān)系為_2等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.如 等差數(shù)列中，則_ ；在等差數(shù)列中，且，是其前項和，則（ ）A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0 D、都小于0，都大于0(4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，

10、而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（這里即）；。如 在等差數(shù)列中，S1122，則_；項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù).（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè)與是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么_；(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函

11、數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值；若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是 ；3.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時，則有，特別地，當(dāng)時，則有.如在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 。(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則.；在等比數(shù)列中，為

12、其前n項和，若，則的值為_ _；(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時，這里，但，這是等比數(shù)列前項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 (5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為 ；(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)

13、列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 ；4.數(shù)列的通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。如已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：_；已知（即）求，用作差法：。如已知的前項和滿足，求；數(shù)列滿足，求已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，則_ ；若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，則=_ ；已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，前項和，若，求已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如已知，求；已知，求；（7）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。如已知，求；已知數(shù)列滿

14、足=1，求；注意：（1）用求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。注：當(dāng)遇到時，要分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果是分段形式。如數(shù)列滿足，求；5.數(shù)列求和的常用方法：（1） 公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；（2） 常用公式：，.如等比數(shù)列的前項和S2，則_ ；計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)進行處理的。二進制即“逢2進1”，如表示二進制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是，那么將二進制轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)

15、是 ；（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和. 如求和：（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如已知，則_；（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如設(shè)為等比數(shù)列，已知，求數(shù)列的首項和公比；求數(shù)列的通項公式.；設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；令，求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大小。（5）裂

16、項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：； ；，； ；.如求和： ；在數(shù)列中，且S，則n_ ；（6）通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運用分組求和法求和。如求數(shù)列1×4，2×5，3×6，前項和= ；求和： ；6.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題(1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.(2)利率問題：單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：（等差數(shù)列問題）；復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足：（等比數(shù)列問題）.如（1）家用電器一件2000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一個月，