第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)_第1頁
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文檔簡介

1、第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)要求:掌握二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念并了解其幾何意義。熟練地求出多元函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn):二元(三元)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。難點(diǎn):求分段函數(shù)分段偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)的連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存間關(guān)系。作業(yè):習(xí)題82()一二元函數(shù)增量設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)在取得增量,而保持不變時(shí),函數(shù)得到一個(gè)改變量 稱為函數(shù)對(duì)于的偏增量 類似地稱為函數(shù)對(duì)于的偏增量 對(duì)于自變量分別在取得增量,而函數(shù)相應(yīng)的增量 稱為函數(shù)的全增量二偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法問題提出:在研究一元函數(shù)時(shí),引入導(dǎo)數(shù)是為了精確地刻畫函數(shù)的變化率,對(duì)于二元函數(shù)同樣要研究其變化率,這要比一元函數(shù)問題復(fù)雜的多,因?yàn)閺亩x域內(nèi)某點(diǎn)出發(fā),作為自變量的點(diǎn)可沿

2、不同方向變化,一般地講沿不同方向函數(shù)的變化率也各不同,這里我們著重考慮當(dāng)沿著平行于軸,平行于軸方向變化時(shí),函數(shù)的變化情況只要在變動(dòng),而固定為,則二元函數(shù)變?yōu)橐辉瘮?shù),它對(duì)的導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)1偏導(dǎo)數(shù)定義定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)固定在,而在處有增量時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有偏增量 若增量比的極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)記為,類似地,函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為 , ,說明如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)或?qū)Φ钠珜?dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是的二元函數(shù),稱為函數(shù)對(duì)自變量或?qū)Φ钠珜?dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù) 記 , , , ()偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值2偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算從偏導(dǎo)數(shù)的定義

3、看出,求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),并不需要新的方法,實(shí)際上是一元函數(shù)的求導(dǎo)問題 如:二元函數(shù),求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要把暫時(shí)看作常數(shù)而對(duì)求導(dǎo)數(shù);求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要把暫時(shí)看作常數(shù)而對(duì)求導(dǎo)數(shù)例1. 設(shè)二元函數(shù),求, 解 ,類似地,可定義三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),例2. 設(shè)三元函數(shù),求偏導(dǎo)數(shù)解 ; 例3. 設(shè) ,求證 證明 因?yàn)椋苑匠套筮呌疫?練習(xí):求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 例4. 設(shè)函數(shù) ,求,解 , 在第一節(jié)中已經(jīng)知道這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)并不連續(xù),但是它的偏導(dǎo)數(shù)存在值得注意的是:對(duì)于一元函數(shù),函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)上必連續(xù),但是對(duì)于多元函數(shù)這個(gè)結(jié)論不一定成立,如上例中函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)存在,但在不連續(xù),因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在只能保證動(dòng)點(diǎn)沿平行于軸方向趨于時(shí),函

4、數(shù)趨近于,而不能保證動(dòng)點(diǎn)按任何方向趨于時(shí),函數(shù)都趨于3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)為曲面上的一點(diǎn),過作平面截此曲面得一 條曲線,此曲線在平面上的方程為,則對(duì)偏導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率(即對(duì)的變化率)同樣偏導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率(即對(duì)的變化率)例5曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)于軸的傾角是多少?解 因?yàn)?,所以三高階偏導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù) ,(它們?nèi)允巧系亩瘮?shù)) ,若這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在,則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按對(duì)變量求偏導(dǎo)數(shù)的次序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù) , ,其中,稱為混合偏導(dǎo)數(shù)同樣可引入三階,四階階偏導(dǎo)數(shù),二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例6. 設(shè)函數(shù),求各二階偏導(dǎo)數(shù)解 , ,從這個(gè)例子可看出兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等,即定理 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等換句話,二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)例7. 設(shè)函數(shù),其中的二階導(dǎo)數(shù)存在,求,解 , ,例8驗(yàn)證函數(shù), 滿足方程 (稱此方程為拉普拉斯方程)證

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