《高等數(shù)學(xué)教學(xué)》

1、編輯ppt 第九章第九章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題三、條件極值三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法編輯pptxyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值極大值(極小值極小值).例如例如 :在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極小值為有極小值為0;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極大值為有極大值為R;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 無極值無極值.極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf

2、),(),(00yxfyxf或2243yxz222yxRz yxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有xyzxyz編輯ppt例例1:1:討論函數(shù)討論函數(shù)及及是否取得極值是否取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,在在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此因此 z(0,0) 不是極值不是極值.因此因此,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值為極小值. .正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02BAC33yxz可能為可能為0)()0 , 0()0 , 0

3、(222yxz編輯ppt說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn) . 例如例如,定理定理1 1 ( (必要條件必要條件) )函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0)y,(xf,0)y,(xf00y00 x 取得極值取得極值 ,取得極值取得極值取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值且在該點(diǎn)取得極值 , 則有則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0y

4、xfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 編輯ppt時時, 具有極值具有極值定理定理2 2 ( (充分條件充分條件) )的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且且令令則則: 1) 當(dāng)當(dāng)A0 時取極小值時取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)證明見證明見 第九節(jié)第九節(jié)(P65) . 時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC編

5、輯ppt例例2.2. 求函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233編輯ppt在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,2)

6、處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC編輯ppt二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且且只有一個只有一個極值點(diǎn)極值點(diǎn)P

7、 時時, )(Pf為極小為極小 值值)(Pf為最小為最小 值值( (大大) )( (大大) )依據(jù)依據(jù)編輯ppt例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為則水箱所用材料的面積為令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yy

8、xA因此可因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為即當(dāng)長、寬均為高為高為時時, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233編輯ppt三、條件極值三、條件極值極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: ,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz 引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)),(),(yxyxfF輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格則極值點(diǎn)滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為朗日函數(shù)求極

9、值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.編輯ppt推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形個約束條件的情形. 設(shè)設(shè)解方程組解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn)可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F編輯ppt則問題為求則問題為求x,y ,解方程組解方程組解解: 設(shè)設(shè) x,y ,z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,z 使在條件使在條件xF02

10、 )zy(yz yF02 )zx(xz zF02 )xy(xy 02222 axzyzxy)z , y,x( )z ,y,x(yzxv000 )azxyzyx(xyzL:2222 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)xyz.a的的體體積積而而體體積積為為最最大大的的長長方方體體：求求表表面面積積為為例例24下，求函數(shù)下，求函數(shù)的最大值的最大值.(1)(2)(3).aV,azyxzyx336666 最最大大體體積積體體積積最最大大時時，代代入入條條件件中中得得編輯ppt.)a,z ,y,x(azyxxyzu下下的的極極值值在在附附加加條條件件、求求函函數(shù)數(shù)例例0000 11115 )azyx(xyzL:

11、1111 解：作拉格朗日函數(shù)解：作拉格朗日函數(shù)010101222 )z(xyL,)y(xzL,)x(yzLzyx azyx3 處處有有極極小小值值，在在點(diǎn)點(diǎn)（數(shù)數(shù)由由極極值值的的充充分分條條件件，函函)a,aau333.au327 極極小小值值編輯ppt內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn)利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組即解方程組第二步第二步 利用充分條件利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法一般問題用拉格朗日乘數(shù)法編輯ppt設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值下的極值,解方程組解方程組第二步第二步 判別