北師大版一次函數(shù)知識點與習題

1、一次函數(shù)知識點總結基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。 例題：在勻速運動公式5 ="中，I，表示速度，/表示時間，$表示在時間/內所走的路程，則變量是 ，常量是o在圓的周長公式02 nr中，變量是，常量是.2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把X稱為自變量，把y稱為因變量，y是X的函數(shù)。例題：下列函數(shù)(1) y=n x (2)y=2x-l (3)y=-(4)y=2-3x (5)y=x:-l 中，是一次函x數(shù)的有()(A) 4 個 (B)

2、 3 個 (C) 2 個 (D) 1 個3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。(x的取值范圍) 一次函數(shù)1.自變量X和因變量y有如下關系：y=kx+b (k為任意不為零實數(shù)，b為任意實數(shù))則此時稱y是x的一次函數(shù)。特別的，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx (k為任意不為零實數(shù))定義域：自變量的取值范圍,自變量的取值應使函數(shù)有意義;要與實際有意義。2 .當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。一次函數(shù)性質：1在一次函數(shù)上的任意一點P (x, y),都滿足等式：y=kx+b(kW0)。2 一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0, b),與x軸總是交于(-b/k

3、, 0)正比例函數(shù)的圖像總是 過原點。3 .函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變量過程中兩個變量之間的關系。特別地，當b=0時，直線通過原點0 (0, 0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時，當k>0時，直線只通過一、三象限；當kVO時，直線只通過二、四象限。4、特殊位置關系當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中K值(即一次項系數(shù))相等當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中K值互為負倒數(shù)(即兩個K值的乘積為-1)應用一次函數(shù)y=kx+b的性質是：(1)當k0時，y隨x的增大而增大；(2)當k0時，y隨x的增大而 減小。利用一次函數(shù)的性質可解決下列問題。一、確定字母系數(shù)的取值范圍例L已知正

4、比例函數(shù)y = (3? + 5)x，則當m 時，y隨x的增大而減小。二、比較x值或y值的大小例2.已知點Pl (xl, yl)、P2 (x2, y2)是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點，且yl>y2,則xl 與x2的大小關系是()A. xl>x2 B. xl<x2 C. xl=x2D.無法確定判斷函數(shù)圖象的位置例3.一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0,且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限典型例題： 例L 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比例. 如果掛上3kg物

5、體后，彈簧總長是13.5cm,求彈簧總長是y（cm）與所掛物體質量x（kg）之間的函數(shù) 關系式.如果彈簧最大總長為23cm,求自變量x的取值范圍.分析：此題由物理的定性問題轉化為數(shù)學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是 空載長度與負載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長一最大伸長一最大質量及 實際的思路來處理.解：山題意設所求函數(shù)為y=kx+12則 13.5=3k+12,得 k=0.5，所求函數(shù)解析式為y=0. 5x+12 由 23=0.5x+12 得：x=22 ，自變量x的取值范圍是0WxW22 4、確定函數(shù)定義域的方法：（1）關系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)

6、；（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；（3）關系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（4）關系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。 例題：下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x22的是（）A. y-J2-xB. y= J C. y= V4-x2 D. + 2 Jx-2« - 2函數(shù)y = 中自變量x的取值范圍是y的取值范圍是（）已知函數(shù)y = ，x + 2,當一lvx<l時, 22 .22 ' 2UY2 ,22 ,25、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫

7、、縱坐標，那么坐標 平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù) 值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。 8、函數(shù)的表示方法列表法：一日 了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應 規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關系，但有

8、些實際 問題中的函數(shù)關系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關系。9、正比例函數(shù)及性質一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kWO）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式尸kx （k不為零）k不為零 X指數(shù)為1b取零 解析式：y=kx （k是常數(shù)，kWO）必過點：（0, 0）、（1, k）走向：k0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限增減性：k0, y隨X的增大而增大；k<0, y隨X增大而減小傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸例題：.正比例函數(shù)、= （37 + 5）x,當m 時，y隨x的增

9、大而增大.若y = x + 2-35是正比例函數(shù)，則6的值是 （）223A. 0 B. -C. 一一D.-33210、一次函數(shù)及性質一般地，形如y=kx+b（k, b是常數(shù)，kWO）,那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時,y=kx+b即y=kx, 所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b （k不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取任意實數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經過（0, b）和0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,k它可以看作由直線y二kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b0時，向下 平移）（1）解析式:y=kx+b（k、b 是常

10、數(shù)，k*0）（2）必過點：（0, b）和0） k（3）走向：直線經過第一、三、四象限”> 0=直線經過笫一、二、三象限 /?>0Z < 0O直線經過第一、二、四象限 h>0 v （）=直線經過第二三、四象限（4）增減性：k>0, y隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減小.（5）傾斜度：k越大，圖象越接近于y軸；k越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移：當b>0時，將直線y二kx的圖象向上平移b個單位；當b<0時，將直線y二kx的圖象向下平移b個單位.例題：若關于x的函數(shù)y = （ + l）x'i是一次函數(shù)，則獷, a.函數(shù)尸包什6

11、與尸的圖象在同一坐標系內的大致位置正確的是（）將直線y=3x向下平移5個單位，得到直線；將直線y=r-5向上平移5個單位，得 到直線.若直線y = -x + a和直線y = x + b的交點坐標為（陽,8）,則c, + b=已知函數(shù)y=3.什1,當自變量增加r時.，相應的函數(shù)值增加（） A . 3/zrl B . 3/n C . m D . 3m 111、一次函數(shù)y=kx+b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫 一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交 點：（0, b）,尚°

12、）.即橫坐標或縱坐標為。的點.b>0b<0b=0經過第一、二、三象限經過第一、三、四象限經過第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大經過第一、二、四象限經過第二、三、四象限經過第二、四象限圖象從左到右.下降，y隨x的增大而減小若rVO, /?>0,則一次函數(shù)廣出，加的圖象不經過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關系一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當 b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.13、直線y=Lx+bi與y=kx+h的位置關系（1） k尸k二且b尸也兩直線重合：（2） kkk且b1工九兩直線平行（3） k件且E工一兩直線相交:（4）kk2 b尸bj兩直線相交于y軸上即點（0, b）：14、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析