彈性力學(xué)課后習(xí)題詳解

1、第一章習(xí)題參考答案第一章習(xí)題1-1 試舉例證明，什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體，什么是非均勻的各向異性體。1. 均勻的各向異性體：如木材或竹材組成的構(gòu)件。整個(gè)物體由一種材料組成，故為均勻的。材料力學(xué)性質(zhì)沿纖維方向和垂直纖維方向不同，故為各向異性的。2. 非均勻的各向同性體：實(shí)際研究中，以非均勻各向同性體作為力學(xué)研究對(duì)象是很少見(jiàn)的，或者說(shuō)非均勻各向同性體沒(méi)有多少可討論的價(jià)值，因?yàn)橛懻摳飨蛲泽w的前提通常都是均勻性。設(shè)想物體非均勻（即點(diǎn)點(diǎn)材性不同） ，即使各點(diǎn)單獨(dú)考察都是各向同性的，也因各點(diǎn)的各向同性的材料常數(shù)不同而很難加以討論。實(shí)際工程中的確有這種情況。 如泌水的水泥塊體， 密

2、度由上到下逐漸加大， 非均勻。但任取一點(diǎn)考察都是各向同性的。再考察素混凝土構(gòu)件，由石子、砂、水泥均組成。如果忽略顆粒尺寸的影響，則為均勻的，同時(shí)也必然是各向同性的。反之，如果構(gòu)件尺寸較小，粗骨料顆粒尺寸不允許忽略，則為非均勻的，同時(shí)在考察某點(diǎn)的各方向材性時(shí)也不能忽略粗骨料顆粒尺寸，因此也必然是各向異性體。因此，將混凝土構(gòu)件作為非均勻各向同性體是很勉強(qiáng)的。3. 非均勻的各向異性體：如鋼筋混凝土構(gòu)件、層狀復(fù)合材料構(gòu)件。物體由不同材料組成，故為非均勻。材料力學(xué)性質(zhì)沿纖維方向和垂直纖維方向不同，故為各向異性的。1-2 一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為

3、理想彈性體？理想彈性體指：連續(xù)的、均勻的、各向同性的、完全（線）彈性的物體。一般的混凝土構(gòu)件（只要顆粒尺寸相對(duì)構(gòu)件尺寸足夠?。┛稍陂_(kāi)裂前可作為理想彈性體，但開(kāi)裂后有明顯塑性形式，不能視為理想彈性體。一般的鋼筋混凝土構(gòu)件，屬于非均勻的各向異性體，不是理想彈性體。一般的巖質(zhì)地基，通常有塑性和蠕變性質(zhì)，有的還有節(jié)理、裂隙和斷層，一般不能視為理想彈性體。在巖石力學(xué)中有專門研究。一般的土質(zhì)地基，雖然是連續(xù)的、均勻的、各向同性的，但通常具有蠕變性質(zhì)，變形與荷載歷史有關(guān)， 應(yīng)力- 應(yīng)變關(guān)系不符合虎克定律， 不能作為理想彈性體。 在土力學(xué)中有專門研究。1-3 五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？連

4、續(xù)性假定使變量為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。完全（線）彈性假定使應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系明確為虎克定律。均勻性假定使材料常數(shù)各點(diǎn)一樣，可取任一點(diǎn)分析。各向同性使材料常數(shù)各方向一樣，坐標(biāo)軸方位的任意選取不影響方程的唯一性。 小變形假定使幾何方程為線性，4且可采用變形前的尺寸列平衡方程。1-4 應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？試分別畫出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。面力的正 / 負(fù)總是按與坐標(biāo)軸正向是 / 否一致來(lái)確定，與所討論的邊界面的外法線方向（可能與坐標(biāo)軸正向一致或相反，或者與坐標(biāo)軸呈一夾角）無(wú)關(guān)。對(duì)于平行于坐標(biāo)面 的截面上的應(yīng)力而言，其正負(fù)號(hào)取決于兩方面，一是所討論的截面的外法線方向是否與 坐標(biāo)軸正向一

5、致（即該截面是正面還是負(fù)面） ，二是應(yīng)力本身方向與坐標(biāo)軸正向是否一致。教材 p4 圖 1-3 標(biāo)出所有平行于坐標(biāo)面的截面上的應(yīng)力的正方向。 分別設(shè)想該圖的某一面為邊界面，則右面、上面、前面的面力正方向與應(yīng)力正方向一致，而左面、下面、后面的面力正方向與應(yīng)力正方向相反。1-5 試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定。材力中切應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定，通常按使微元體順/ 逆時(shí)針轉(zhuǎn)為 +/- 。彈力則規(guī)定正面上切應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致為 +、負(fù)面上切應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向相反為 +。根據(jù)剪應(yīng)力互等， 某個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)的 2 對(duì)切應(yīng)力總是一對(duì)順時(shí)針一對(duì)逆時(shí)針，因此按材力規(guī)定則切應(yīng)力變化下標(biāo)后，大小相等、符號(hào)改變，即切

6、應(yīng)力互等差一負(fù)號(hào)，而按彈力規(guī)定使切應(yīng)力變化下標(biāo)后，大小相等、符號(hào)不變，即切應(yīng)力互等絕對(duì)成立。1-6 試舉例說(shuō)明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變。關(guān)于本題的理解：（ 1）“正的應(yīng)力” 包括正的正應(yīng)力、 正的剪應(yīng)力（注意“正的應(yīng)力”不只等價(jià)于“正應(yīng)力” ） ；（ 2）“正的形變”包括正的線應(yīng)變、正的切應(yīng)變； （3）所謂“對(duì)應(yīng)”是指應(yīng)力、形變下標(biāo)一致的兩者對(duì)應(yīng)，如x 對(duì)應(yīng) x 、 yz 對(duì)應(yīng) yz 等。參考答案如下：（1） 說(shuō)明正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)正的線應(yīng)變：以圖3-1(a) 簡(jiǎn)單拉伸問(wèn)題為例，設(shè)a>0，則有應(yīng)力解答y2a >0，x =0，xy =0。由物理方程（ 2-12）得 x2 a0（此外還有ey

7、2ae0 ， xy =0），即板沿 y 軸伸長(zhǎng)?？梢?jiàn)，拉應(yīng)力（即正的正應(yīng)力）對(duì)應(yīng)線段的相對(duì)伸長(zhǎng)（即正的線應(yīng)變） 。從本例也可見(jiàn)， 正應(yīng)力為零時(shí)對(duì)應(yīng)的線應(yīng)變不一定為零， 但正應(yīng)力不為零時(shí)對(duì)應(yīng)的線應(yīng)變一定不為零，而且正負(fù)號(hào)一致。b（2） 說(shuō)明正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)正的切應(yīng)變： 以右圖微元體純剪切b問(wèn)題為例，設(shè) b >0，則有 y =0，x =0， xyyxb >0。由物理ad方程（ 2-12 ）得 xybyx>0（此外還有 xg=0 、 y=0）?？梢?jiàn)，bo x正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)正的切應(yīng)變。這里要對(duì)切應(yīng)變的幾何含義加以解釋。右圖為上述正的切應(yīng)力作用下的微元體變形后的圖形。注意到dab、dcb

8、處直角變bvbcy為銳角，與上述 xyyx >0 也是一致的。但 abc、 adc處都是直角變?yōu)殁g角，是否意味 著 xyyx <0？并不是這樣的。實(shí)際上，xyyx >0 從幾何上看就是指微元體沿第一、三象限對(duì)角方向伸長(zhǎng)，沿第二、四象限對(duì)角方向縮短的切變形，即如圖所示的變形形式 就是正的切應(yīng)變的幾何含義。因此嚴(yán)格地講， “切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正”中的“直角” 應(yīng)是指從一點(diǎn)出發(fā)沿兩坐標(biāo)軸正向的線段之間的直角。按此定義，在考察圖中的切變形到底是正是負(fù)，只需考察 dab處的直角變化，因?yàn)辄c(diǎn) a、b、c、d中只有 a點(diǎn)具有從該點(diǎn)出發(fā)沿兩坐標(biāo)軸正向的線段。1-7 試畫出圖 1-4 中的矩

9、形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。題為薄板，可認(rèn)為不關(guān)心與 z 下標(biāo)有關(guān)的物理量， 只標(biāo)出與 x、y 下標(biāo)有關(guān)的物理量：o zxf yyf xyxfxyf xf yfyf xxx微元體yxyfxyf xyxf yy薄板的正的體力薄板的正的面力微元體的正的應(yīng)力容易犯的錯(cuò)誤： 1）一個(gè)邊界上，面力只標(biāo)出一個(gè)方向的分量，少標(biāo)一個(gè)；2）只在一個(gè)邊界面上標(biāo)面力分量； 3）正的面力分量方向標(biāo)反； 4）正的體力分量方向標(biāo)反。 5） 各微元體截面上正的應(yīng)力分量標(biāo)反； 6）將應(yīng)力分量標(biāo)在物體邊界面上。1-8 試畫出圖 1-5 中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。題為薄板，可認(rèn)為不關(guān)心與 z 下標(biāo)有關(guān)的物理量， 只標(biāo)出與