概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章測(cè)試題

1、第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征、選擇題1 .設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是(A) 8(B) 16(C) 28(D) 442 .若隨機(jī)變量 X和Y的協(xié)方差Cov X,Y 0,則以下結(jié)論正確的是()(A) X 與 Y 相互獨(dú)立 (B) D(X+Y尸DX+DY(C) D(X-Y尸DX-DY(D) D(XY尸DXDY3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X ： N21, 12 ,Y： N2,2:，則 Z X 2Y :(A) N 12, 12(B)N 12, I(C) N 1 2 2,i24(D)N 12 2, 124.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)

2、變量E=X+Y與刀=X-Y不相關(guān)的充要條件(A) EX=EY(B) E(X)- (EX) 2= E(Y2)-(EY)(C) E(X 2)= E(Y 2)(D) E(X2)+(EX) 2= E(Y 2)+ (EY) 25 .設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從于N 0,1 ,則Z max X,Y的數(shù)學(xué)期望E Z)(A)(B)0(C)(D)16 .設(shè)X、Y是相互獨(dú)立且在 0,上服從于均勻分布的隨機(jī)變量，則EminX,Y ()(A) -(B)(C)3(D)-7 .設(shè)隨機(jī)變量 X和Y的方差存在且不等于 0,則D(X+Y尸DX+DY是*和Y ()(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件(B)獨(dú)立的充分

3、條件，但不是必要條件(C)不相關(guān)的充分必要條件(D)獨(dú)立的充分必要條件 n °18 .若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為P X 12n n 1,2,L ，則E X ()2n(A) 2(B) 0(C) ln2 (D)不存在9 .將一枚硬幣重復(fù)擲 n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則 X和Y的相關(guān)系數(shù)等于(A) - 1(B) 0(C) 1(D) 1210 .設(shè)隨機(jī)變量 X和丫獨(dú)立同分布，具有方差2 >0,則隨機(jī)變量U=X+Y V=X-Y(A)獨(dú)立 (B) 不獨(dú)立(C) 相關(guān)(D) 不相關(guān)11 .隨機(jī)變量X的方差存在，且 E(X)=,則對(duì)于任意常數(shù) C,必有(A) E(X-

4、C) 2=E(X2)-C 2(B) E(X-C) 2=E(X-)2(C) E(X-C) 2< E(X- )2(D) E(X-C)2 E(X- )212.設(shè) XU(a,b), E(X)=3, D(X)=1,則 P(1<X<3)=()(A) 01 (D2二、填空題1 .設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為，則E X22 .設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p,進(jìn)行了 100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng) p時(shí)，成功的次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為3 .設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量DY=4 . D X 4, D Y 9, XY 0.5,則 D X Y5 .

5、設(shè)隨機(jī)變量X服從于參數(shù)為 的泊松分布，且已知 E X 1 X1,則6 .設(shè)(X,Y)的概率分布為:則 C0V(X2,Y2) =7 .已知 P(X k)Oa-,(k 1,2,3),則 E(X尸 k8 . XN(,2), YN( ,2), X與 丫相互獨(dú)立，則 Cov(X+Y, X-Y) =9 .隨機(jī)變量 Xi,X2,X3相互獨(dú)立，且都服從均勻分布 U(0,2), 令X=3Xi-X2+2X3，則E(X)= , D(X) =。10 .設(shè)p x產(chǎn)，Z=,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 。11 .設(shè)隨機(jī)變量 Xj獨(dú)立同分布，EX=2,則行列式XiiX 21X12X 22XmX2n的數(shù)學(xué)期望EY=XmX n2三、簡

6、答題1 .從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 2/5。設(shè)X為同種遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。2 .已知隨機(jī)變量 X,Y服從二維正態(tài)分布，且 X與Y分別服從正態(tài)分布 N(1,32)與1 X YN(0,4 2),它們的相關(guān)系數(shù)XY ，令Z ,求Z的數(shù)學(xué)期望EZ與方差DZ2 3 2(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù) XZ。3 .已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求(1)乙箱中次品數(shù) X的數(shù)學(xué)期望；(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概

7、率。4 .游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第 X分鐘到達(dá)底層候梯處，且 X在0,60上均勻分布，求 該游客等彳II時(shí)間Y的數(shù)學(xué)期望。5 . 一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量 X與顧客對(duì)某種商品的需求量 Y是相互獨(dú)立的隨機(jī) 變量，且都服從區(qū)間10,20上的均勻分布。商店沒售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了供貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品獲利潤為500元，試計(jì)算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值。6 .兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)

8、其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開動(dòng)。試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T的概率密度f、數(shù)學(xué)期望和方差。7 .某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0<p<1),各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格品時(shí)即停機(jī)檢修。設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望和方差。1 x8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)2 cos2 ,0,0 x ;對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察 4次，用Y 其他，表示觀察值大于 的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望。3方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X-Y|9.設(shè)隨機(jī)變量X, Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0,的方差。10 .假設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)在矩形G=(x,

9、y)|0wxw 1,0 WyW 1上服從均勻分布。記0, X Y;UV1, X Y,0, X1, X2Y;O2Y,(1)求(U, V)的概率分布；(2)求U和V的相關(guān)系數(shù)r。11.假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間-2,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量1,U1;XY1,U11,U1;1,U1,試求(1) X和Y的聯(lián)合概率分布;D(X+Y)。12.設(shè)A, B是兩個(gè)隨機(jī)事件；隨機(jī)變量X 11,若A出現(xiàn)；1,若A不出現(xiàn)，丫 1,若B出現(xiàn)；若於出現(xiàn),試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充要條件是 A與B相互獨(dú)立。參考答案、選擇題6.C 7 . C 8.D 9. A 10. D 11. D 12.二、填空題1.2.1/2,8/9

10、47 . 18/11 89. 4, 14/3 1011三、簡答題1.解：X服從二項(xiàng)分布其分布函數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望為EXEZ1 EX31 EY2covX,YDZ(2)X0123P27/12554/12536/1258/125其分布律為_2、B(3,-),5F(x)0,27/125,81/125,117/125,1,x 0,DX . DYY 1) DX 29XY1,2,3,3._2N(1,3 ),Y:2N(0,4 ), xyX Ycov X ,Z cov( X,) 3213 4211cov(X,Y) DY241 DX31 COV(X,Y)23.解：(1)由題意知，X服從超幾何分布,故 EX32932

11、6)426)0,XZ C3(2)又全概率公式，可得 p -4C3 C62 C13 C3C3C6C32Cc3364.解:有題意,因此EYEg(X)25g(X) 5560X,X,X,X 5,25555,25,55,60.(5 x)dx 60 0,1g(x)f(x)dx 60255 (25 x)dx600 g(x)dx5525 (55 x) dx60(65 x)dx) 11.67。555.解：設(shè)Z表示商店每周所得的利潤，則Z g(X,Y)1000X1000Y,500(Y X) 500(X Y), YX,X,所以 EZ Eg(X,Y)g(x, y) f (x, y)dxdy2020101000y dx

12、dy y10020 y1io io500(x y) 而dxdy14166.67。6.解：以X和Y表示先后開動(dòng)的記錄儀無故障工作的時(shí)間，則T=X+Y從而有f(t)fX(x)fy(t x)dx25t 5xe05(t x) dx 25te5t由已知,EX1EY -,DX5DY125從而有:ETEX EY -,DT5DX7.解:X服從幾何分布,_i-1P(X=i)=qEX.i 1iqp (qi)i 1p( qi 10,0,0,EX2P( i(ii 11)qiDX221 pEX2 (EX)2:p8.解：設(shè)A表示X的觀察值大于DY2o25p, i=1,2, -.i 1、 iq )1pq( qi)i 22P

13、2p2 p .)2p一,故 P(A) 3YB(4,1/2);故 EY2 DY (EY)2 4 -2P(X -) (4 -2)21x .1cos- dx 一/3 222由題意可知,9.解：有獨(dú)立正態(tài)分布的性質(zhì)，X-YN(0,1)先求5。E|X Y|z22dz管 0ze'dz2、2再求 E | X Y |2 1 01 ;所以D|X10.解：(1) p(u 0,V 0)iP(X Y) ； P(U40,V 1) 0;P(U_1_11,V 0) P(Y X 2Y) ； P(U 1,V 1)；42EUEUV -，可計(jì)算2cov(U,V)EUVEUEVDU 3 1 , DV 1，最后得到 4 4 164cov(X,Y) _3DX DY 311.解：(1) P(X 1,Y1) P(U 1)_1_P(X 1,Y1) P( 1 U 1) -； P(X211 P(X Y 2) -, P(X Y 0)-4211； P(X 1,Y 1) 0； 4_11,Y 1) P(U 1)；41P(X Y 2)-, 4所以 E(X+Y)=0 , D(X+Y)=2。12.證明：EX=P(A)-1-P(A)=2P(A)-1,EY=2P(B)-1 ,E(XY) P