高二定積分地計(jì)算(理科)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題定積分的計(jì)算編稿老師胡居化一、教學(xué)目標(biāo)：1.理解定積分的基本概念并能利用定積分的幾何意義解決一些簡單的積分計(jì)算問題.2.理解微積分的基本定理，并會(huì)用定積分公式解決簡單函數(shù)的定積分問題.二、知識(shí)要點(diǎn)分析b1.定積分的概念：函數(shù)f (x) 在區(qū)間 a ， b 上的定積分表示為：f ( x) dxa2.定積分的幾何意義：b（ 1 ）當(dāng)函數(shù)f （ x）在區(qū)間 a ， b 上恒為正時(shí)，定積分f (x)dx 的幾何意義是： y=fab（x）與 x=a ，x=b及 x 軸圍成的曲邊梯形面積，在一般情形下. f ( x)dx 的幾何意義是介a于 x 軸、函數(shù) f（ x）的圖

2、象、以及直線 x=a ， x=b 之間的各部分的面積代數(shù)和，在x 軸上方的面積取正號(hào)，x 軸下方的面積取負(fù)號(hào) .bbb在圖（ 1 ）中： f ( x )dx s0 ，在圖（ 2）中： f(x )dx s 0 ，在圖（ 3 ）中： f (x )dxaaa表示函數(shù) y=f （ x）圖象及直線x=a ，x=b 、 x 軸圍成的面積的代數(shù)和 .b注：函數(shù) y=f （ x）圖象與 x 軸及直線 x=a ， x=b圍成的面積不一定等于f ( x)dx ，abf (x)dx .僅當(dāng)在區(qū)間 a， b 上 f （x）恒正時(shí)，其面積才等于a3. 定積分的性質(zhì)， （設(shè)函數(shù) f （ x）， g （ x）在區(qū)間 a，

3、b 上可積）bbb（ 1）f (x )g(x ) dxf ( x)dxg( x )dxaaa文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案bb（ 2）kf ( x)dxk f ( x)dx ，（ k 為常數(shù)）aabcb（ 3） f ( x)dxf ( x) dxf ( x)dxaac（ 4）若在區(qū)間 a， b 上， f ( x)0,則b0f ( x)dxa推論：（ 1）若在區(qū)間 a ，b 上， f ( x)bbg( x), 則f ( x)dxg(x)dxaa（2） |bbf ( x) dx | f ( x) | dxaaaaf ( x)dx ，若（fa（ 3）若（f x）是偶函數(shù)，則f ( x)dx2x）是奇函數(shù)，則f (

4、x)dx 0a0a4. 微積分基本定理：一般地，若'()(),且(在,上可積，則b( )( )()Fxfxfx)bfaaxdx F bFa注：（ 1 ）若 F ' ( x)f ( x) 則 F（ x）叫函數(shù) f（ x）在區(qū)間 a ，b 上的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義知： F（ x） +C 也是 f （x）的原函數(shù)，求定積分bf ( x)dx 的關(guān)鍵是求 f （x）的a原函數(shù)，可以利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向求F（ x）.（ 2）求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)的運(yùn)算互為逆運(yùn)算.【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一：定積分的幾何意義例 1根據(jù)2x=0 ，x= 2， y=0y=sinx

5、所圍sin xdx 0 推斷：求直線和正弦曲線0成的曲邊梯形面積下列結(jié)論正確的是（）A面積為0B曲邊梯形在C曲邊梯形在D曲邊梯形在x 軸上方的面積大于在x 軸下方的面積x 軸上方的面積小于在x 軸下方的面積x 軸上方的面積等于在x 軸下方的面積2題意分析： 本題考查定積分的幾何意義，注意sin xdx 與 y=sinx及直線 x=a ，x=b和 x0軸圍成的面積的區(qū)別 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案思路分析： 作出函數(shù) y=sinx 在區(qū)間 0 ， 2 內(nèi)的圖象及積分的幾何意義及函數(shù)的對(duì)稱性可判斷 .解：對(duì)于（ A ）：由于直線 x=0 ，x= 2 ，y=0和正弦曲線 y=sinx 所圍成的曲邊梯形面積為

6、正可判斷 A 錯(cuò).對(duì)于（ B），（ C）根據(jù) y=sinx 在 0 ， 2 內(nèi)關(guān)于（,0) 對(duì)稱知兩個(gè)答案都是錯(cuò)誤的 .根據(jù)函數(shù) y=sinx 的圖象及定積分的幾何意義可知：答案（D ）是正確的 .解題后的思考： 本題主要考查定積分的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是混淆函數(shù) y=sinx 與 x 軸、直線 x=0 ， x= 22圍成的面積等于f (x)dx .0例 2 利用定積分的幾何意義，說明下列等式的合理性12xdx 1（ 1）011x2 dx.（ 2）04題意分析： 本題主要考查定積分的幾何意義：在區(qū)間0 ，1 上函數(shù) y=2x，及 y=1x2恒111x2 dx為正時(shí)，定

7、積分2xdx 表示函數(shù)y=2x 圖象與 x=0 ，x=1 圍成的圖形的面積，00表示函數(shù) y=1x2 圖象與 x=0 ，x=1圍成的圖形的面積 .思路分析： 分別作出函數(shù) y=2x及 y=1 x2的圖象，求此圖象與直線x=0 ， x=1圍成的面積 .解：（ 1 ）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x的圖象及直線 x=0 ，x=1 （如圖），它們圍成的圖11形是直角三角形 .其面積 S =2 11.由于在區(qū)間 0 ，1 內(nèi) f（x）恒為正， 故2 xdx1.20（ 2）由 y1 x 2x2y 21, x 0,1 ，故函數(shù) y 1 x2（ x0,1的圖象如圖所示，所以函數(shù)y1 x 2與直線 x=0 ，

8、x=1圍成的圖形面積是圓x 2y 21 面積的四分之一，又 y1 x 21x 2 dx在區(qū)間 0 ，1 上恒為正 .104文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解題后的思考： 本題主要考查利用定積分的幾何意義來驗(yàn)證函數(shù)y=2x 及函數(shù) y=1x 2 在區(qū)間 0 ， 1上的定積分的值，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是畫函數(shù)圖象的不準(zhǔn)確造成錯(cuò)誤的結(jié)果 .例 3 利用定積分的幾何意義求4(| x 1| | x3 |)dx 的值 .04題意分析：本題考查定積分的幾何意義，(| x 1| | x 3 |)dx 的 值 是 函 數(shù)0y | x 1| x3 | 的圖象與直線x=0 ，x=4所圍成圖形的面積 .思路分析：首先

9、把區(qū)間 0 ，4 分割為 0 ，1 ， 1 ， 3 ， 3 ， 4 ，在每個(gè)區(qū)間上討論x1 ，x 3的符號(hào)， 把函數(shù) y | x1 | x 3 | 化為分段函數(shù)， 再根據(jù)定積分的幾何意義求4| x3 |)dx 的值 .(| x 1 |02x4,( x0,1解： 函數(shù) y| x1 | | x 3 |化為 y2, ( x1,32x4, ( x3,42x4, (x 0,1由于函數(shù) y 2, ( x1,32 x4, (x 3,4在區(qū)間 0， 1，1 ，3 ， 3， 4都恒為正 .設(shè)函數(shù) y= 2x+4 的圖象與直線x=0 ， x=1 圍成的面積為 S1函數(shù) y=2的圖象與直線x=1 ， x=3 圍成的

10、面積是 S2函數(shù) y=2x4 的圖象與直線x=3 ， x=4 圍成的面積是 S3由圖知： S1=S 3= 1 (42)13, 2=22 42S由定積分的幾何意義知：4(| x1 | x3 |)dx = S1S3 S2100解題后的思考：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是定積分的幾何意義，利用其幾何意義求定積分4| x 3 |)dx 的值，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（把區(qū)間(| x 1 |0 ， 4 分割，把函數(shù)0y=|x 1|+|x 3| 化成分段函數(shù)） 、數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用.易錯(cuò)點(diǎn)是：區(qū)間0， 4分割文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案不當(dāng)及畫函數(shù)圖象不準(zhǔn)確，造成錯(cuò)誤的結(jié)果.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值時(shí)，常采用分割區(qū)間把函數(shù)化為分

11、段函數(shù)的方法求定積分的值.小結(jié)： 本題主要考查定積分的幾何意義，要分清在區(qū)間a ，b 上 f（ x）恒為正時(shí)， f（ x）在區(qū)間 a ， b 上定積分值才等于函數(shù)圖象與直線x=a ，x=b圍成的面積 .在畫函數(shù)圖象時(shí)注意 x 的取值區(qū)間 .當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值時(shí)，恰當(dāng)?shù)姆指顓^(qū)間把函數(shù)畫為分段函數(shù)再求定積分的值 .知識(shí)點(diǎn)二：定積分的計(jì)算1， x=2 ，曲線 y1）例 1 由直線 x及 x 軸圍成的面積是（2x15171D 2ln2ABC ln 2442題意分析： 本題表面上考查定積分的幾何意義，實(shí)質(zhì)是考查定積分的基本運(yùn)算，關(guān)鍵是理解2 1所求圖形面積是定積分1dx 的值 .2 x思路分析： 利用

12、導(dǎo)數(shù)求出1 的原函數(shù)是 ln x .再利用微積分的基本定理求 .x解： (ln x)'12 12ln 2 ln1，1dx = ln x |12 ln 2 .x2 x22故選（ D）解題后的思考： 求定積分的值關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)求被積函數(shù)的原函數(shù)，易錯(cuò)的地方是：求被積函數(shù)的原函數(shù)有誤.例 2 求下列定積分的值13)dx（ 1）(2x01x3 )dx（ 2）(12（ 3）0(cos t et )dt題意分析： 本題考查定積分的基本計(jì)算，先直接求被積函數(shù)的原函數(shù)，再利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)和微積分基本定理求定積分的值.思路分析：（1） 利 用 導(dǎo) 數(shù) 求 被 積 函 數(shù) 2 x

13、 3,1 x3 , costet 的 原 函 數(shù) 分 別 是x 23x, x1 x 4 , sin t et ，再由微積分基本定理可求 .4文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：（1）( x 23x) '2x3，13x) |10 1 3 4(2x 3) dx ( x 20（ 2 ） (x1 x 4 )' 1 x 34(1 x3 )dx ( x1 x4 ) |1 2(11) 2( 2)427124444（ 3 ）(sin tet) 'costet ，0et)dt(sin t et) |000(cos tsin tdtet dt= sin x |0et|011e解題后的思考： 本題是定積分的

14、簡單的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，能利用求導(dǎo)的方法求原函數(shù)，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 .易錯(cuò)點(diǎn)是求原函數(shù) .要注意定積分運(yùn)算法則的應(yīng)用 .例 3 求下列定積分的值（ 1）2 sin 2 x dx0 2（ 2）cos(x)dx36題意分析： 本題仍是定積分的運(yùn)算，被積函數(shù)不是我們學(xué)過的基本初等函數(shù)，要把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù) .思路分析： 利用三角函數(shù)的降冪公式把被積函數(shù)化為：sin 2x1 (1 cos x) ，利用余弦的22差角公式把被積函數(shù)化為：cos( x)3 cos x1 sin x ，再利用定積分的運(yùn)算法則及622微積分的基本原理求 .解：（1）2 sin 2x

15、 dx =2 1cos x dx =12 (1cosx)dx =1 (2 dx2 cos xdx)020220200=1 ( x |02sin x |02 )1 (1)22224（ 2）cos(x)dx =(3 cosx1 sin x)dx =3cosxdx1sin xdx363222323文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案=3 sin x |1 cosx |3 sin1 (coscos)023232323解題后思考： 本題的解題關(guān)鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)數(shù)的方法求原函數(shù)，若被積函數(shù)不是初等函數(shù)要轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù)，這樣便于利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，其中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.小結(jié)： 本題組主要是考查定

16、積分的計(jì)算，求被積函數(shù)的原函數(shù)是解題的關(guān)鍵，要熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、 公式便于求被積函數(shù)的原函數(shù)，同時(shí)對(duì)較復(fù)雜的被積函數(shù)要轉(zhuǎn)化為基本的初等函數(shù) .同時(shí)注意定積分的運(yùn)算的性質(zhì)、法則的應(yīng)用.會(huì)給解題帶來很大的方便.【本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法】：本講主要講述定積分的幾何意義及定積分的基本運(yùn)算， 在考查定積分幾何意義的知識(shí)點(diǎn)上體現(xiàn)了數(shù)與形相結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用， 在定積分的運(yùn)算過程中體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 .【模擬試題】（答題時(shí)間： 60分鐘，滿分 60分）一、選擇題 （每題5 分，計(jì) 30分）b1設(shè)連續(xù)函數(shù) f （ x） >0恒成立，則當(dāng)a<b 時(shí)，定積分f ( x) 的符號(hào)是

17、（）aA一定是正的B一定是負(fù)的C當(dāng) 0<a<b時(shí)是正的，當(dāng)a<b<0 時(shí)是負(fù)的D 以上都不對(duì)k3x2 )dx 0, 則 k= （2若(2 x）0A 0B 1C0或1D 以上都不對(duì)33與定積分1 cos xdx 相等的是（）0A3sinx dxB3| sinx | dx2202022 |3Csin x dx |D以上都不對(duì) .024 2 (3xsin x) dx = （）0321321321321AB CD 84486f ( x)dx6f ( x)dx （5已知 f（ x）是偶函數(shù)，且08，則）6文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A 0B4C8D1662 (1 cos x) dx 等于（）

18、2AB 2C2D 2二、計(jì)算題7求下列定積分的值： （每題 5 分，計(jì) 20 分）222x 1)dx（ 1） ( x（2 ）10221 )dx（ 3） ( x x（4 ）1x11(x 1)2x)dx （10 分）8求定積分10(sin xcos x)dx( 1cos x)dxx文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【試題答案 】一、選擇題1（ A ）解析：由定積分的幾何意義可知：選（A ）k2dxx 2 |0kx 3|0kk2k 2xdx3x2（ C）解析：( 2x3x )dx 00,002k 30k 0或 k1k3（ B）解析：1cos x1(12 sin 2 x )24（ A ）解析：當(dāng) x0, 時(shí)， sin x0,| sin x |當(dāng) x , 3 時(shí)， sin x0,| sin x |sin x2x2 | sin|2sin x ；065（D ）解析：原式 =f ( x)dxf ( x) dx ，由 f（ x）是偶函數(shù)， f（x）圖象在 y 軸60兩側(cè)對(duì)稱 .故原式 =166（ D ）解析：2 (1cos x) dx = (x sin x) |2 =222二、計(jì)算題7解：（1 ）( x 22x 1)dx = x3|12x 2 |12x |12192133（ 2 ）(sin xcosx) dx = (cos x) |0sin x |0 202（ 3 ）