專題08解直角三角形的應用解析版

1、專題08解直角三角形的應用考點遠/dp、解直角三角形1.定義由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程， 叫做解直角三角形.(直角三角形中,除直角外，一共有 5個元素，即3條邊和2個銳角)直角三角形邊角關系(1)三邊關系:勾股定理：a2+b2=c2;(2)三角關系:/ A+Z B+ / C=180°, / A+ / B= / C=90°邊角關系:aba sinA= , cosA= , tanA=.ccb解法分類(1 )已知斜邊和一個銳角解直角三角形;(2 )已知一條直角邊和一個銳角解直角三角形;(3)已知兩邊解直角三角形.解直角三角形的幾種類型及解法aa(1)

2、已知一條直角邊和一個銳角(如a,Z A),其解法為：Z B=90° / A, c = , b=(或sin Atan Ab= Jc2 -a2 )；(2)已知斜邊和一個銳角 (如 c, / A)，其解法為：/ B=90° / A,a=csinA, b=c cosA(或 b= Jc2 _ a2 )；廠a(3)已知兩直角邊 a, b,其解法為：c= Ja2 +b2，由tan A=，得/ A, / B=90 - / A；ba(4)已知斜邊和一直角邊(如c, a),其解法為：b= Jc2 -a2，由sin A=，求出Z A,Z B=90° / A.c當沒有直角三角形時應注意構

3、造直角三角形,【提醒】解直角三角形中已知的兩個元素應至少有一條邊,再利用相應的邊角關系解決.二、解直角三角形的應用1.仰角與俯角在進行觀察時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.2 .坡角與坡度坡角是坡面與水平面所成的角；坡度是斜坡上兩點與水平距離之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面(1)(2)(3)解數(shù)學問題答案，從而得到實際問題的答案.利用解直角三角形知識解決實際問題的一般步驟: 把實際問題抓化為數(shù)字問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）； 根據(jù)條件特點選取合適的銳角三角函數(shù)去解直角三角形;【提醒】在解直角三角形

4、實際應用中，先構造符合題意的三角形，解題的關鍵是弄清在哪個直角三角形中用多少度角的哪種銳角三角函數(shù)解決.解直角三角形的應用：關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學問題來解決.核心考點 解直角三角形的應用中考中考查解直角三角形的應用題型以解答題為主，試題難度不大，其中運用解直角三角形的知識解決與現(xiàn)實生活相關的應用題是熱點【經(jīng)典示例】 某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物 CD的高度如圖所示，由距 CD 一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部 D的仰角為 3在A和C之間選一點B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為a測得A, B之間的距離為4米，tan滬1.6 , tan 3=1.2,試求建筑物 CD的高度.

5、上答題模板第一步，求建筑物 CD的高度關鍵是求 DG的長度.第二步，先利用三角函數(shù)用DG表示出GF，GE的長.第三步，再利用 EF=GE-GF構建方程求解，關鍵是要運用方程思想解題.四步，查看關鍵點、易錯點，注意解題的前提是在直角三角形中，如果題目中無直角時，必須想辦法構造 一個直角三角形.【滿分答案】設建筑物CD與EF的延長線交于點 G, DG=x米.在 Rt DGF 中,tan .匹GF即 tan a=GF在 Rt DGE 中,tan 3=DGGE即 tan 3 X-GE GF=X ta naxGE=而，, x x 4=石一17，解方程，得x=19.2 CD = DG + GC=19.2

6、+ 1.2=20.4 （米）.答：建筑物CD高為20.4米.即把實際問題轉化為數(shù)學問題,【解題技巧】利用解直角三角形的知識解決實際問題的關鍵是轉化和構造,并構造直角三角形，利用解直角三角形的知識去解決，解題時要認真審題，讀懂題意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含義，然后再作圖解題.數(shù)學課外實踐活D進行了測量.如圖，測模擬訓練美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河路風情線是蘭州最美的景觀之一動中，小林在南濱河路上的A, B兩點處，利用測角儀分別對北岸的一觀景亭得/ DAC =45° , / DBC =65° ,若AB= 132米，求觀景亭 D到南濱河路 AC的距

7、離約為多少米？（結果精確到 1 米，參考數(shù)據(jù)：sin 65* 止 0.91,cos65°sz0.42,ta 門65*止2.14）* -【答案】約248 米.【解析】過點D作DE丄AC,垂足為E,設 BE=x,在 Rt DEB 中，tan NDBE =匹BE/ DBC =65° , DE =xtan65o.又/ DAC =45° , AE=DE .二 132 +x=xtan65o，二解得 x 115.8 , DE 止248 （米）.觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米.直通中考1.（ 2018?鄂州）如圖，我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域進行常態(tài)化巡航，在A處測得北

8、偏東30。方向距離為40海里的B處有一艘可疑船只正在向正東方向航行,我海監(jiān)執(zhí)法船便迅速沿北偏東75°方向前往監(jiān)視巡查，經(jīng)過一段時間在 C處成功攔截可疑船只.（1）求/ ABC的度數(shù);（2 ）求我海監(jiān)執(zhí)法船前往監(jiān)視巡查的過程中行駛的路程（即AC長）？（結果精確到0.1海里，J5 ".732,血 SZ1.414, a/6s：2.449）【答案】（1） 120°（ 2）約133.8海里.【解析】（1）過B作BD丄AC,/ BAC = 75° £0°= 45°在 Rt ABD 中，/ BAD = / ABD = 45° /

9、 ADB = 90°由勾股定理得:BD = AX40 = 20運（海里），2在 RtABCD 中,（2） tan/ CBD/ C= 15° / CBD = 75° / ABC = 120°CD匚=， CD = 20 V2X 3.732 （海里），BD則 AC= AD+DC = 2072 +2072x 3.732 133.8（海里），133.8海里.即我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了約赴相關海域執(zhí)行海上試驗任務已知艦長BD約306 m，航母前端點E到水平甲板BD的距離DE為6 m,艦島頂端果精確到A到BD的距離是AC,經(jīng)測量，/ BAC = 71.

10、6 ° / EAC= 80.6 °請計算艦島 AC的高度.（結ta n80.6Q ).04A.ADC【答案】38米1 m,參考數(shù)據(jù)：sin71.6 ° q 0,95;os71.60.32tan71.63,01sin80.60,9aos80.60.,16【解析】設 AC = X m.作EH丄AC于H，則四邊形 EHCD是矩形.de = CH = 6 m, CD = EH = AH?tan80.6 = 6.04 (x-6), BC= AC?tan71.6 = 3.01x,BD = 306 m , 3.01X+6.04 ( x-6)= 306,解得：XQ 38答：島AC

11、的高度為38米.3.（ 2018?鞍山）如圖，億隆小區(qū)內有一條南北方向的小路MN，某快遞員從小路旁的A處出發(fā)沿南偏東53。方向行走258 m將快遞送至B樓，又繼續(xù)從B樓沿南偏西30。方向行走172 m將快遞送至C樓，求此時快遞員到小路 MN的距離.（計算結果精確到1 m.參考數(shù)據(jù)：sin530.8<0os53°q 0.60an531.3373 M.73).【答案】快遞員到小路 MN的距離是【解析】過 B作BD丄MN于D,過C作CE丄MN于E,過B作BF丄EC于F ,則四邊形DEFB是矩形, BD = EF ,在 Rt ABD 中，/ ADB = 90° / DAB =

12、 53° AB = 258 m , BD = AB?s in53 = 258X0.8 = 206.4,在 Rt BCF 中，/ BFC = 90° / CBF = 30° BC= 172,1- CF = BC = 86,2 CE = EF -CF = BD -CF = 206.4 - 86 120 m答：快遞員到小路 MN的距離是120 m.(1)求/ CAP的度數(shù)及CP的長度;(2)求P, Q兩點之間的距離（結果保留根號）【答案】(1) / CAP = 75°CP的長度為200米；（2） P, Q兩點之間的距離是2oo73 米3E處乘坐豎直觀光電梯上4

13、.（ 2018?鐵嶺）如圖，某地質公園中有兩座相鄰小山游客需從左側小山山腳行100米到達山頂 C處，然后既可以沿水平觀光橋步行到景點P處，也可以通過滑行索道到達景點Q處，在山頂C處觀測坡底A的俯角為75°觀測Q處的俯角為30°已知右側小山的坡角為30° （圖中的點C, E, A, B, P, Q均在同一平面內，點 A, Q, P在同一直線上）【解析】(1) / PC/ AB,/ APC = / PAB = 30°/ CAP = 180° -5° H30° = 75°/ CAP = / PCA, PC = AP,過P

14、作PF丄AB于F,則 PF = CE = 100, PA= 2PF = 200; CP的長度為200米;(2) / PCQ= / QPC= 30°過Q作QH丄PC于H , PH =-PC= 100,2. PQ-旦-泌 米. cos30°3答：P, Q兩點之間的距離是200>/3 米F5.（ 2018?營口）如圖，建筑物AB的高為52米，在其正前方廣場上有人進行航模試飛.從建筑物頂端處測得航模C的俯角a= 30°同一時刻從建筑物的底端B處測得航模C的仰角3= 45°求此時航模 C的飛行高度.（精確到 1米）（參考數(shù)據(jù):72 "41 , J3

15、 俺 1.73, Jsz2.45)【答案】此時航模 C的飛行高度為33 米.【解析】如圖，過點 C作CD丄AB于點D,貝ACD = 30°/ BCD = 45°設 AD = X,在 Rt ACD 中,CD= adtan 30°s/s在 Rt BCD 中,由 / BCD = 45° 知 BD = CD = J3x,由 AD+BD = AB 得52,解得 x= 26 （ 73 1）= 26 73-26,則 BD = J3x= 78-6333,答：此時航模C的飛行高度為33米.6.（ 2018?本溪）的正北方向,（1）求景點B,E之間的距離;（2）求景點B,A

16、之間的距離（結果保留根號）DSi A'.如圖為某景區(qū)五個景點A, B, C, D , E的平面示意圖，B, A在C的正東方向，D在CE在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上， C, D相距1000 J5 m, E在BD的中點處.【答案】（1） 1000 米；（2） 5001）（米）.【解析】（1）由題意得，/ C= 90° / CBD = 60° / CAE = 45°/ CD = 1000 e ,CD-BC = 1000,tan60 * BD = 2BC = 2000, E在BD的中點處,1 BE = BD = 1000 （米）；2（2

17、）過E作EF丄AB與F ,= 5003 ,J3 在 Rt AEF 中，EF = AF = BE?sin60 = 1000x 在 Rt BEF 中，BF = BE?cos60 = 500, AB = AF -BF = 500 （珞一1）（米）.F B：衛(wèi):/ 1、測量點A到水面平臺的7. (2018?廣元)如圖，雨后初睛，李老師在公園散步，看見積水水面上出現(xiàn)梯步上方樹的倒影，于是想利用倒影與物體的對稱性測量這顆樹的高度，他的方法是：測得樹頂?shù)难鼋谴怪备叨華B、看到倒影頂端的視線與水面交點C到AB的水半距離BC 再測得梯步斜坡的坡角 / 2和長度EF，根據(jù)以下數(shù)據(jù)進行計算,如圖，AB = 2米，B

18、C= 1米，EF = 4晶米，/ I = 60° / 2 = 45°已知線段 ON和線段OD關于直線 OB對稱.(以下結果保留根號)(1)求梯步的高度 MO;(2)求樹高MN .【答案】（1）4左米；（2）（ 14+4啟）米.【解析】（1）如圖，作EH丄OB于H .則四邊形 MOHE是矩形， OM = EH ,ri4.D；'/ EHF = 90,EF = 46 , / 2 = 45°EH = FH = OM = 4 喬米.AKOB 是矩形，AK = BO, OK = AB= 2（2）設ON = OD = m.作AK丄ON于K.則四邊形.5“. AB BC-

19、AB II OD , ：=OD OC 21mm 一 =, OC = , AK = OB = + 1, NK = m?m OC22在 Rt AKN 中，/ 1= 60° NK=73aK, m -2 =/3 ( m+1), m =( 14+8 巧)米,2 MN = ON -OM = 14+8 73 4>/3 = (14+43 )米.45。調為30°如圖，已知原8. （ 2018?甘孜州）某小區(qū)為了安全起見，決定將小區(qū)內的滑滑板的傾斜角由滑滑板AB的長為4米，點D，B，C在同一水平地面上，調整后滑滑板會加長多少米？（結果精確到0.01 米，參考數(shù)據(jù)：J2 荀.414 , J

20、3".732, J6 農 2.449)【答案】改善后滑板會加長1.66米I解析】在 Rt ABC 中，AC = AB?sin45 = 4汽匝=202/ ABC = 45°AC = BC= 2 罷,在 Rt ADC 中，AD = 2AC= 4 返,AD -B = 42 4 1.66答：改善后滑板會加長1.66米.B處的求救者后，9. （ 2018?帛州）如圖，某消防隊在一居民樓前進行演習，消防員利用云梯成功救出點又發(fā)現(xiàn)點B正上方點C處還有一名求救者，在消防車上點 A處測得點B和點C的仰角分別為45。和65°點A距地面2.5米，點B距地面10.5米，為救出點C處的求救

21、者，云梯需要繼續(xù)上升的高度BC約為多少米?（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： tan652.1sin650.9cos65° 0,42 a.1.4）【解析】如圖作 AH丄CN于H .在 Rt ABH 中，/ BAH = 45°ah = BH = 8 （米），CH在 Rt AHC 中，tan65 °° AH CH = 8X 2.1 17米)， BC = CH -BH = 17-8= 9 (米)，答：云梯需要繼續(xù)上升的高度BC約為9米.A處觀測對岸10. （ 2018?青海）如圖，同學們利用所學知識去測量三江源某河段某處的寬度.小宇同學在點C,測得/ CAD = 45

22、°,小英同學在距點 A處60米遠的B點測得/ CBD = 30°，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到 0.01米，返 ".414, J3 7.732）.【答案】河寬約為81.96 米.【解析】過 C作CE丄AB于E,設CE = x米,在 Rt AEC 中：/ CAE = 45°AE = CE= x在 Rt BCE 中：/ CBE = 30°BE = Vs CE = y/3x,(1)J3 x= x+60 ,解得 x = 30 73 +30 81.96答：河寬約為81.96 米.11.（ 2017貴州黔西南州）把（sin a） 2記作sin2 a,根據(jù)

23、圖1和圖2完成下列各題.2 2sin A什cos A1=,sin2A 2+cos2A 2=2 2,sin A3+COS A3=(2)觀察上述等式猜想：在Rt ABC中，/ C=90°，總有sin2a +cos2A=如圖2,在Rt ABC中證明（2）題中的猜想;已知在 ABC 中，/ A+/ B=90° ,且 sinA= 12，求 cosA.13見解析;1、 1、 1;(2)(4)【答案】（1）513【解析】（1 ）2 2sin A1+COS A1 =(逅)2丄 3=1 ,42 2sin A2+COS A2=22sin A3+COS A3=(3) 2+542 916一)2=

24、+ =1,52525故答案為:1、1、1；（2）觀察上述等式猜想：在 Rt ABC中,/ C=90° ,總有 sin A +COS A=1,故答案為：1;ab(3)在圖 2 中， sinA= , cosA=，且a2+b2=c2.2 2貝U sin A +COS A=(2.2a b2 _ _=2 2c c2丄2a +b2-C_=1-2 1，c即 sin A +COS A=1;(4)在 ABC 中,A+ / B=90° ,/ C=90° ,12、22()+cosA =1 ,13555解得 cosA=或 cosA= (舍)，. cosA=.131322 sin A +C

25、OS A=1,1312.（ 2017張家界）位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像，是我國近百年來最大的銅像.銅像由像體AD和底座 CD 兩部分組成. 如圖，在 Rt ABC 中，/ ABC=70.5 °在 Rt DBC 中，/ DBC=45°，且 CD=2.3 m,求像體AD的高度（最后結果精確到 0.1 m,參考數(shù)據(jù)：sin70.50.94COs70.50.334an70.52.824出【答案】像體AD的高度約為4.2 m.【解析】在 Rt DBC 中，/ DBC=45° ,且 CD=2.3 mBC=2.3 m ,在 Rt ABC 中，/ ABC=70.5 °

26、 tan 70.5 = ACA2.3BC2.3 2.824 解得：AD 4.2答：像體AD的高度約為4.2 m.13.（ 2017嘉興）如圖是小強洗漱時的側面示意圖，洗漱臺（矩形ABCD)靠墻擺放，高 AD=80 cm，寬AB=48 cm，小強身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱時下半身與地面成80° (/ FGK =80° ,身體前傾成125° (/ EFG=125°),腳與洗漱臺距離 GC=15cm (點D, C, G,K在同一直線上）.（1）此時小強頭部 E點與地面DK相距多少?（2）小強希望他的頭部 E恰好在洗漱盆AB的中點0的正上方，他應向前或后退多少?(sin800.,98cos80° (71 近 1.41 結果精確到 0.1)【答案】(1) 144.5 cm ；( 2) 9.5 cm .【解析】（1）過點F作FN丄DK于N，過點E作EM丄FN于M ./ EF+FG=166, FG=100，二 EF=66 ,/ FK=80°, FN=100?sin80 °98/ EFG=125° , / EFM=180° - 125° - 10° =4