三角形中的常用輔助線(xiàn)方法總結(jié)

1、數(shù)學(xué)：三角形中的常用輔助線(xiàn)典型例題人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線(xiàn)。輔助線(xiàn)，如何添？把握定理和概念。還 要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線(xiàn)找全等三角形的方法：(1) 可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線(xiàn)段(或兩個(gè)角)分別在 哪兩個(gè)可能全等的三角形中；(2) 可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；(3) 可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；(4) 若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法：1延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；2利用翻折，構(gòu)造全等三角形；3引平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；4作連線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有

2、以下幾種：(1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題， 思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。例1：如圖，A ABC是等腰直角三角形，/BAC=90，BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE思路分析：1)題意分析：本題考查等腰三角形的三線(xiàn)合一定理的應(yīng)用2)解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分 /ABC的條件，可以和等腰三角形的三線(xiàn)合一定理結(jié)合起來(lái)。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng) BABA , CECE 交于點(diǎn) F F,在 BEFBEF 和 BECBEC 中，/ 仁/2 2，BE=BEBE=BE，/ BEF=BE

3、F= / BEC=90BEC=90， BEFBEF A BEC,BEC, EF=ECEF=EC，從而 CF=2CECF=2CE。又/ 1 1 + + / F=F= / 3+3+/ F=90F=90，故/ 1=1= / 3 3。在 A ABDABD 和 A ACFACF 中，；/ 仁/3 3，AB=ACAB=AC，/ BAD=BAD= / CAF=90CAF=90 ， A ABDABDB A ACFACF，. BD=CFBD=CF， BD=2CEBD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線(xiàn)合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線(xiàn)中的應(yīng) 用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，

4、為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線(xiàn)的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化 歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線(xiàn)，可倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu) 造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例 2 2:如圖，已知 ABCABC 中，ADAD 是/ BACBAC 的平分線(xiàn)，ADAD 又是 BCBC 邊上的中線(xiàn)。求證: ABCABC 是等腰三角形。思路分析：1） 題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)。2 2）解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn)等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了ADAD 又是 BCBC 邊上的

5、中線(xiàn)這一條件，而且要求證 AB=ACAB=AC，可倍長(zhǎng) ADAD 得全等三角形，從而問(wèn)題得證。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng) ADAD 到 E E，使 DE=ADDE=AD，連接 BEBE。又因?yàn)?ADAD 是 BCBC 邊上的中線(xiàn)， BD=DCBD=DC又/ BDE=BDE= / CDACDA BEMBEM CAD,CAD,故 EB=ACEB=AC，/ E=E= / 2 2， ADAD 是/ BACBAC 的平分線(xiàn)/ 仁/2 2，/ 仁/ E E，AB=EB從而AB=AC即卩ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常加倍延長(zhǎng)此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。(3)遇到角

6、平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用 的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性 質(zhì)定理或逆定理。例3:已知，如圖，AC平分/BAD CD=CB ABAD求證：/B+/ADC=180。A AC C思路分析：1)題意分析：本題考查角平分線(xiàn)定理的應(yīng)用。2)解題思路：因?yàn)锳C是/BAD的平分線(xiàn)，所以可過(guò)點(diǎn)C作/BAD的兩邊的 垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。解答過(guò)程：證明：作CELAB于E,CF丄AD于F。 AC平分/BAD CE=CF在RtCBE和RtCDF中,VCE=CF CB=CD RtCB專(zhuān)RtCDF/B=/CDFV/ CDFy

7、ADC=180 ,/B+/ADC=180。解題后的思考：(4)過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4:如圖，ABC中，AB=AC E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連EF交BC于D,若EB=CF求證：DE=DF思路分析：1） 題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2 2） 解題思路：因?yàn)?DEDE、DFDF 所在的兩個(gè)三角形 A DEBDEB 與 A DFCDFC 不可能全等，又知 EB=CFEB=CF , 所以需通過(guò)添加輔助線(xiàn)進(jìn)行相等線(xiàn)段的等量代換：過(guò)E E 作 EG/CFEG/CF ,構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三

8、 角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。解答過(guò)程：證明：過(guò)E作EG/AC交BC于G,則/EGBM ACB又AB=AC；/B=/ACB/ B=/ EGB / EGDM DCF EB=EG=CFV/ EDBM CDF DGE A DCFDE=DF解題后的思考：此題的輔助線(xiàn)還可以有以下幾種作法:例5： ABC中 , /BAC=60, /C=40,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/MABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1） 題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2） 解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+A彫勢(shì)較為復(fù)雜,我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和

9、右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線(xiàn)段的和即可得證。可過(guò)O作BC的平行線(xiàn)。得ADOA AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再證出BD=ODft可以 了。解答過(guò)程：圖證明：如圖（1）,過(guò)O作0D/ BC交AB于D,/ ADOh ABC=180 60 40 =80,又/AQOMC+/QBC=80,/ ADOh AQO又/DAOh QAO OA=AO ADOA AQO-OD=OQAD=AQ又TOD/ BP,h PBOh DOB又/PBOh DBO h DBOh DOBBD=OD又/BPAh C+h PAC=70 ,/ BOPh OBAh BAO=70 ,/ BOPhBPOBP=OB AB+B P=AD+DB+

10、B P=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2）,過(guò)O作OD/ BC交AC于D,則ADOA ABO從而得以解決。圖如圖（引，過(guò)0作DE/BC交AB于D,交AC于匸MAADOAAQO, ADO絲AEO從而得以解決圖如圖（4）,過(guò)P作PDTZBQ交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于D,則AAPDAAPC從而 得以解彳扎如圖（5）,過(guò)P作PD/ BQ交AC于。，則ABPA ADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線(xiàn)添加方法， 體會(huì)添加輔助線(xiàn)的目的在于構(gòu)造全 等三角形。而不同的添加方法

11、實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu) 造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線(xiàn)段中的作用。從變換的觀(guān)點(diǎn)可以看到，不論是作平行 線(xiàn)還是倍長(zhǎng)中線(xiàn)，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu) 造了全等三角形。（5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段 相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，使之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān) 性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。例6：如圖甲，AD/ BC點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上,/ADE=/CDE/DC=/ECB求證：CDADFBC圖思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2） 解題思路：結(jié)論

12、是CDAD+BC,可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”， 即在CD上截取CF=CB只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線(xiàn)段相等的問(wèn) 題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。解答過(guò)程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙CF = CB乙 FEE =乙 BCECE=CBFCEA BCE(SAS，/ 2=/1。又AD/ BC，/ ADC/BCD：180，/DC+/CDE：90,/2+/3=90,/1 +/4=90/ 3= / 4o在FDE與ADE中,FCNFDE = DEDE = DEZ3 = Z4 FDEAADE（ASA ,DF=DACD=DF+CF,/.CD=ADhBC。解題后的思考：遇到求證一條線(xiàn)段等于

13、另兩條線(xiàn)段之和時(shí)， 一般方法是截長(zhǎng) 法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另 一條；補(bǔ)短：將一條短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線(xiàn)段，然后證明新線(xiàn)段等 于長(zhǎng)線(xiàn)段。1 1） 對(duì)于證明有關(guān)線(xiàn)段和差的不等式， 通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第三邊、 之差 小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連 接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形 圖中有角平分線(xiàn)， 角平分線(xiàn)平行線(xiàn)， 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)， 線(xiàn)段和差不等式， 三角形

14、中有中線(xiàn)，同步練習(xí)（答題時(shí)間：90分鐘）這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線(xiàn)的，開(kāi)動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一 定行！1、已知，如圖1,在四邊形ABCD中,BCAB, AD=DC BD平分/ABC求證：/BAD/BCD：180o2、已知，如圖2,/仁/2,P為BN上一點(diǎn)，且PD丄BC于點(diǎn)D, ABFBG=2BD求證：/BAP/BCf=180o也可將圖對(duì)折看,角平分線(xiàn)加垂線(xiàn),線(xiàn)段和差及倍半,三角形中兩中點(diǎn),對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。三線(xiàn)合一試試看。延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。連接則成中位線(xiàn)?？上騼蛇呑鞔咕€(xiàn)。等腰三角形來(lái)添。常向兩端把線(xiàn)連。移到同一三角形。延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。圖23、已知，如圖3,在ABC中,/C=

15、2/B,/1= /2。求證：AB=AQCD4、已知，如圖4, D、E為AABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證！AB+ACBD+DE+CE.C C5、如圖5, AD為ABC的中線(xiàn)*求證！AB+AC2AD,6、如圖竹所示，AD是AABC的中線(xiàn)，EE交AC于広 交AD于F，且AE=EF 求證；AC=BF.你熱愛(ài)生命嗎？那么別浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)闀r(shí)間是組成生命的材料-富蘭克林試題答案1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?80,因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過(guò)全等轉(zhuǎn) 化成為平角，圖中缺少全等的三角形， 因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過(guò)“截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn)。證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,作DF丄BC于點(diǎn)F,如圖1-2C

16、 CBD令厶啟、 DE=DF,在舟與舟CD阿,DE = DFAD=CD RtAD專(zhuān)RtCDFHL),/./DAE：/DCF又/BADV DAE：180,/./BAD/DCF：18O, 即/BADV BCD：1802、分析：與1相類(lèi)似，證兩個(gè)角的和是180,可把它們移到一起，讓它們 成為鄰補(bǔ)角，即證明/BC：/EAF，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu) 造。證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,如圖2-2 Z1=Z2.且FD丄.PE=FD.在用EF 禹殆卩D中,PE=PDEP = EP二圧刃咤帀陽(yáng)畑卜二 BETD.AB+BC=7BD, .AB+BIDC=BLBE. .-.AB+DCB卩D

17、O萬(wàn)童”川 在曲與曲CPD中,FE= PDZPEA = APDCAE= DC:.RtAPE RtCP (SAS),/./PAE=/PCD又/BAPV PAE：180。/BAR/BCf=1803、分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CEzCD或在AB上截取AF=AG證明：方法一（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC到E,使DC=CE則/CDE=/CED如圖3-2N圖2*2二=N在/ABIAED中,rzi=z2AB=ZEAD=AD二乂EDH/UEZH曲刃，方法二（截長(zhǎng)法）在佃上截取4尸三4 G如圖3.3AF = ACZ1 = Z2An=AD:.AFDAACD(SAS , DF=DC

18、/ AFD=/ ACD又/ACB= 2/B,/ FDB=/ B, FD=FB AB=AF+FB=AC+FD AB=AC+CD4、證明：（方法一） 將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB AC于M N,C在AMN中,AM+ANMD+DE+NE 在BDM中,MB+MDBD在CEN中,CN+NECE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（方法二：圖4-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,延長(zhǎng)CE交BF于G在ABF GFCffiA GD沖有：AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE

19、+DEI AB+ACBD+DE+.EC5、分析：要證AB+AC2AD由圖想到：AB+BDADAC+CDAD所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2左邊比要證結(jié)論多BD+C D故不能直接證出此題，而 由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證眼延長(zhǎng)AD至E,使DEAD連接BE, CEYAD為AABC的中線(xiàn)（已知）/.BD=CD（中線(xiàn)定義）在iACD和AEBD中BD=CD己證）Z1 = ZX對(duì)頂角相等）AD = ED輔助線(xiàn)作法）:.ACdA EBD（SAS BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+BEAE三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC2AD6、分析：欲證AC=BF只需證AC BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有含 有AC BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有AC BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩 條線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一