西北工業(yè)大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》213 一維隨機(jī)變量及其

1、第一節(jié) 一維隨機(jī)變量 及其分布(3 五、連續(xù)型隨機(jī)變量 六、典型的連續(xù)型 隨機(jī)變量及其分布 回 回 停 停 下 下 五、連續(xù)型隨機(jī)變量 1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 定義 對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函 數(shù) p(x ( xR, 使得X 的分布函數(shù) F ( x = x p( y dy 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,且稱p(x 為密度函 數(shù),或概率密度. 注 此定義中涉及三個(gè)名詞: 連續(xù)型隨機(jī)變量, 密度函數(shù),分布函數(shù). 2.密度函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量, p(x 為X的密度函數(shù), F(x為X的分布函數(shù) ,則 (1 p( x 0, x R; (2 p( x dx = 1; + (3 P a

2、< X b = F (b F (a = p( x dx; b (4 P X = c = 0. a 證 前3個(gè)性質(zhì)顯然成立,下面只給出第4個(gè) 性質(zhì)的證明 X = c c < X c , > 0 而 0 P X = c P c < X c 0+ lim P c < X c = lim p ( x d x = 0. 0+ c c P X = c = 0. 為什么等于零？ 變上（下）限積 分連續(xù) 注 1º 性質(zhì)4說(shuō)明對(duì)于任意可能值c ,連續(xù)型隨機(jī) 變量取 c 的概率等于零. 2º 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則 P a < X b = P a <

3、 X < b = P a X < b = P a X b 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無(wú)關(guān) 3º P ( A = 0 P ( A = 1 A= A= 例1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ke 3 x , p( x = 0, + x > 0, x 0. 試確定常數(shù) k , 并求P X > 0.1. 3 x 由 p ( x d x = 1 k e dx = 1 解 0 + 所以 k = 3. P X > 0.1 = + 0.1 3e 3 x dx = 0.7408 六、典型的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 1.均勻分布 (1 定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 具有概率密

4、度： 1 , a x b, p( x = b a 其它. 0, 則稱 X在區(qū)間 a , b 上服從均勻分布 , 記為 X U a , b. 分布函數(shù)為: x a, 0, x a F ( x = , a < x b, b a x > b. 1, (2 均勻分布的性質(zhì) 如果X U a , b, 則 1 P X < a = P X > b = 0; d c 2 當(dāng)a c < d b時(shí)，有 Pc X < d = . ba 例2 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn) 對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函

5、數(shù)為 1 , 2 x 5, p( x = 3 0, 其它. 設(shè) A 表示“對(duì) X 的觀測(cè)值大于 3”, 即 A= X >3 . 由于 P ( A = P X > 3 = 3 51 2 dx = , 3 3 設(shè)Y 表示對(duì) X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)中, 觀測(cè)值大于 3的次數(shù), 2 則 Y B ( 3 , . 3 因而有 2 2 0 20 2 2 2 3 2 3 P Y 2 = C 3 ( (1 + C 3 ( (1 = . 3 3 3 3 27 2.正態(tài)分布(高斯分布 (1定義 若隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 1 p( x = e 2 ( x µ 2 2 2 < x < +

6、 其中 > 0, µ與 為常數(shù)，則稱 X服從正態(tài)分布， 記為 X N ( µ , 2 . 相應(yīng)的分布 函數(shù)為: 1 F ( x = e 2 ( t µ 2 x 2 2 dt 特別當(dāng) µ = 0， = 1時(shí)，稱 X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 記為X N (0,1,相應(yīng)的密度函數(shù)記為 ( x , 1 ( x = 2 x2 e 2 < x< 相應(yīng)的分布函數(shù)記為 ( x 1 ( x = 2 t2 x e 2 dt (2 正態(tài)概率密度函數(shù)的特性 1 曲線關(guān)于 x = µ 對(duì)稱; 2 當(dāng)x = µ時(shí), p( x 取得 1 最大值 ; 2

7、 1 2 y y = p( x 3 當(dāng) x ± 時(shí), p( x 0; 4 曲線在 x = µ ± 處有拐點(diǎn) ; O µ µ+ x x=µ 什么是拐點(diǎn)？ 5 曲線以 x 軸為漸近線 ; 6 當(dāng)固定 , 改變 µ 的大小時(shí) , p( x 圖形的形狀 不變 , 只是沿著 x 軸作平移 ; 7 當(dāng)固定 µ, 改變 的大小時(shí) , p( x 圖形的對(duì)稱軸不變， 而形狀在改變 . 越小 , 圖形越高越瘦， 越大， 圖形越矮越胖 . 1 y 1 2 2 y = p( x O x=µ x 正態(tài)分布的應(yīng)用: 正態(tài)分布是概率論

8、中最重要的分布, 例 如測(cè)量誤差,隨機(jī)噪聲, 學(xué)生成績(jī),產(chǎn)品的尺寸 等, 大量的隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述. 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系: 如果 X N ( µ , ,Y = 2 X µ , 那么Y N (0,1. 下面我們給出簡(jiǎn)單的說(shuō) 明， 由 Y的表達(dá)式可以求 Y的分布函數(shù) X µ FY ( y = P Y y = P y = P X y + µ 1 = 2 y+ µ (u µ exp du 2 2 2 令t = u µ ,則 y 2 1 t FY ( y = exp dt 2 2 所以 Y N (0,1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

9、布的性質(zhì): 1 2 ( x 為偶函數(shù)； ( x = 1 ( x , ( 0 = 0 .5； 1 ; 3 M = max ( x = (0 = 2 4 ( x 的原函數(shù)不能用初等函 數(shù)表示； 5 由 ( x dx = + + 1 2 x2 e 2 dx =1 可得 x2 + e 2 dx = 2 . 例3 若 X N (0,1, 求 P1 < X 2. 解 P 1 < X 2 = F ( 2 F (1 = ( 2 (1 查附表 2， 知 ( 2 = 0.977 3, (1 = 0.841 3, 則 P 1 < X 2 = 0.977 3 0.841 3 = 0.136 例4 若

10、X N ( µ , 2 , 求P µ 3 < X µ + 3 . 解 由Y = X µ N (0,1可得 P µ 3 < X µ + 3 = P 3 < X µ = P 3 < Y 3 = ( 3 ( 3 根據(jù)( x 的定義可知， ( x = 1 ( x , 查附表 2得 3 ( 3 = 0.998 65, 則 P µ 3 < X µ + 3 = 2( 3 1 = 2 × 0.998 65 1 = 0.997 3 由本例可以看出，如果 X N ( µ ,

11、2 , 則 X的值 落在 ( µ 3 , µ + 3 之外的概率為 0.0027，這就 是質(zhì)量管理上所謂的 6原理 . 例5 設(shè)X N ( µ , 2 , 則 bµ aµ P a < X b = ( ( aµ X µ bµ 解 P a < X b = P < bµ aµ = ( ( 本例給出了當(dāng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 時(shí), 如果我們要計(jì)算關(guān)于它的概率問題,則 可以轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算. 3.指數(shù)分布 定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 e x , x > 0

12、, p( x = x 0. 0, 其中 > 0 為常數(shù) , 則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù) 分布, 記作 X Exp( . 相應(yīng)的分布函數(shù)為 1 e x , x > 0, F ( x = x 0. 0, 指數(shù)分布也是常用分布之一,常用它來(lái)描 述各種“壽命”問題,如電子元器件的壽命,生物 的壽命. 指數(shù)分布具有“無(wú)記憶 性”的特點(diǎn) .即對(duì)于 任意的 s > 0, t > 0, 若 X Exp( , 則 P X > s + t | X > s = P X > s + t / P X > s = e ( s + t / e s = e t 因此 P X

13、> s + t | X > s = P X > t 例6 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布(單位:小時(shí) (1任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時(shí)以 上的概率. (2有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以 上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率. 解 X 的分布函數(shù)為 1 1 e 2000 x , F ( x = 0, x 0, x < 0. (1 P X > 1000= 1 P X 1000 = 1 F (1000 1 1 e 2000x , x 0, F ( x = x < 0. 0, =e 1 2 0.607

14、. ( 2 P X > 2000 X > 1000 P X > 2000, X > 1000 = P X > 1000 P X > 2000 = P X > 1000 1 P X 2000 = 1 P X 1000 1 F ( 2000 = 1 F (1000 =e 1 2 1 1 e 2000x , x 0, F ( x = x < 0. 0, 0.607. 指數(shù)分布的重要性質(zhì) : “無(wú)記憶性”. 內(nèi)容小結(jié) 1. 連續(xù)型隨機(jī)變量 F ( x = x p( t d t F ( x 為分布函數(shù)， p( x 為概率密度函數(shù) . 2. 常見連續(xù)型隨機(jī)變

15、量的分布 均勻分布 正態(tài)分布(高斯分布 指數(shù)分布 備用題 例1-1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為： F ( x = A + B arctan x 求(1 常系數(shù) A及B; < x< ( 2隨機(jī)變量 X落在( 1, 1內(nèi)的概率; ( 3隨機(jī)變量 X的分布密度 . 解 (1 F ( + = A + B = 1 2 F ( = A B = 0 2 1 1 解之得 A = , B = 2 ( 2 P 1 < X < 1 = F (1 0 F ( 1 1 1 1 1 = ( + × ( × 2 4 2 4 1 = 2 1 1 ( 3 p( x = F (

16、x = × 1 + x2 例1-2 設(shè) x2 x p1 ( x = a e 2a , 0, x 0, ( a > 0 x < 0. 1 cos x , 0 < x < , 2 p2 ( x = 其他 . 0, , cos x , < < x 2 2 p3 ( x = 其他 . 0, (1上面 p1 ( x , p2 ( x , p3 ( x 是否為隨機(jī)變量 X的分布 密度. (2 若是X的分布密度,求出X的分布函數(shù). ( 3求P0 X 1. 解 + (1因?yàn)樵?x ( ,+ 時(shí), p1 ( x 0, 且 0 2 x + x e 2 a dx 0 a

17、 0dx + p1 ( x dx = = + 2 x e 2a 0 =1 所以 p1 ( x 為X的分布密度 . 1 cos x < 0, 所以 p ( x 不 因?yàn)楫?dāng) x ( , 時(shí) , p ( x = 2 2 2 2 是X的分布密度 .又 + 2 2 p 3 ( x dx = 0dx + cos xdx + 0dx 2 2 = sin x 2 = 2 > 1 2 + 所以 p3 ( x 不是X的分布密度 . ( 2由(1知 p1 ( x 為X的分布密度 , 其分布函數(shù)為 F ( x = x 0時(shí) x p1 ( t dt ,因?yàn)?x < 0時(shí), p1 ( x = 0, 所以

18、F ( x = 0 F ( x = 0dx + 0 2 t x t e 2 a dt 0 a = x 2 t e 2a 0 2 x = 1 e 2a 2 F ( x = x 1 e 2a , x 0. ( 3求P 0 X 1時(shí), 可以使用分布函數(shù) F ( x , 也可 綜上所述 0, x < 0, 以使用分布密度 p1 ( x .則 P0 X 1 = F (1 1 F ( 0 = 1 e 2 a 1 0 = 1 e 2a 或 P 0 X 1 = 2 x 1 x e 2 a dx 0a = 1 2 x e 2a 0 1 = 1 e 2a 例 2-1 設(shè) k 在(0,5上服從均勻分布，求方

19、程 4 x 2 + 4kx + k + 2 = 0 有實(shí)根的概率. 解 當(dāng) 16k 16( k + 2 0 時(shí), 2 即 k ( k + 2 = ( k 2( k + 1 0 時(shí), 亦即 k 2 或 k 1 時(shí) , 有實(shí)根 , 2 則有實(shí)根的概率為 3 p= dx = . 25 5 51 例 5-1 某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī) (百分制, 服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?72 分，96分以上占考生總數(shù)的2.3%, 試求考生 的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?60分至 84分之間的概率. 解 依題意，考生外語(yǔ)成績(jī) X N ( µ , 2 , 其中 µ = 72，且 P X > 96 =

20、 0 .023 于是 P X 96 = 1 P X > 96 = 1 0 .023 = 0 .977 又 P X 96 = ( 96 µ = ( ( 24 96 72 = 0 .977 = ( 24 查表，知 ( 2 = 0 .977 由 ( x 的單調(diào)增加性，得 = 12 因而 X N ( 72 ,12 2 24 =2 故 P60 X 84 84 72 60 72 = ( ( 12 12 = (1 ( 1 = (1 1 (1 = 2 (1 1 查表，得 (1 = 0 .841 P 60 X 84 = 2 × 0 .841 1 = 0 .682 例5-2 設(shè)X的概率密

21、度函數(shù)為 1 ( x 2 + 4 x 4 6 p( x = e , < x < + . 6 求： (1 P1 < x < 3; ( 2使 + C p( x dx = C p( x dx的C . ( 2×3 1 ( x 2 + 4 x 4 6 1 ( x 2 2 解 因?yàn)?e = e 6 2 3 所以， X N ( 2,3.從而 , 3 3 2 1 2 P 1 < X < 3 = 1 = 2 3 3 3 = 2(0.5773 1 = 0.438(查表 （2）要使 + C p( x dx = C p( x dx , 則C為概率分布 的對(duì)稱點(diǎn) .由正態(tài)分布的性態(tài)知 C = µ = 2為所求 . 例5-3 公共汽車車門的高度是按成年男子與門楣 碰頭的概率不大于0.01設(shè)計(jì)的,設(shè)成年男子身高(單 位：厘米） X N (170,62 , 試確定車門應(yīng)設(shè)計(jì)的最 低高度 h. 解 設(shè)車門高度為 h，則應(yīng)有 P X > h 0.01. h 170 P X > h = 1 P X h = 1 0.01, 6 h 170 h 170 即 0.99, 查表知 2.33, 于是 6 6 h = 170 + 2.33 ×