實(shí)變函數(shù)與泛函分析(鄭維行王聲望)第四版下冊(cè)課后習(xí)題答案(非完整版)

1、第六章距離空間2. 設(shè)jt是距肉空問.aczx.證叫j的一切4點(diǎn)組成的集必為開集.【證】設(shè)=為d的內(nèi)點(diǎn).仃取xe/，只需證明xslb的點(diǎn)即可.w x ii: a的內(nèi)點(diǎn)，故必作舟萬(wàn)>0,使開球s(x)ea t現(xiàn)證明 s(x.s)eb.卞實(shí)上對(duì)于s(x.j)中任一點(diǎn)y,令= -p(x, y)>0,則s(yt4)c s(夕，a , 故v jj d內(nèi)點(diǎn)，也就足說(shuō).v(x,rf)e 從而h為開亂 (或h接說(shuō)明，因s(x,/y)ft k屮仟 點(diǎn)的鄰域，即k:屮仟點(diǎn)均介鄰域介4: j中，則中的梅一點(diǎn)為/i的內(nèi)點(diǎn)，囚此5(x),從iftjfl力幵集.)3. 設(shè)義是可分的hl離空f(shuō)"j.

2、gt(cej) x的一個(gè)閹蓋，則從gj中能 取出可列個(gè)了央組成y的一個(gè)覆蓋.【證】/i是nf分染，即存在可列子以水x:，“.x,，".&4中mi.假?zèng)] g = gc a的一個(gè)開蒗蓋.沒&足以為球心，可以乜含在某一個(gè)羧蓋開集 內(nèi)的最大球的半徑，即c = sup r: ge c g,«(r, r) c gr. 對(duì)于仟忌xj,存在開集ttw-veg.,由于x足g的內(nèi)點(diǎn)，則存在 ru>0 ,«x,)cg ,由于尺在.4屮稠密，存在k屮的一點(diǎn)尺，有由<，的定義知,5(xo,y卜從而xegn.故g”(?”g"構(gòu) 成d的-個(gè)開覆蓋.4. 設(shè)

3、x按跑離尸為距離空間，ax |：空.令(x ar).證明足a'卜.的連續(xù)函s.【證】任取.tey及£>0，存在.rvej,使得 p(x,xo)< f(x)£.vexhf(y)p(y,x9)p(a>)+p(x，xq)< p(r,y)+/(.v) + r. 即f(y) - /(v) < p(.v, y) + e.由的任意性知/<.v)-/(x)spor,.v) 同理可得/w-/(/)p(x,j).聯(lián)合上® w式立hp得k(.v)-/(.y)卜p(.t,.v)，故/(xpj連續(xù)函數(shù).7.沒/(.r)足由hl離空問劃距離空ma?

4、|i的連續(xù)映射，.4在義屮倜密， 證明f(a)f(x中碉密.【證】11*収則存在aea.使z = /(_0.因?yàn)閍:x，故存在 xaea .使.v，再根裾/的連純性將，/(aj->/(a).所以 /()= .,(y).s. m.ca.h小在卜4上具冇iwu階連續(xù)y凾數(shù)的全部函數(shù)構(gòu)成的衆(zhòng). 對(duì)于 xyec1 a,bt 令外，=-戶(小這，p規(guī)定？證明:(1)ca a.bk照距離個(gè)問： 多項(xiàng)式個(gè)體按ktpac* a.b中碉密.【證】(1)然滿足距?u公川!三個(gè)條件，照廠是跏離宇間. 任取xecka,b, 6->0, w?4,(/)cfr, rfl weiestmss ie近定#11，在

5、多項(xiàng)式函數(shù)p(r),使，卜(其中a = max lb-a.令_v(r)滿足微分方程°i戶=沖)，y(a卜 i(a).y'(小 x."'/ i («) = ./_”卜). »y (f) s:多項(xiàng)式w數(shù).由戶(/)-x=(產(chǎn)”w) 可得max戶-x，)叫-七儼1)(卜戶)(/)卜從而p(x, r) < £.即多項(xiàng)式企體按照p在c4 a,b中視密.10.設(shè)x足距離寧間，上的距離，令證明:p也是尤上的距離:(2) (x.p)【證】(1) p滿足非負(fù)性和對(duì)稱性足顯然的.只費(fèi)證明三免d、等乂 小，p(x) , py)p(xfy) l

6、+ p(x,z) l + p(z,v)'為此只處e明下而不等人威、7.:1+卜方1+1i，.由于函數(shù)<j(x)= hlx間(aoo)卜單淵遞增，r.|a + b、a| + |a|，nj以看出卜糾 < h+i*l = . n <_h_. h l + pr + 6| l + |n| + |/>| l + |a| +卜 | l + pr| + |fr| 1 + |a| l + |/»|s/朵從巧的自然映射(fe其變抶).一"面1 + /心，少)另-力而，v)< i吋：有p(v.v)=/>?y<2/hyvv).卜 p(w)刖可得/

7、i均連續(xù)，故14.證明宇叫尸足完谷的、可分的距離寧問，1t屮/?(-y)= j .【ii門 我們12知化ft廠按i-而史義的ilp(x.y)是 甘離中間. 完備性:設(shè)xjc/'fi苺木列，其屮x=(),別對(duì)仃給/;>(),存在/v，當(dāng)m.n n時(shí)，訂»j|d"l-ap(* = u，")(w，”ao.故對(duì)每個(gè)，屮的拱本列. 故收效.現(xiàn)=令.v = (o.卜面iieiioxer, h.rw->.r.汽先對(duì)于仃意自然數(shù)*邢打(術(shù)mv)w定n.令w -> x得淤-么 (n>n), *=| 冉令1400得h )，故夂一弋-«/p,由

8、x = xn-(x-.r)及/"坫一線性空間知xe/ 完缶 性符證.可憾:令£；= u:.y = (/,人.0.0.)，/;為江一自然數(shù)，/;均為冇刊數(shù)(這見+ 妨設(shè)，”性空問)，則e。為r 一個(gè)nr數(shù)子尖.下面證明e。在r中綢密.|rmzx/ £ >o9 n 先存介:,zll<7j-fill而對(duì)于4(4r»b2t-sm)必在c2，r;，使卜i厶巧 1? a點(diǎn) j。= (%，q，人，0.0,.)e kt 使 p(x, v)<z.,r可分得證.16. 設(shè)久是距離宇間，ax.如果.4按照y的阼離是充備的，iif明/!是 y中的 苦究備的距離

9、空m,的，則/按照y的禮離是a&的距角空間.【證】仟取.re/!，則存j,使由丁收斂點(diǎn)列是/i屮基木列，芯/!完備.wlxj收斂到4中一點(diǎn)，由極限唯一性知rd, u|u處閉集.反過來(lái)，aax是免，則/中任總填本列收斂j中.即d完備.17. 設(shè)7?足實(shí)數(shù)域，在/?上定義距離a（v）=k-e>i»則/?按p:是一個(gè)距離空問fl i不w濟(jì).【證】巧滿足距離二個(gè)條件顯然.下曲距說(shuō)明/?按*小完格.=-n ,則=0.jim a.vj = jim eaifvj 圮/?屮的 chaachy 列，而利fes, a e /?, tflimp2(.v.v) = lim |f -e '

10、;即不收斂.18. 設(shè)y是距離寧間.abx.若足第一類v的集.w1.4也是第一 類徹的鉅.77/4 類叩的史，則也足第-類中的突. 【證】若類型的笫，wb=ur ,其屮1屮的稀疏笫.而 n-la二 d，則/=/fn=u（/in） a-l而ac也是a中mi說(shuō)央，從而j也是筇一芡型的央.心.4垃濃類也的集.s必垃弟一類型的衆(zhòng).古_(tái)若2?垃泊一類型的集. 由上而結(jié)論j也足第一類叩的集，得出矛js.19. 設(shè);t足距離卞間，4cx足閉集.如果/圮第二類¥集，則.4包含1 中的某個(gè)閉球.【證】囚數(shù)a二類型染，則/非稀硫奐，bu/在jt的足個(gè)開免g中稠密，co g（za = a . g為丌染，則

11、存在開球s（x0,r）c:g .又閉球5 x0. .v(xfl,r)cgc j,故ax的某個(gè)閉球.20. 設(shè)x足究抓此咼空pi，非空開疋，則g足笫二類瞾®. 【證】m為c7足跑離空問屮彬空開鋌，_存在一包含于(7的閉球s,由于 y完備，故.s完備.由貝爾(baire)定狎，s玷第-類把免.冉由ik題結(jié)論.g s第二類型災(zāi).21. 設(shè)x足宂缶跑尚空叫，aaxitui列子萊.問/足杏必為第一類型鋌？ 如果足，試給予證剛，如果4、足，試平出例【解】d不為第-類型災(zāi).例如，在u:i>x = 0.l.2. . 上定義跖離如 k：p(x.v) = |x->*| (x，.vel).e然

12、技照p，x的毎個(gè)單元素集既是開集也是閉化.a*足宂備*<、|川，故它的毎 個(gè)中元素a免都足第一炎m的染.故y s第炎型的認(rèn).22.沒兄是宂格41離空間，/；(77 = 1,2,-)y.jx中的一列閉集，滿足廠,，并且毎一個(gè) fn0 , limj(/:；) = o，dfn')表 /j< 7： w a 徑.w d(fn) =sup p(x, r),則p *0,帶例說(shuō)明條件lim'：/(f ) = 0不能去抻.【址】(分此題和書中定規(guī)3.2的內(nèi)容抵本一樣)4、妨k/-=>e=>,則 nj取 xnefn- (n = 1,2."),符 x 屮一點(diǎn)列xw,

13、因 h ww 時(shí)，么， 此ih永”介a，huw條件d(fj-o , xj hl x屮得姊木列.由y的完缶性，設(shè) lim=ey .下面證idj.ren/；. 實(shí)上對(duì)任一自然數(shù)/n , n>m時(shí)， «h"*r艚顧應(yīng)f,a 為閉集，ixef,nt 從而 xea/：.4:1取而«¥ = 12."在上面定義距= (m.ncx).則x完缶.pi令/-；=n.rr + l,.則弋s閉尖，r滿足包介關(guān)系，們足不滿足條件) = 0.筋證 0尺=0.23.證明推緊集的w包足緊集.【證】設(shè)/!足距離寧問/上的準(zhǔn)緊鉅.若xjczj.則存在yhaa滿足由.4準(zhǔn)緊，

14、凡存在了列|凡收斂，w存在 ，有l(wèi)irna=>0.顯然 少0 e人而卜介在收斂于1的r列，即】緊.26. 證明:如果尸，g是距離空中的緊集,則存在x0/- p(乓,6)=水，y<j，其中p(f_,)= inf p(x.y).并證明:若咐，/；) = 0,則巧門/>0. 【址】山卜確界的定義.必存在.veff ynef.r使 p(/-,f)=lirnp(,j.w為尸，盡為y中的緊柒，必存在子序列h使 wb y,-ef2, m 山p(x.y)的連續(xù)性，叩得p(.) = p(v0,y(,).若戶(ai，o0，即存在 vo，toe > 有 /7(xo-.vq) = ()，即 x

15、o = >0，則 xoeclf,巧門盡 *0.27. 如果尸，6足跑離空問a中的子菜，其中一個(gè)足閉集另一個(gè)足緊果. 證明：如果p(f；，6) = 0，i則廠r#0.【證】ti p(?；,e) = 0 ,即存 a 點(diǎn)列xj g b , yef2 , fi* =0 .由6是緊集，mij > fr在收斂子列y,沒limy. = y0, yqf2- ihj，)o)p(，凡)+ p(j、，)-> 0.uplimx =y0.又 f 是閉染，故 y0 e f，所以 flf, # 0.34. 設(shè)r為完備距離空問x刊自身的映射，如果p(rx,ry % = inf sup?< 1，-.，小

16、，y) 則7*存在唯的不疏【證】由a。定義知，存在/7。，_ p(x.y)記上確界為汐,則對(duì)任怠h ptxja-yop(x.y).則廠"力一縮映射.乂空問欠完備.山定狎6.2知7存在唯一小動(dòng)點(diǎn).35. ftx足以p為北咼的緊空問，t h x mj它自身的映射，若對(duì)仃:何 x. v e x. i!5 a # > ih,有ptx,ty)<px.y)t則r有咐一的不動(dòng)點(diǎn).【證】唯一性易證.下證存在性.定義(x) = p(x,7x)則診是y上的迮續(xù)凼數(shù)，ititx緊，爐在x /|4小值，isx0gx是足小點(diǎn)，即 (xg) = minp(.r,7：v),若.y0*7v0，則爐(7x

17、>) = p(h，廣'0)<p().h)u)，小(ft矛盾，故.v。=tx#t 的不動(dòng) a.第七章巴拿赫空間與希爾伯特空間5、設(shè)尸為一切杳界數(shù)列組成的集,殘性運(yùn)兌與廠的相同，在廠屮定義范數(shù)如下， ljl = sup| ifiljv|=er.證明r按照i |足不可分的巴穿鈐空m.證 打w驗(yàn)2|.|滿足范覆，我們證明/'.各性.口 :人足廠屮基木列.兒屮 夂，以”1，廣1，則任給人 < ()存h，關(guān)n吋，有個(gè)ude#木數(shù)嘰id<=iimfl對(duì)甸個(gè)i有1jn樣-r1卜，同定/!，令 w->cofy- <|<右0 = 1,2,-),且id 作r

18、-f.l+d從而可w.r = k:，. ek ji xh -x | -»0(w -> »).下ffi證明r 足不可分的.ca- = |=0cklrmllla：不可fi,且vx,yeat,x* v ll，j，|.r-.v| = l. iw分，則存a%yj在廣屮猶.以欠屮劾屮心.去為伸 f1 jt球.這種丌珅所州成的類+可&.*73 = -則扭個(gè)球屮yk屮的a*.!，從個(gè)夂冋0個(gè)f冋的開球，小妨設(shè)mlw于s(x,|),5(yj). 'x.yek,xyt 則1=i lx - >ll h - h ii+ii .、 -少 ii 名 f trfi.故廣不nr

19、分.6. 沒<?為一切收斂數(shù)列組成的笫,線性運(yùn)j?與f屮相冋，在h'定義范數(shù)于下:l-rll=supl !l屮.r = g，各，么，卜c. iif明c按照|. |是n!分的巴 【證】 完&性：®xj ac屮任一s本列.其屮，=<，則任給f>0存在v，當(dāng)w，n>iv時(shí)，h|f_ok-ll<su=i 二)，故iim4廣存fc.記為彖0 = 1.2.>，因?yàn)閛 |< -c|+1<7 -ci+f.由此立即叫知lim在.tt.r = gc.在弟一個(gè)小等式屮今m->oo?j rr->«k ,卜 0 = 1.2,

20、-.).所以|.、-小0.可分性：id e =w，r，." w為仃一自然數(shù)，/;.r均為數(shù)，則£vcc,且可致.下曲證明eotcc«|'ffi任取x =；r；c. bijlimf存在，故對(duì)訌給 ' #費(fèi)-t)的占>0存在n及ft進(jìn)致r，使為i>n時(shí)，ft|-扣對(duì)im必存在有理數(shù)，;人，.使< -r<i： (z = l,2,-令.v = k,q，/，r，r，"j，則 ye£；,且p(x,y)<£.由s的(tjs性，e,在c屮網(wǎng)密，故c可分.7. 設(shè)r為一w收斂于零的數(shù)列珩成的®，線

21、性運(yùn)在c/p定義范數(shù)于下 hl=sup|. «屮又=化名，證明么技照|.|e可分的巴辛赫空問.【iif】 木題方法m第 6 拽，對(duì)十4分u宙取 ec =,/;.0.().) "e，v,，'.ey ，然dil明 在c0中柏來(lái)11-沒廠玷跋范線tl空w. keexeek.證叨：77在尺屮兒崠少使ftjl-v -y = disf(x,k).【e】 由dist(x.k)定義，存在at屮點(diǎn)列滿足lim|x-yw| = /5r(r,/f).而久是緊鉅，即kj存在收斂f列yfli jetlim =vek則-y =!?卜凡.卜圳(at).ci13. see：巴辛林寧m.點(diǎn)= w&l

22、t;qu,杜屮似><)£常數(shù).ul-明:存在xee,使得x = £r(,ilh<af.由丁=木列，而 £*浴，r'j#/l：ae£.髓16-沒：，/，久，足系列w范戌性空叫.令fs小潤(rùn)圮下述4、薺a的元索 叉=又”心,".又，.椒“”)的個(gè)體：silp|kll<od-i 孓 jvw令|x|=sup|xj|.證明在£足走義的線性運(yùn)似7, £桉照|.|足it財(cái)-.'、:id.如jr liw<®所而人都121*韋«寧問，則£也記巴坌林窄)ef. <x

23、足數(shù)，定義【：1】x = (xl.x2 x- l y = (yny2c vx +> = (+y2>x2+y2>- .xm+yrp - ),fzx = <ax,，a.v”" a.v.*)，易證尺按此運(yùn)j?封即性空f(shuō)"j.易證|，|定范數(shù).卜tt:明乙均無(wú)備，則e jiffr.設(shè)? =«(.<，.> jje+菡木列，腑拘個(gè)” (|<-<|卜|，-1/|卜0 '，；-> 00于是對(duì)w定中的基木列，即存在x. e lklimx：=xn .令x = (rnj2,-x,-).卜對(duì)仃 £c>0.行在/

24、v.時(shí)，利坷個(gè)|«沖卜在 |<-<|<£ 屮令/->»,有 |xi-xfl|<£.同時(shí)sup > | < sup (|x: |+- x，|) < slip |.< 卜 < l<n<«l<«l<rv«c可知xe£.此外還有此即? -x ->0.0 ->«>).完格性得證.17.設(shè)f 范線性空m. i足閉t空問，證明£迕£屮k«l. 【證】 反證法.假設(shè)/、小在尺屮桃疏，即存在尸

25、的開梁c, gcz = l. tt5(a0,r)5cr 屮-個(gè)ji球，則s(.r0,r)c£,從而s(0,r) = s(xo,r)-aoc£.此外.由充/esz引理，存在ye. |y0| = i使符3tj任&xel -r0 s(0,r)g £ r 矛pi.j.t 也遍 ir1, aijy0l.而 j 少。=j20.證明內(nèi)積zew屮.內(nèi)枳與其引峙的范數(shù)ff如下s小關(guān)系:若足實(shí)數(shù)域iw,(八少)=士 0卜+y|: - h - )1:，cj) = dl+)f - h -)，+ /|jf+(y|：-/|.v- of).本拽"miui訓(xùn)|.r| =uy)代

26、入驗(yàn)證.從略.22. 空 m.對(duì) w，若 h+ ).，= m:+|-if 則.t 丄 y. 內(nèi)積iw.這個(gè)納論足杏仍成立？如果不成立，utteiek成立的免分必®條件.【w 】 在文內(nèi)識(shí)郊"i屮.？?|x + .v|=|4+|.vf w (x + y.x + y) = (x,x) + ( y，y) 則(x. x) + (x, y) + (y, x) + (> y) = (x, x) + (y),從 ifu h (a,j) = 0，即 j 丄少.獰是fepj積空闖紡論4、成/.此時(shí)漢ftke<r，少> = ()如在c4kx=l + f,夕= 1-/. lk”

27、lf=iwf+11少f<ii(a) = (1 + /xi + /)o.力will lm(x，>> = 0也成、，.可以驗(yàn)ifk”f=l<+w2, wiw+im1fivalwhil屮.(x，>0 = 0的-個(gè)允分必要條件.23. 設(shè)u &-個(gè)內(nèi)積空m. x.ycu .則x丄_>，的充分必fi篆fl邊利訌何致lk+a*m.【證】必性利川斜邊人十茛角邊顯然.卜址充分性.?7|x + «3/|2>|x|2. ri y*u,則取tr= (a. ) 可fifl，l'= 5（x，y） + a（j/，x） + |a|:|jf =如，0，1、0

28、故必 fi （x.y） = 0.從|ftu 丄 y .24. 設(shè)（/足內(nèi)枳空叫，x.yeu ,則x丄y的充分必要條件足吋任何數(shù)att |.v + tfp| = |x-«|.【證】 必耍性顯然.下證充分性.|.r + a.v| = |x - ay |. ,:ij（x + ayf x+ay） = （x-ay, x - ay）分別fuz = l,a = /r叫得（x,y）的實(shí)部虛郃均為0,即（x，y） = 0.25設(shè)1/是希wa待空問，.w是（/的了宏，證明y足包介a/的范小閉t5m. 【證】（1）正交補(bǔ)均為閉了5間，從而（m丄）j是閉了空間_（2）vxe a/.則 x 丄 a/1，從而

29、v.ve 4/1,-fj（x,） = 0.故.refw1）* 即.wc（.w 丄）（3）iil.v u fellv m閉了 £問.v-a.v1） （a/1）下證a*z（.vx）.對(duì)rkaaep1）1，根卜?i分對(duì)a作在w 了個(gè)m的i卜:女 分解:x = .v+z，ye nc（n zen 從而汝z = 0，這樣x = yen, up/vj.v1）.閔此v=）（v-） z（4/x）'.注：hilbert空叫屮的閉了空問的止交補(bǔ)的正交仆即為k木身.26.的了屮問.& 丄l = lil1 （bu/jl的ft栳和）.uijw l au的w rfuj的充e條件足均為u 酬 f寧問

30、.【證】 必®性：設(shè)乙為閉了寧m.-00）.則xel.u對(duì)一切yea2 ft所以 x e a/ , a =© a, 14 re a 由 a,丄 m.wjea,.人，力w f 中m.hj狎可iieltii閉f寧問.fc分件：&l.l均為閉了空(hj. bul.lc£8vxez,在 a 列乙，sj. xw->x(zr->x), rij(?w,| 為 £ 屮的* 木列.令 xffl> =,其屮 x；w> e li9x e l2.利川fl和的叫證卜|x2<-)j 5/別為£.，屮的琢本列.山于£ra.j5

31、jft.從 而 a,4> ->,v)el'，£,(«->x)令x" = x( + aj因?yàn)閨/、- x'll = |x；fl，一 j, | + |xf-x,|->0 (” -> cd)根祀w限的啡一性n|知，x=xr = +x3e/.即乙&wf空問.28-證明內(nèi)積空間屮的訌何規(guī)范正交系都足線性無(wú)又的.【證】設(shè)e,，e2.人玷規(guī)范正交系|-<jh4個(gè)元今et + k.ez + + 人餺 < =0，_«，心$">廠?式網(wǎng)i川:內(nèi)松，得匆=().故c”.人淺樸h 從而此h . w

32、k性無(wú)又的.29.證明可分爾ftl特個(gè)叫屮的規(guī)范ie交系jri名tt可列的.【證】 由于a可分的內(nèi)積空間.從而存江規(guī)范正交系即a以,a 二 p、且當(dāng)<z*/nij. ptf-| = 2. i«r分，設(shè)kp£t；的"i數(shù)調(diào)密了集.則1>(4)h-i _若可數(shù).則全少ft兩個(gè)+冋元柰么,于某-個(gè)丌球 于ft w = |ea-|< |ea -x| +1|' -ej|< 1，抓故全多可數(shù).30.平例說(shuō)明a積仝m屮充全規(guī)范i交系不定足亢ft的.【櫨】&1: 4'.記4=0,0,0，1，0. （1 在第zrft）,令由里斯一if

33、rvk < riesz - fischer )定迎知，f'el:. pflr = jpan(fuzh 払照廣 的線件運(yùn)»及內(nèi)ftb u為內(nèi)詁然fru屮的規(guī)fcif交系.ii f在u屮£完個(gè)的.4j 實(shí)上，如果xel/.x丄廠，則hukc/定義.存aaa( = 1.2.-,m)ltr = «iz + e«a-取/n>n，得jij0 = (x,e(b) = (aj + v+ x* 因此 k 7 k m*2同樣，對(duì)于2w. fj 0 = (.v,esr) = a(r). x = 0 .即廠在i/屮宂全.(eft1川1、|+益卜2 *而 z(

34、/>jl:=z 去. *-2 *r'j £|(zj|2*|z|2» 即在點(diǎn)/ 不滿足 parseval 等式，itwflu屮個(gè)>2完濟(jì)的規(guī)范政系.第八章巴拿赫空間上的有界線性算子1.沒a(.)足定義迮«4上的蚋數(shù).令(7x0 =(x e ca,hj)9rjr足山c|a,6|到th2的界線性j?了的充要茶n|j£.證必躲性 t:ca%h-cb,且(7x)(,) = a(f)x(l) (x g cuj).?v令x(0 = l.則i4得ae(ua|充分性 ®a(/)qa，/>l.則山(7x)(f) = a(/)x<r)

35、 (xe(扣>|)，可搿r 玷山 t»|刊jc£i旮的妓件訂r.同吋，很w卜1114|7x| = mux |<z(o.v(/) max a(/)| max x(/)| = max11 11 le【川11 m<.*1v z,max a|(vxg).令j</) = 1.則|r|>max|a(r)| x x3.設(shè)無(wú)5j陣(久x/j = u,3,)sup£|z/,|<oo.在f i定義線性算f:其屮，么，么.)，.)!，.則tiimr r屮的娜t性»子, 口. 11=卿辦4【證】7記線性錄aw然.乂|7x =|/| = sup

36、hl = supa sup|aiy|-|x|. 1丨廣|9 廠1所以 m|sup£|w方凼，令 1 %>0x =sgna”sgnar2，.sgna;p卜 h»|*sgnay =so ay =0 -1 a，0則？"er, |戶|<1(/ = 1，2.v), kiiocpcrv° =ea)/ssna«*ea2/sgnav*- z=lz=l|7.|卜叫= sup 7>| = sup 1 *«r:* /-i(/ = 1，2,3,llrhsupzkl«1 /-«y、而m 卜 supj|a.1 h5.在 /

37、上定義 uf:<21y=tx'm=k中x=ft，備，么, ，=,而,."，mr是為界錢性算了.目l71 =s|,rk .irkl【證】ti-l屮的線性鋅了顯然.w為im =玄 wsup|a,|.|a|，所以|t|卜supkl*松垂w方面，令 a = 0,0.，lx)，".)e/，|e.| = l ，則|中料七|，(v/f g v) ''11' i所以 |7 | > sup|aj .從而 |r| = sup|“，. nilh2i7.沒/?，e,，e2都是賦范線性空問，t；teb(e、e、，s；seb(e，e') 若7；),5j 分別按一致訂了柘撲收斂于r,s,則p,7j按一致?7了扣撲收斂于燈.【w】7；7；?5j分別致了仏仆收arr,5.即 |7；-7-|->ot |.vw-.v|->(),(f7->x)從而|sj>srh|v;-sjms7-5r|球 iiikkumi ->0 (n ->qo)此外也可得到7；+按一sff子拓?fù)涫諗縭+s.8.設(shè)£,£；挪sk范線性空間，7；,75(&