蘇教版數(shù)學中考復習之專題十_圓

1、.word格式,- 中考復習之專題十 圓目nn月 教學準備一.教學目標(1)掌握圓的有關概念和計算知道圓由圓心與半徑確定 ，了解圓的對稱性.通過圖形直觀識別圓的弦 、弧、圓心角等基本元素.利用圓的對稱性探索弧、弦、圓心角之間的關系，并會進行簡單計算和說理探索并了解圓周角與圓心角的關系 、直徑所對圓周角的特征.掌握垂徑定理及其推論，并能進行計算和說理.了解三角形外心、三角形外接圓和圓內接三角形的概念 .掌握圓內接四邊形的性質(2)點與圓的位置關系能根據點到圓心的距離和半徑的大小關系確定點與圓的位置關系知道 不在同一直線上的三個點確定一個圓 ”并會作圖.(3)直線與圓的位置關系能根據圓心到直線的距

2、離和半徑的大小關系確定直線與圓的位置關系 .了解切線的概念.能運用切線的性質進行簡單計算和說理 .掌握切線的識別方法.了解三角形內心、三角形內切圓和圓的外切三角形的概念能過圓上一點畫圓的切線并能利用切線長定理進行簡單的切線計算(4)圓與圓的位置關系了解圓與圓的五種位置關系及相應的數(shù)量關系能根據兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關系判定兩圓的位置關系掌握兩圓公切線的定義并能進行簡單計算(5)圓中的計算問題掌握弧長的計算公式，由弧長、半徑、圓心角中已知兩個量求第三個量.掌握求扇形面積的兩個計算公式，并靈活運用.了解圓錐的高、母線等概念.結合生活中的實例(模型)了解圓柱、圓錐的側面展開圖.會求圓柱、

3、圓錐的側面積、全面積，并能結合實際問題加以應用.能綜合運用基本圖形的面積公式求陰影部分面積2 .教學難點與重點：與圓的性質有關的計算、開放題以及與圓和多邊形結合的探索題是本單元的重點也是難點3 .知識要點：知識點1 :知識點之間的關系專業(yè).專注.word格式,知識點 2： 圓的有關性質和計算 弧 、 弦 、 圓心角之間的關系：那么它們所對應的其余各在同圓或等圓中，如果兩條劣?。▋?yōu)?。?、兩個圓心角中有一組量對應相等，組量也分別對應相等 垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦， 并且平分弦所對的兩條弧垂徑定理的推論：平分弦 （ 不是直徑） 的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經過圓

4、心， 并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑， 垂直平分弦， 并且平分弦所對的另一條弧 在同一圓內， 同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于該弧所對的圓心角的一半 圓內接四邊形的性質：圓的內接四邊形對角互補， 并且任何一個外角等于它的內對角知識點 3： 點與圓的位置關系 設點與圓心的距離為d ， 圓的半徑為r ，則點在圓外d r ； 點在圓上d r ； 點在圓內d r 過不在同一直線上的三點有且只有一個圓 一個三角形有且只有一個外接圓 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等知識點 4： 直線與圓的位置關系 設圓心到直線l 的距離為d ， 圓的半徑

5、為r ，則直線與圓相離d r ； 直線與圓相切d r ； 直線與圓相交d r 切線的性質： 與圓只有一個公共點；圓心到切線的距離等于半徑；圓的切線垂直于過切點的半徑切線的識別：如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點三角形的內心到三角形三邊的距離相等 .切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角知識點5:圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種：外

6、離、外切、相交、內切、內含.設兩圓心的距離為d ,兩圓的半徑為r1、r2,則兩圓外離 d r1 r2兩圓外切dr1r2兩圓相交r1r2dr1r2兩圓內切dr1r2兩圓內含dr1r2兩個圓構成軸對稱圖形，連心線（經過兩圓圓心的直線）是對稱軸.由對稱性知：兩圓相切，連心線經過切點.兩圓相交，連心線垂直平分公共弦兩圓公切線的定義：和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線兩個圓在公切線同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.兩個圓在公切線兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線 .公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長知識點6:與圓有關的計算專業(yè).專注弧長公式：ln r180扇形面積公式：S扇形2n r 1 ,lr360

7、2（其中n為圓心角的度數(shù)，r為半徑）圓柱的側面展開圖是矩形圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊為軸旋轉而形成的幾何體圓柱的側面積=底面周長X高圓柱的全面積=側面積+ 2 X底面積圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長圓錐體可以看成是由一個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉而成的幾何體1圓錐的側面積=,x底面周長X母線；圓錐的全面積=側面積+底面積2例題精講例1. 4ABC中，AC= 6, BC= 8, /C=90° ,以點C為圓心，CA為半徑的圓與 AB交于點D,求AD的長.附析】圓中有關弦的計算問題通常利用垂徑定理構造直角三角形求解，所以

8、作CHLAB,這只要求出 AH的長就能得出 AD的長.1軍】作CHLAB,垂足為HzC= 90 , AC= 6, BC= 8- AB =10. zC=90° , CHXAB_ 2_ .AC AH AB又.AC=6, AB=10AH =3.6CHXAB .AD = 2AH .AD =7.2答：AD的長為7.2.說明】解決與弦有關的問題，往往需要構造垂徑定理的基本圖形由半徑、弦心距、弦的一半構成的直角三角形，它是解決此類問題的關鍵 .定理的應用必須與所對應的基本圖形相結合，同學們在復習時要特別注重基本圖形的掌握例2. （1）如圖， ABC內接于OO, AB為直徑，/CAE= ZB,試說明

9、AE與。O相切于點 A.（2）在（1）中，若AB為非直徑的弦，ZCAE= ZB, AE還與。O相切于點A嗎？請說明理由E富附析】第（1）小題中，因為AB為直徑，只要再說明/BAE為直角即可.第（2）小題中，AB為非直徑的弦，但可以轉化為第 （1）小題的情形.解】（1） AB是。O的直徑.-.zC=90ozBAC+ ZB= 90°又. zCAE= ZBzBAC+ /CAE =90°即/BAE =90°AE與。O相切于點 A.（2）連結AO并延長交OO于D,連ZCD.1 .AD 是。O 的直徑zACD= 90°.zD+ZCAD=90又. zD = ZBzB+

10、 ZCAD= 90又zCAE =/B. . zCAE+ ZCAD= 90即/EAD =90°”£仍然與。O相切于點 A.蛻明】本題主要考查切線的識別方法.滲透了 由特殊到一般”的數(shù)學思想方法，這對于學生的探索能力的培養(yǎng)非常重要.例3.如圖，已知OO的直徑AB垂直于弦CD 于 E,連結 AD、BD、OC、OD,且 OD = 5.(1)若 sin / BAD 3,求 CD 的長.5(2)若 ZADO: /EDO=4: 1,求扇形OAC （陰影部分）的面積（結果保留 ）附析】圖形中有 直徑對直角”，這樣就出現(xiàn)了 直角三角形及斜邊上的高 ”的基本圖形，求CD的長就轉化為求DE的長.

11、第（2）小題求扇形 OAC的面積其關鍵是求 OD的度數(shù)，從而轉化為求 "OD的大小.解】（1） .AB是。的直徑，OD=52 .zADB=90 ,AB=10BD又,.在 RtAABD 中，sin / BAD ABBD 63 .zADB=90 ,AB±CD. BD2= BEAB4 .AB=10BD 618 BE=在RtA EBD中，由勾股定理得 DE245一48.CD 2DE 一 5%48答：CD的長為一.5（2） .AB 是。O 的直徑，AB±CDC C C C. CB BD , AC AD. zBAD=/CDB, ZAOC=ZAOD.AO=DO. zBAD=ZA

12、DOzCDB= /ADO設ZADO=4k,則/CDB=4kzADO+ZEDO+ ZEDB= 90.4k 4k k 90得 k= 10 °=100°.zAOD=180 (QAD + /ADO).zAOC=ZAOD = 1002125518100則S扇形OAC 二;二360、.,125答：扇形OAC的面積為18說明】本題涉及到了圓中的重要定理學生對基本圖形、基本定理的掌握程度、直角三角形的邊角關系、扇形面積公式等知識點的綜合，考查了 求DE長的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以運用面積關系來求，但都離不開 直角三角形及斜邊上的高 ”這個基本圖形.解題中也運用了比例問題中

13、的設k法，同時也滲透了轉化”的思想方法.例4.半徑為2.5的。O中，直徑AB的不同側有定點 C和動點P.已知BC : CA=4 : 3,點P在半圓AB 上運動(不與A、B兩點重合)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點 Q.(1)當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；(2)當點P運動到半圓AB的中點時，求CQ的長；(3)當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長.附析】當點P與點C關于AB對稱時，CP被直徑垂直平分，由垂徑定理求出 CP的長，再由RtAACBRt PCQ,可求得CQ的長.當點P在半圓AB上運動時，雖然P、Q點的位置在變，但4PCQ始終與4ACB相 似，點P運動

14、到半圓 AB的中點時，ZPCB= 45° ,作BEX PC于點E, CP= PE+ EC.由于CP與CQ的比值不 變，所以CP取得最大值時 CQ也最大.解】（1）當點P與點C關于AB對稱時，CP, AB,設垂足為D.AB 為。O 的直徑，.zACB=90°. AB=5, AC: CA=4: 3. BC= 4, AC=3SRtMCB= AC BC= 1ABCD2224512CD 一，PC 5.在 RtACB 和 RtPCQ 中，ZACB= /PCQ= 90 , £AB= /CPQRtAACBRtA PCQAC BCPC CQBC PC 4 M 32CQPC AC 3

15、5（2）當點P運動到弧 AB的中點時，過點B作B紅PC于點E （如圖）.P是弧AB的中點，PCB=45CE = BE =又 /CPB= /CAB八4. zCPB= tan/CAB=一3BE332PE - BE ,tan CPB 427 .2從而PC PE EC 2, D 414 2由（1）得，CQ -PC33(3)點P在弧AB上運動時，恒有CQBC PCAC3PC故PC最大時，CQ取到最大值.當PC過圓心O,即PC取最大值5時,CQ最大值為203說明】本題從點P在半圓AB上運動時的兩個特殊位置白計算問題引申到求CQ的最大值，由特殊到一般”的思想方法，另一方面運用運動變化”的觀點解決問題時，尋求

16、變化中的不變性一方面滲透了(題中的RtAACBc/RtA PCQ)往往是解題的關鍵.例5.如圖，PA, PB是。O的切線，A, B為切點，ZOAB= 30(1)求dPB的度數(shù)；(2)當OA = 3時，求AP的長.點評】本題用到的知識點較多 ，主要知識點有：圓的切線的性質；等腰三角形的性質角和定理；垂徑定理；銳角三角函數(shù)等.解】(1) ?,在ABO 中，OA = OB, ZOAB= 30 ° ,.zAOB= 180 ° - 2 X 30 ° = 1PA、° PB 是。O 的切線,?. OAXPA, OBXPB,即/OAP = /OBP= 90 °

17、ZAOB+ ZAPB=180 °.zAPB=6 0°(2)如圖，作OD LAB交AB于點D, ?.在4OAB 中，OA = OB,.口= 1 AB,2,.在 RtAAOD 中，OA=3, ZOAD = 30. AD = OA-cos30迪，AP =2AB=3I軍】這個零件的底面積 =這個零件的外側面積 =12.這個零件的表面積為36+96+60= 192 cm2例6.如圖，這是一個由圓柱體材料加工而成的零件，？它是以圓柱體的上底面為底面，在其內部 掏取“一個與圓柱體等高的圓錐體而得到的,其底面直徑 AB=12cm,高BC=8cm,求這個零件的表面積.(結果保留根號)C _2

18、 .12.2x 8=96 cm2 圓錐母線長 OC=j82 ()2 =10cm12這個零件的內側面積 = 一 x 12 x 10 =60 cm2,2例7.如圖，。是圓柱形木塊底面的圓心，過底面的一條弦 AD, ?沿母線AB剖開，得剖面矩形 ABCD, AD2=24cm , AB = 25cm ,右AmD的長為底面周長的 一，如圖所不：3(1)求。O的半徑；(2)求這個圓柱形木塊的表面積.(結果可保留根號)解】(1)連結OA、OD,作OELAD于E,易知 ZAOD= 120 ° AE= 12cm ,可得 AO=r= AE = 8 V3 cm(2)圓柱形木塊的表面積 =2S圓+S圓柱側=

19、( 384 +400 73 ) cm2例8.在圖1和圖2中，已知OA = OB, AB=24, OO的直徑為10.(1)如圖1, AB與。相切于點 C,試求OA的值；(2)如圖2,若AB與。O相交于D、E兩點，且D、E均為AB的三等分點，試求tanA的值.圖困2(1)解】連結OC,二AB與。相切于C點,QCA= 90 ° , OA = OB, /.AC= BC= 12在 Rt?AACO 中,oa= Jac2 oc2 J122 52 =13(2)作 OFAB 于點 F,連結 OD,，DF=EF; AF = AD + DF = 8 + 4 = 12 ,在 Rt?A ODF 中，OF= J

20、OD2DF 2 V5242 = 3 ," OF 31在 RtA AOF 中，tanA =AF 12 4例9.如圖，在 ABC中，ZC= 90 °以BC上一點。為圓心，以OB為半徑的圓交 AB?于點M ,交BC于點N .(1)求證：BA BM= BC BN;(2)如果CM是。O的切線，N為OC的中點，當AC=3時，求AB的值(1) EE明】連接 MN 則/BMN = 90° =ACB, ?.ACBANMB , - -BC- -AB- , . AB- BM= BC- BN BM BN不(2) 解】連接OM ,則/OMC = 90 ° ,.N 為 OC?中點，

21、？MN =ON =OM , . JMON = 60 ° ,八八八1一. OM =OB, .-.ZB= /MON = 30.2. zACB= 90 ° , AB=2AC= 2X36一 一一. _ ，_1例10.已知：如圖， ABC內接于OO,點D在OC的延長線上，sinB=一2(1)求證：AD是。O的切線；(2)若ODAB, BC=5,求AD的長.a，、一一i1(1) EE明】如圖，連結OA,因為sinB= 一，2,ZCAD= 30所以 ZB= 30 ° 故/O= 60 ° 又 OA = OC, ?所以 ACO是等邊三角形，故/OAC = 60 °

22、; 因為 ZCAD = 30所以ZOAD = 90 °所以AD?是。O的切線(2) 解】因為OD LAB,所以OC垂直平分AB,則AC = BC=5,所以 OA = 5, ?在40人口 中，/OAD=90° ,由正切定義，有tan/AOD = 殷，所以AD= 573OA目愀£ 課后練習一、填空題1 .已知扇形的圓心角為 120 ° ,半徑為2cm ,則扇形的弧長是 cm扇形的面積是 cr2i.2 .如圖，兩個同心圓中 ，大圓的半徑 OA = 4cm , /AOB = /BOC = 60 ° ,則圖中陰影部分的面積是 cm2.3 .圓錐的底面半徑

23、為 6cm ,高為8cm ,那么這個圓錐的側面積是 cn2.4 .如圖，。的半徑為4cm ,直線 UOA, ?垂足為O, ?則直線l沿射線OA?方向平移 cm時與。相切.5 .兩圓有多種位置關系，圖中不存在的位置關系是6 .如圖，從一塊直徑為a+b的圓形紙板上挖去直徑分別為 a和b的兩個圓，則剩下的紙板面積是7 .如圖，AB為半圓O的直徑，CB是半圓O的切線，B是切點，AC?交半圓O于點D,已知CD= 1, AD =3,那么 cos/CAB =8 .如圖，BC為半。的直徑，點D是半圓上一點，過點D作。O?的切線AD, BALDA于A, BA交半圓于5E,已知BC=10, AD = 4,那么直線

24、CE與以點。為圓心，一為半徑的圓的位置關系是2二、選擇題1 .在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為r,扇形的半徑為R,扇形的圓心角等于120 °貝Ur與R之間的關系是（）A. R = 2r B. R=r C. R=3r D. R=4r2 .圓錐的底面半徑為 3cm ,母線長為5cm ,則它的側面積是 （）A. 60 cm2 B. 45 cm2C. 30 cm2 D. 15 cm23.已知圓錐側面展開圖的圓心角為90。，?則該圓錐的底面半徑與母線長的比為A. 1:2 B. 2: 1 C. 1:4 D. 4:14.將直徑為64cm的圓形鐵皮，做成四

25、個相同圓錐容器的側面（不浪費材料，不計接縫處的材料損耗），那么每個圓錐容器的高為 （）D.16cmA. 8 .15 cm B. 8 ,17 cm C. 16 . 3 cm5.如圖，圓心角都是90。的扇形OAB與扇形 OCD疊放在一起，？OA = 3 ,OC=1,分別連結 AC、BC,則圓中陰影部分的面積為（）A. B.C. 2D. 426.如圖，將圓桶中的水倒入一個直徑為角為45。，若使容器中的水面與圓桶相接觸40cm ,高為55cm?的圓口容器中,圓桶放置的角度與水平線的夾,?則容器中水的深度至少應為A. 10cm B. 20cmC. 30cm D. 35cm7 .生活處處皆學問，如圖，眼鏡

26、鏡片所在的兩圓的位置關系是（）A.外離 B.外切 C.內含 D.內切8 .。的半徑為4,圓心O到直線L的距離為3,則直線L與。O的位置關系是A.相交B.相切 C.相離 D.無法確定9 .如圖，已知OO的直徑AB與弦AC的夾角為35。，過點C的切線PC與AB的延長線交于點 P,那么/PA. 15B. 20C. 2510.已知圓A和圓B相切,A. 5cmB. 11cm11.如圖PB為。O的切線A. 4B. -.10oD. 30兩圓的圓心距為 8cm ,圓A的半徑為3cm , ? 則圓B的半徑是（）C. 3cmB為切點，C. 2 . 6D. 5cm 或 11cm連結PO交。于點A, PA=?2, P

27、O = 5,則PB的長度為（）D. 4 312.如圖，AB與。O切于點B, AO = 6cm, AB = 4cm,則。的半徑為（）A. 4 . 5 cmB. 2 . 5 cmC. 2 .13 cmD. 13 m、解答題1.如圖，已知正三角形 ABC的邊長為2a.(1)求它的內切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積(2)根據計算結果，要求圓環(huán)的面積，？只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面積(3)將條件中的 正三角形改為 正方形“正六邊形”，？你能得出怎樣的結論？(4)已知正n邊形的邊長為2a,請寫出它的內切圓與外接圓組成的圓環(huán)面積2 .如圖，已知O為原點，點A的坐標為(4, 3) ,。A的半徑為2.過A

28、作直線l平行于X軸，點P在直線 l上運動.(1)當點P在。A上時，請你直接寫出它的坐標；(2)設點P的橫坐標為12,試判斷直線 OP與。A的位置關系，并說明理由.3 .如圖1,已知RtABC中， CAB 30°, BC 5 .過點A作AE，AB ,且AE 15,連接BE交 AC于點P .(1)求PA的長；(2)以點A為圓心，AP為半徑作OA,試判斷BE與。A是否相切，并說明理由；(3)如圖2,過點C作CDLAE,垂足為D.以點A為圓心，r為半徑作。A ；以點C為圓心，R為 半徑作OC,若r和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持 OA和。C陽歷，且使D點在OA的內部， B點在。A的

29、外部，求r和R的變化范圍.4.已知：AB為。O的直徑，P為AB弧的中點.（1）若。與。外切于點P （見圖甲），AP、BP的延長線分別交 。0'于點C、D,連接CD,則APCD是 三角形；兩個問題中的一個.作答：問題一：判斷4PEF的形狀，并證明你的結論；問題二：判斷線段AE與BF的關系，并證明你的結論.我選擇問題 ,結論：.5.從衛(wèi)生紙的包裝紙上得到以下資料：兩層300格，每格11.4cm半徑（R）與紙筒內芯的半徑（r）,分別為5.8cm 和2.3cm,cm ?（兀取3.14,結果精確到 0.001cm）/卜兩層 cm甲x 11cm如圖甲。用尺量出整卷衛(wèi)生紙的 如圖乙。那么該兩層衛(wèi)生紙

30、的厚度為多少T辰1 LrpuL 卡 *7 1kjZ>1乙（2）若。與。相交于點P、Q （見圖乙），連接AQ、BQ并延長分別交。于點E、F,請選擇下列專業(yè).專注.word格式,6.設邊長為2a的正方形的中心 A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線1,半徑為r的。的圓心O在直線1上運動，點A、。間距離為D.(1)如圖，當rva時，根據d與a、r之間的關系，將。與正方形的公共點的個數(shù)填入下表：d、a、r之間的關系公共點的個數(shù)d >a+ rd = a+ ra rv d v a+ rd = a rd v a roA1C圖)所以，當rv a時，OO與正方形的公共點的個數(shù)可能有 個；(2)如圖，當

31、r=a時，根據d與a、r之間的關系，將。與正方形的公共點的個數(shù)填入下表d、a、r之間的關系公共點的個數(shù)d >a+ rd = a+ ra<d v a + rd < a所以，當r= a時，OO與正方形的公共點的個數(shù)可能有 個;(3)如圖，當。與正方形有5個公共點時，試說明r= - a;4(4)就r>a的情形，請你仿照 當時，。與正方形的公共點的個數(shù)可能有 個”的形式，至少給出一個關于 “(O與正方形的公共點的 個數(shù)”的正確結論.專業(yè).專注刖M蚱 練習答案一、填空題441 .一，一334. 43. 6035.兩圓相交8.相離6.ab、選擇題7. A 8. A1. C 2. D

32、 3. C 4. A 5. C 6. D9. B 10. D 11. A 12. B三、解答題1.解.(1) S 圓環(huán)=a2弦AB或BC或AC(3)圓環(huán)的面積均為邊長) 22.(4) S 圓環(huán)=a22.解：點P的坐標是3)或作ACOP, C為垂足,. zACP=ZOBP= 90O, Z1 = Z1.,.ACPAOBPAC APACOB OP 在Rt OBP中，OP 7OB1 BP7 7153,又 AP= 12-4 = 8,. AC= 24 >/1531.94 1.94<2OP與。A相交.3.解：(1) Q 在 RtAABC 中， CABo30 ，BC5,AC 2BC 10.Q AE / BC ,APEszcpb.PA: PC AE: BC 3:1 .PA: AC 3:4, PA3 1015(2) BE與。A相切.Q 在 RtzXABE 中，AB5HAEtan ABE器嘉收ABE60°.又 Q PAB 30°, ABE PAB 90°, APB 900,BE與。A相切.(3)因為AD 5, AB 5邪,所以r的變化范圍為5 r 5