2013年高中數(shù)學(xué) 第三講 3.1二維形式的柯西不等式（一）暑期備課教案 新人教A版選修4-5

1、柯西不等式與排序不等式二維形式的柯西不等式（一）教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會(huì)證明二維柯西不等式及向量形式. 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點(diǎn)：理解幾何意義.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.2. 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證 證法：（比較法）=.=二、講授新課：1. 柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則. 即二維形式的柯西不等式 什么時(shí)候取等號(hào)？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） . （要點(diǎn)：展開配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量，則，

2、. ，且，則. . 證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則0恒成立. 0，即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 或 或. 提出定理2：設(shè)是兩個(gè)向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？（是零向量，或者共線） 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方 應(yīng)用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2. 教學(xué)三角不等式： 出示定理3：設(shè)，則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 三、應(yīng)用舉例：例1：已知a,b為實(shí)數(shù)，求證說明：在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可

3、以簡(jiǎn)化運(yùn)算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。例題2：求函數(shù)的最大值。分析：利用不等式解決最值問題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函數(shù)的定義域?yàn)椤?，5】，且y0 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，函數(shù)取最大值課堂練習(xí)：1. 證明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函數(shù)的最大值.例3.設(shè)a,b是正實(shí)數(shù)，a+b=1，求證分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、課堂小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量