元次方程的盛金公式解題法

1、其中。"T, 丁=滬(A > 0 , -1 v T v 1)元三次方程的盛金公式解題法盛金公式Shengjin 'Formulas一元三次方程aX 3 bX 2 cX d = 0 , a,b, c,d 三 R,且a - 0-A 二 b2 -3ac ；重根判別式y(tǒng) B=bc9ad ；2J C = c -3bd ,總判別式."：二B2 - 4AC。當A=B=0時，盛金公式：X1=X2=X3-£=空 。3a b c當總.=B2 -4AC > 0時，盛金公式：b 3Y1 3Y2 ;3a< X2,3-2b 3£ 3Y2、3 3乂-吃 i6

2、a其中Yi,2=Ab+3a'三匸砲,i2 = -1。3 / 4-4 AC = 0時，盛金公式:XiaX2 *4k，XiX2,3其中K二旦,A-AC v 0時，盛金公式:t0- b - 2 - A cos3ai ( 9 廠 日' 一b + PA I cos ±73sin I33丿盛金判別法Shengjin 'Distinguishing Means：當A - B - 0時，方程有一個三重實根;：當- B2 -4AC > 0時，方程有一個實根和一對共軛虛根;：當= B - 4AC = 0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根;：2當人二B -4AC v 0時，

3、方程有三個不相等的實根。盛金定理Shengjin 'Theorems當b =0, c =0時，盛金公式無意義；當 A=0時，盛金公式無意義；當 AO時, 盛金公式無意義；當 Tv -1或T> 1時，盛金公式無意義。當b=0, c=0時，盛金公式是否成立？盛金公式與盛金公式是否存在A乞0的值？盛金公式是否存在 Tv -1或T> 1的值？盛金定理給出如下回答：盛金定理1:當A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0 （此時，方程有一個三重實根0,盛金公式仍成立）。盛金定理2:當A=B=0時，若0，則必定有cm 0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理3:當A=B=0時，則必定有

4、 C=0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理4:當A=0時，若Bm 0，則必定有> 0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理5:當A v 0時，則必定有 > 0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理6:當厶=0時，若B=0,則必定有 A=0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理7:當厶=0時，若BM 0，盛金公式一定不存在 A < 0的值（此時，適用盛 金公式解題）。盛金定理 &當<0時，盛金公式一定不存在A< 0的值。（此時，適用盛金公式解題）。盛金定理9:當< 0時，盛金公式一定不存在TW -1或T> 1的值，即T出現的值必定是-1 v

5、Tv 1。（注：盛金定理逆之不成立。如：當> 0時，不定有A v 0。)顯然，當A0時，都有相應的盛金公式解題。盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義.。任意實系數的一元三次方程都可以運用盛金 公式直觀求解。當厶=0 d = 0時，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直2 2觀。重根判別式 A=b _3ac ； B二bc-9ad ； C=c -3bd是最簡明的式子，盛金公式i'-B 十 Jb2 -4AC中的式子Y2 =Ab+3a匕匕 具有一元二次方程求根公式的形式（括號內的I 2丿式

6、子），總判別式& = B2 -4AC與一元二次方程的根的判別式其形狀相同（是非常美妙的式 子）；這些表達形式體現了數學的有序對稱、和諧與簡潔美。運用盛金公式與盛金判別法解題舉例運用盛金公式解題的步驟：按順序求出A、B、C、厶的值，代入相應的盛金公式就可得出結果。例 1 解方程 4X3 42 2X2 294X 343 2 = 0解：a = 4, b = 42 、2, c = 294,d = 343 2 ,/ A = B = 0,應用盛金公式解得：X!=X2例 2 解方程 592704X3 -2095632X2 2469852 X - 970299 =0（使用科學計算器輔助運算。）解：a

7、=5 9 2 7,342 0 9 5 6,3令2 4 6 9 8,d 29 7 0 2,9 9/ A = B = 0,應用盛金公式解得28例 3 解方程 27-7X3 V89X2 -196 =0 解： a = 27、7,b = 189,c = 0, d - -196,A=1892 ； B =9 27 196 、7 ； C =3 189 196， : =0。丄=0 ,應用盛金公式解得:2一73例 4 解方程.17X -5X2-2X -9=0解： a = . 17, b = -5, c = -2, d = 9 ,A =49.73863375 ； B - -323.9715556 ； C =139

8、,：-77302.88847。厶> 0 ,應用盛金公式解得：X" = -1.085746079； X2,3 =1.149212102±0.830509094例5 判別方程40X3 -12X2，30X *25 = 0的解解： a 40, b = 12,c = 30, d = 25,T A v 0 ,根據盛金定理 5,必定有-> 0。根據盛金判別法，方程有一個實根和一對共軛虛根。例 6 解方程 40X3 -2482X2 613X309 =0（精確到0.01）解：a =40,b - -2482,613,309,A = 6086764 ； B = -1632706 ； C = 2676583 , . : v 0。厶v 0，應用盛金公式解得：X -0.25 ；X 0.50 ； X 61.80。例 7 解方程 16X3 -162X 81 一6 =0（這是一個適合卡爾丹公式直接求解的方程，在此運用盛金公式求解。）解 a =16,b =0,c 二-162,d =816A =7776 ； B - -11664 6 ；