2019年整理019平面向量的數(shù)量積及復(fù)數(shù)答案

1、平面向量的數(shù)量積及復(fù)數(shù)1. 考綱點擊（1） 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2） 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3） 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；（4） 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；（5） 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；（6）會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題2. 熱點提示（1） 平面向量數(shù)量積的運算，模與夾角平行與垂直問題的高考命題的熱點，多以選擇.填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題，但靈活多變；（2） 可與三角函數(shù).解析幾何等知識綜合命題，是高考的另一個熱點【考綱知識梳理】（1）兩個非零向

2、量的夾角已知非零向量 a 與b .，作OA = a，OB = b，則叫a與b的夾角；（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為e，則a b =叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定oa=o；向量的投影： ，稱為向量b在a方向上的投影投影的絕對值稱為射影；（3） 數(shù)量積的幾何意義：a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積.（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)T + 向量的模與平方的關(guān)系：a，a =. 乘法公式成立T彳彳（a +b） （a _b） =；（a士b ） =a ±2a b + b = a1 ±2a b ； 平面向量數(shù)量積的運算律交換律對實數(shù)的結(jié)合律分配律向量的夾角：COS

3、 0 =.當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量 a與b同方向時，9 =0°,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時V -180，同時 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題(5) 兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知兩個向量 a = (xyj,b =(x2,y2人則a b =.(6) 垂直：如果a與b的夾角為90°則稱a與b垂直，記作a丄b.兩個非零向量垂直的充要條件：a丄b = a b = 0=，平面向量數(shù)量積的性質(zhì).(7) 平面內(nèi)兩點間的距離公式 _ 2 2 2 2 2設(shè) a = (x, y),則 |a |=x y 或| a x y .AB如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為A gy). B區(qū)皿

4、),那么).(8)向量的夾角：cosB =(平面內(nèi)兩點間的距離公式【熱點難點精析】(一) 平面向量的數(shù)量積的運算及向量的模問題1. 向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式a b = I a丨 b I cost來計算，二是4 +利用a b=x1X2 wy?來計算，具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用,要掌握此類問題的處理方法:2. 利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用2 2二 a 二 a a ;呻片2 呻 呻2 罷 彳呻彳2(2) a±b =(a 土b) =a ±2a b + b ；若a = (x, y)則 a = Jx2 +y2 .(二)

5、平面向量的垂直問題1. 非零向量 a _ b= a b =0= %x2 y)y2 =02. 當(dāng)向量a,b是非坐標(biāo)形式時，要把a,b用已知的不共線的向量表示注：把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異(三) 平面向量的夾角問題1.當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時,求a,b的夾角.需求得ab及或得出它們的關(guān)系2.若已知a, b的坐標(biāo),則可直接利用公式 cos'-朋2小2Jxj +X22jyj + y22注：平面向量a,b的夾角cost 0,二11、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1) 復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(a,b R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實部和虛部。若b=0，則a+bi為實數(shù)，若b豐0

6、,則a+bi為虛數(shù)，若a=0且0,貝U a+bi為純虛數(shù)。(2) 復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di：二 a=c且 b=d(a,b,c,d R).(3) 共軛復(fù)數(shù):a+bi 與 c+di 共軛=a=c, b=-d(a,b,c,d R).。(4) 復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面。X軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)。(5) 復(fù)數(shù)的模、a2b2向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記敘|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=2、復(fù)數(shù)的幾何意義一一對應(yīng)(1)復(fù)數(shù) z=a+bi、復(fù)平面內(nèi)的點 Z (a,b) (

7、a,b R);(2)復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量OZ(a,b R)。3、復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè) Z1=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d R)貝U 加法：z<1+ z2= (a+bi) + (c+di) =(a+c)+(b+d)i; 減法：Z1- z2= (a+bi) - (c+di) =(a-c)+(b-d)i; 乘法：zi Z2=( a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法：色二=(a bi)(cdi)=(ac bd)呼-叫雖0) z2c+di (c + di)(cdi)c +d(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即

8、對任何Zj、z2、z3 C,有Zj + Z2=z2 + Zj, (z1 + z2)+ Z3 = Z| + ( Z2 + Z3 ) o注：任意兩個復(fù)數(shù)不一定能比較大小，只有這兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。【熱點難點精析】、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)數(shù)的分類(a - U)純虛數(shù)(a=0) 非純虛數(shù)f u工0)2、處理有關(guān)復(fù)數(shù)概念的問題，首先要找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實部與虛部(若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，則應(yīng)通過代數(shù)運算化為代數(shù)形式)，然后根據(jù)定義解題。、復(fù)數(shù)相等丄a二c1、a+bi=c+di(a,b,c,d R).Jb = d')2、利用復(fù)數(shù)相等可實現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時要把等號兩

9、邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo) 準(zhǔn)的代數(shù)形式。注：對于復(fù)數(shù) 乙如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z= a+bi(a,b R)。三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算1、在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度:.2 t .2”1 + i(1+i ) =2i,(2)(1i ) =-2iX3)-=i1 -i1 -i(4) - -i, (5) -b ai 二 i a bi ,1 i(6)4n4n 1.4n 24n 3i =1,1=1,11,i2、復(fù)數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,i的幕寫成最簡單的形式，在運算不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把過程中，要熟透i的特點及熟練應(yīng)用運

10、算技巧。二3:,一)。1 例 1已知點 A、B C 的坐標(biāo)分別為 A( 3, 0), B( 0 , 3), C( cos a, sin a, a (,2若 AC CB= 1,求 2sin a sin2a 的值.解:I(1) ACBCAC1 ta naAC =(cos : 3, sin : ), BC=(cos: , sin: 3). =、(cosa _3)2 sin2 a = 10 _6sin a。=.cosa2 - ( sin a -3)2 = . 10 _6sin a。=I BCI 得 sin “cos* 又八匸竺)，z =224(1)若|AC|=|CB|,求角a的值;(2)由 AC BC

11、 = 1,得(cos、 3)cos、+sin、(sin 3)= 1/ sin 芒 +cos2又 2sin a sin 2a22sin a 2sin acosa1 tan a由式兩邊平方得1+2sin1匹cosa4J. cos=9=2sin a cosa .c .5 2sin - cos ：=,922 sin a sin 2a動點 P滿足：AP BP 二 k|PC|2。1 ta na1 例 2已知定點 A(0,1), B(0, 1), C(1,0)。(1)求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線;當(dāng)k = 2時,求|2AP - BP|的最大值和最小值。解：設(shè)動點的坐標(biāo)為 P(x,y),則 AP

12、= (x,y 1), BP = (x,y+1), PC = (1 x, y) AP BP = k| PC|2 , x2+y2 1 = k(x 1)2+y2即(1 k)x2+(1 k)y2+2kx k 1=0。若k=1,則方程為x=1，表示過點(1, 0)是平行于y軸的直線。若k1則方程化為：(x為半徑的圓。|1-k|一k表示以(,0)為圓心,(x-2皆=2弗 + BP = 2(x,y1)+ (切戶(3x,3y1),1 -k(2)當(dāng)k=2時，方程化為II-12 AP + BP | =9x? 9y6y1。又 x2+y2 = 4x 3 , |2 忑 + Bp | =J36x -6y-26； (x 2

13、)2+y2= 1, 令x= 2 + cos 0,y= sin Q則 36x 6y 26= 36cos 0- 6sin +46 = 6/37 cos(肝 $)+46 46 6 37 ,46 + 6/37 ,|2 APBP | max = /46 +6J37 = 3+ J37 , |2 P + P | min = J46 6 J37 =37 -3。1例當(dāng)實數(shù)m為何值時，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i (1)純虛數(shù)；(2)為實數(shù)；(3 )對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的第二象限內(nèi)。lg( m2 - 2m - 2) = 0(1)若z為純虛數(shù)，則1,解得m=3、m2 +3m + 2 式 0(2)若

14、 z 為實數(shù)，則 fg(m 一2m2) >° 解得 m=-1 或 m=-22m 3m 2 = 02(3 )若z的對應(yīng)點在第二象限，則Fg(m 一亦一2)<0解得_1<m<1-J3或2m 3m 201+ 3<m<3.即(1) m=3時，z為純虛數(shù);(2) m=-1或m=-2時，z為實數(shù);(3) -1<m<1-、3或1+、_3<m<3時，z的對應(yīng)點在第二象限內(nèi)。1 例已知集合 M= (a+3) + ( b2-1) i,8,集合 N= 3 , ( a2-1) +(b+2)同時滿足 M nN _ M , M n NM，求整數(shù)a,b依

15、題意得(a 3) (b2 -1)i =3i2或 8 =(a -1)(b 2)i或 a 3 (b2 -1)i =a2 -1 (b 2)i由得a=-3,b= ± 2,經(jīng)檢驗，a=-3,b=-2不合題意，舍去。a=-3, b=2由得 a= ± 3, b=-2.又 a=-3,b=-2 不合題意， a=3,b=-2;la+3=a21 la2a4=0由得a 3 a '即 a a 40,此方程組無整數(shù)解。b2_1=b+2b2 _b_3 = 0綜合得a=-3, b=2或a=3,b=-2o、選擇題：1.設(shè)i, j是互相垂直的單位向量，向量a = (m+ 1)i 3j, b= i +

16、(m 1)j, (a+ b)丄(ab），則實數(shù)m的值為（）B. 2C . 2D .不存在2.設(shè)a, b是非零向量，若函數(shù) f（x）= （xa+ b） （a xb）的圖象是一條直線，則必有 （）B . a/ b C. |a|= |b|D.舊產(chǎn)|b|向量a= （ 1,1）,且a與a+ 2b方向相同，貝U a b的范圍是（）A . (1 ,+s )C. ( 1 ,+ ) D. ( a, 1)已知 ABC中,B. ( 1,1)15AB = a, AC=b, a b <0, Gabc=,|a|= 3, |b| = 5,則/ BAC等于（A . 30 °B . 150 °C .

17、150D . 30 或 150 °平面上O, A, B三點不共線，設(shè)OA二a,OB二b，則 OAB的面積等于（）A. , |a|2|b|2 (a b)2B. . |a|2|b|2+ (a b)2C.p/|a|2|b|2 (a b)2D.' ；|a|2|b|2+ (a b)26.在 Rt ABC 中，/ C= 90°, AC= 4，則等于（）A. 16B . 8 C. 8D . 16二、填空題:已知向量a,b滿足|b|= 2, a與b的夾角為60 °則b在a上的投影是 1已知平面向量a,|a|= 1 , | 日=2, a丄(a 2®,貝U |2 a

18、+ 日的值是V10 已知|a|= 2, |b|= J2, a與b的夾角為45°要使 入b a與a垂直，則 匸2值是10 .在厶ABC中,-2三、解答題：（本大題共11.已知 |a|= 2, 銳角的入的取值范圍.O為中線AM上的一個動點，若 AM = 2,則OB - OC)的最小3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟.）|b|= 1, a與b的夾角為45 °求使向量（2a+入b與（入a 3b）的夾角是解：由 |a|=V2, |b|= 1, a 與 b 的夾角為 45° 則 a b= |a|b|cos45 =1 x22= 1.而(2a+ 入

19、b(入 a 3b) = 2 入 a 6a b + 親ab 3入&=於 + 6.(2a + 入 b (入 a 3b)設(shè)向量(2a+入b與(入a 3b)的夾角為 0,貝U cos 0=>0,且cos片1,|2a + 入 b 入 a 3b|(2a+ 入 b(入 a 3b)>0 ,二 *+ 1 6>0, / ；>2 或？< 3.2= k入 假設(shè) cos0= 1,貝y 2a +入=k(入3b)(k>0), <、匸3k,解得k2= 3故使向量2a +入b口入a3b夾角為0°勺入不存在.所以當(dāng)22或K 3時，向量(2a +入b與(入a 3b)的夾角

20、是銳角.12.設(shè)在平面上有兩個向量a= (cos a, sin a)(0 ° a<360 °), b=12，(1)求證：向量 a + b與a b垂直；當(dāng)向量 ,3a+ b與a.3b的模相等時，求 a的大小.解:(1)證明：因為(a+ b) (a b) = |a|2 |b|2= (cos2 a+ sin2 a)寸 +1 = 0,故 a+ b 與 a b 垂直.(2)由 | .3a+ b|=|a3b|，兩邊平方得 3pf + 2 3a b+ |b|2= |a|2 2.3a b + 3|b|2,所以 2(|a|2 |b|2) + 4Q3a b= 0,而 |a|= |b|,所

21、以 a b = 0，則1 / cosa+ 弩 sin a= 0,即 cos(a+ 60° = 0, %+ 60°= k 180°+ 90° 即 a= k 180°+ 30° k Z ,又 0°W a<360° ,貝V a= 30°或 a= 210°<冗、/ n13.已知向量 a = (cos( ®, sin( ®), b = cos 0 , sin 2 (1)求證：a丄b;若存在不等于0的實數(shù)k和t,使x= a + (t2+ 3)b, y= ka+ tb滿足x丄y，試求此時k+1的最小值.解：(1)證明：/ a b= cos( 0 cos 亍一0+ sin( 0s in 寸0= si n0cosB sin 0cos 0= 0. a 丄 b.2(2)由 x丄y,得 x y = 0,即a+ (t + 3)b ( ka+ tb)= 0, ka2 + (t3 + 3t)b2+ t k(t2 + 3)a b = 0, k|a|2 + (t3 + 3t)|b|2= 0.2233又|a|2= 1, |b|2= 1, k+13+ 3t= 0, k= t3+ 3t,. kj+L=t + tt+3t=t2+1+3 =