圓錐曲線橢圓,雙曲線,拋物線定義方程與性質(zhì)知識總結(jié)

1、橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1. 橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)與兩個定點 已、F2的距離之和等于常數(shù) （大于F,F2 ）的點的軌跡叫 做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動點 M到定點F的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù) e（0 ： e ： 1）， 則動點M的軌跡叫做橢圓。定點F是橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù) e叫做橢圓的離心率。說明：若常數(shù)2a等于2c，則動點軌跡是線段 F1F2。若常數(shù)2a小于2c，則動點軌跡不存在。2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程X2 V22 + 1（a Ab >0）中 ab心在原點，焦點在 X軸上2

2、2打 +=1（ab> 0）ab中心在原點，焦點在 y軸上圖形也、111J. I*rrJrz/ JJ1-1 1蔚1 “1*范圍x Ea,|y WbX Eb,|y| 蘭 a頂點A （-a,0 卜 A （a,0 ）E（0,-b 卜 B2（0, b）A（0, a 卜 A2（0, a ）Bd-b,0 卜 B2（b,0）對稱軸x軸、V軸； 長軸長2a，短軸長2b ； 焦點在長軸上x軸、y軸； 長軸長2a，短軸長2b ； 焦點在長軸上焦占八'、八、FJ-c,0 卜 F2（c,0）F'O,-c 卜 F2（0, c）焦距F1F2c（>0）RF2 = 2c（c > 0）離心率e=

3、c（0 ce c1）ace = （0 v e <1）a準(zhǔn)線2孕aX 土c2孕a y 士c參數(shù)方程 與普通方程a2 b jx = a ly = t1的參數(shù)方程為2°s（日為參數(shù)） ）sin 日2 2氣+令=1的參數(shù)方程為 a2 b2y = acos&g*車舲、 y（日為參數(shù)）& = bsi門廿3.焦半徑公式： 橢圓上的任一點和焦點連結(jié)的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點在 x軸上時，設(shè)Fl、F2分別是橢圓的左、右焦點，P x0, y0是橢圓上任一點，貝 V PF|=a+eX， PF2= -exo。推導(dǎo)過程：由第二定義得=e ( 4為點P到左準(zhǔn)線的距離)，di(

4、a2 )貝U PF=ec1 =e x0 十一 =e« + a = a +ex)；同理得 PF2| =a ex)。簡記為：左“ + ”右“”。由此可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。2 2 2 2篤2=1 ；若焦點在y軸上，則為*7篤h。有時為了運算方便，設(shè) a ba b22mx ny 1(m0,m = n)。雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識要點：1.定義(1) 第一定義：平面內(nèi)到兩定點Fi、F2的距離之差的絕對值等于定長2a (小于|FiF2|)的點的軌跡叫雙曲線。說明： |PFi|-|PF2|=2a (2a<|FiF2|)是雙曲線；若2a=|FiF2|，軌跡

5、是以Fi、F2為端點的射線；2a>|FiF2|時無軌跡。 設(shè)M是雙曲線上任意一點，若M點在雙曲線右邊一支上， 則|MFi|>|MF2|, |MFi|-|MF2|=2a； 若M在雙曲線的左支上，則|MFi|<|MF2|, |MFi|-|MF2|=-2a，故|MFi|-|MF2|= ±a，這是與橢 圓不同的地方。L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。(2) 第二定義：平面內(nèi)動點到定點F的距離與到定直線 L的距離之比是常數(shù) e (e>i) 的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線4 / 52 .雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2,_爲(wèi)=1(a>0,b>_0)a b2 2y x

6、2 子=1(a >0,b aO)圖形N'i/i/ 1zKi)焦占八'、八、F1 (-c, 0), F2 (c, 0)F1 (0, -c), F2 (0, c)頂點A1 (a, 0), A2 (-a, 0)A1 (0, a), A2 (0, -a)對稱軸實軸2a，虛軸2b,實軸在 x軸上，2 2.2c =a +b實軸2a,虛軸2b,實軸在y軸上，2 2.2c =a +b離心率c | MF2 | e a | MD |c | MF2 | e a | MD |準(zhǔn)線方程a2a211 x , I? x cc準(zhǔn)線間距離為遷ca2a2"yc Jy-。 準(zhǔn)線間距離為愛 c漸近線方

7、程, y=o a ba bx + y=0,x_=0b ab a3.幾個概念（1）等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為 2。（2）共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸2 2 2 2雙曲線，例：x2 一 y2 =1的共軸雙曲線是x2 一 y2 = 一1。a ba b 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共 軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F為拋

8、物線的焦點，定直線I為拋物線的準(zhǔn)線。注：定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點設(shè)為 M ; 定點F （即焦點）；一定直線I （即準(zhǔn)線）；一定值1 （即動點M到定點F的距離與它到定直線I的距離之比1）3 / 5 定義中的隱含條件：焦點 F不在準(zhǔn)線丨上。若F在丨上，拋物線退化為過 F且垂直于 l的一條直線 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點F和定直線丨的距離之比為常數(shù) e的點的軌跡，當(dāng)0 ： e :：: 1時，表示橢圓；當(dāng)e 1時，表示雙曲線；當(dāng) e =1時，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準(zhǔn)線距離互化，

9、與拋物線的定義聯(lián)系起來，通 過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直 角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用。2 四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：y2 2px p 0 ,x2 =： 2py p 0，其中： 參數(shù)p的幾何意義：焦參數(shù) p是焦點到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正值；p值越大，張口越大；衛(wèi)等于焦點到拋物線頂點的距離。2 標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：方程的左邊是某變量

10、的平方項， 右邊是另一變量的一次項， 方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向， 即對稱軸為x軸時，方程中的一次項變量就是 x ,若x的一次項前符號為正， 則開口向右，若x的 一次項前符號為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為 y軸時，方程中的一次項變量就是 y ,當(dāng)y的 一次項前符號為正，則開口向上，若 y的一次項前符號為負(fù)，則開口向下。三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù) p，因此要做到“先定位，

11、再定值”。注：當(dāng)求頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時，若不知開口方向，可設(shè)為y2二ax或x2二ay，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是 標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線y2=2px(p>0)性質(zhì)焦占八'、八、范圍對稱性頂點離心率準(zhǔn)線通徑F '"p,0 112,丿x色0關(guān)于x 軸對稱原點e = 1x 22p1注： 焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的 丄；4 對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點,數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)

12、特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識拋物線及其性質(zhì)。五、直線與拋物線有關(guān)問題1 直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x或y化得形如 ax2 bx c = 0 (*)的式子： 當(dāng)a =0時，(*)式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物 線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合； 當(dāng)a式0時，若> 0= (*)式方程有兩組不同的實數(shù)解 = 直線與拋物線相交；若厶=0二(*)式方程有兩組相同的實數(shù)解 u 直線與拋物線相切； 若< 0= (*)式方程無實數(shù)解二直線與拋物線相離.2 直線與拋物線相交的弦長問題2 弦長公式：設(shè)直線交拋物線于A

13、(xi,yi )B(x2,y2 )，則AB =<1+kAB ，XaXb或AB若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時，借助于焦半徑公式處理:9 / 5MF =±x。十衛(wèi)，拋物線2焦點F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90° ；拋物線y2 h2px p 0上一點 M x0, y0的焦半徑長是x2=z2py(p:>0 上一點 M(x0,y0 的焦半徑長是 MF =±y0+E2六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB為過拋物線y2 = 2px p 0焦點的弦，設(shè)A x1, y1 ,B x2, y2 ,直線AB的傾斜 角為r，則2p2 NX?, y2 二-p ;4 AB = 2p =為 +X2 + p ;sin廿 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；弦兩端點與頂