基于廣義誤差分布的期權(quán)定價模型研究(精)

1、htt p: /WWW .pap .c n基于廣義誤差分布的期權(quán)定價模型研究邱世斌陳燕武華僑大學(xué)商學(xué)院，福建泉州（362021）E-mail:cywhele n摘要：針對我國上市公司權(quán)證市場的發(fā)展情況，本文對傳統(tǒng)Black Scholes期權(quán)定價模型中標(biāo)的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布這一假設(shè)條件進行了修正，提出了標(biāo) 的資產(chǎn)價格服從對數(shù)廣義誤差分布的假設(shè)，并且通過實證研究得出，標(biāo)的資產(chǎn)價格 服從對數(shù)廣義誤差分布以及廣義誤差期權(quán)模型的定價與實際情況較為相符的結(jié)論。關(guān)鍵詞：Black Scholes模型；廣義誤差分布；協(xié)整檢驗；擬合優(yōu)度中圖分類 號：F224.0, 0211.621. 引言及

2、文獻回顧Black Scholes的期權(quán)定價模型是金融學(xué)中廣泛應(yīng)用的模型之一，該模型是金 融資產(chǎn)定價的核心理論基礎(chǔ)，是金融創(chuàng)新的原動力，是金融理論界和實踐界的一場 重大變革。盡管該模型的一些假設(shè)與現(xiàn)實不相符，但標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)價格與該公式 的計算結(jié)果還是比較吻合的。期權(quán)定價理論的研究可以追索到Bachelier （ 1900）的博士論文投資理論”其后許多經(jīng)濟學(xué)家和數(shù)學(xué)家都嘗試解決這個問題，直到二 十世紀(jì)七十年代，該問題才得到了實質(zhì)的解決，Black和Scholes（ 1973）應(yīng)用均衡資本資產(chǎn)定價理論及風(fēng)險中性理論推導(dǎo)出期權(quán)定價方程，得到期權(quán)的定價公式1。在此之后，Harrison和Kreps、

3、Harrison和Pliska分別應(yīng)用鞅和隨機積分從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出了期權(quán)定價公式，該定價公式奠定了現(xiàn)代金融工程的理論基礎(chǔ)。之 后的很多學(xué)者對該模型的推廣進行了大量的研究，其中比較有影響力的是Roll（1977給出了支付離散股利的美式看漲股票期權(quán)的解析定價公式，Merto n（1976）首次考慮市場中突發(fā)事件對股票價格的影響，指出了標(biāo)的股票收益是由標(biāo) 準(zhǔn)幾何布朗運動引起的連續(xù)擴散變動和泊松過程引起的跳躍共同作用的結(jié)果，并依 此建立了跳-擴散模型并給出了在這種模型下的歐式期權(quán)解析定價公式。在國內(nèi)， 唐湘晉和吳新林（2006）年提出了基于非高斯和相依回報的期權(quán)定價模型，安占強 和徐潔媛（2007）

4、提出了非正態(tài)分布下的二叉樹期權(quán)定價模型，但是這些模型都缺 少實證來支持，只是單純的改變 BlackScholes的期權(quán)定價模型中的一些假設(shè)條 件，這些改進的模型是否適用于實際情況，還有待進一步的驗證。本文首先研究傳 統(tǒng)期權(quán)定價理論是否服從正態(tài)分布，因為金融數(shù)據(jù)大都存在尖鋒厚尾的現(xiàn)象，而正 態(tài)分布并不能有效的擬合這種實際數(shù)據(jù)，最后通過實證的比較分析，驗證哪種模型 較為合理。2. GARCH模型及分布檢驗本文需要計算期權(quán)定價理論中的波動率，而波動率本文采用廣義自回歸條件異 方差（GARCH ）模型來確定；同時還要確定標(biāo)的資產(chǎn)價格是服從對數(shù)正態(tài)分布還 是其他分布，故在該部分先介紹自回歸條件異方差模型

5、及分布檢驗。htt P： /WWW .pap .c n2.1 GARCH 模型自回歸條件異方差模型（generalized autoregressive conditional heteroskedasticity model,GARCH模型）是由Bollerslev,Tim（1986首先提出的，該模型包括兩個方 程：一個是條件均值方程；另一個是條件方差方程，標(biāo)準(zhǔn)的 GARCH （ 1,1）模 型為：y t =a 0+ 刀 a i y t -i + E p i x t -i +u ti =1i =0(10-1 2=w + a u t 2-1+ 入 c t 2-1+v t其中u t為

6、均值方程的殘差項，V t為異方差方程的誤差項，且服從標(biāo)準(zhǔn)態(tài)分布。對于該模型的參數(shù)估計，大都采用似然估計。2.2分布擬合檢驗分布擬合檢驗的目的在于尋找與樣本數(shù)據(jù)擬合程度最好的分布形式。對其檢驗 的方法很多，例如游程檢驗、秩和檢驗等，但是使用最大似然估計法和擬合優(yōu)度法 較為科學(xué)。1、分布的極大似然估計法極大似然估計的基本思想是：已經(jīng)發(fā)生的事件在未發(fā)生之前其發(fā)生的概率最 大。根據(jù)Law和Kelt on的定義，分布的最大似然估計是使分布與給定觀測數(shù)據(jù)之間的擬合程度最佳的函數(shù)形式。對于任意有兩個擁有n個樣本值X的不同概率密度分布f (X、g (X似然函數(shù)可表示為:L 1=n f (X i ,a L 2=

7、i =1ni =1其中a、P均為分布函數(shù)的參數(shù)。這樣我們會得到兩個分布函數(shù)的似然函數(shù)值，似然值越大，其分布與實際的樣本值的擬合程度越高，如果l 1>l 2說明密度函數(shù)f(X比密度函數(shù)g (X的擬合程度更高，反之亦然。2、擬合優(yōu)度法擬合優(yōu)度是指樣本數(shù)據(jù)的實際統(tǒng)計頻率與給定分布之間的擬合概率之間的接近 程度，它通常被用在比較不同分布函數(shù)之間擬合程度?？梢酝ㄟ^三種方法對擬合優(yōu) 度進行檢驗:X 檢驗、Kolmogorov-Smirnov 或 Anderson-Darling 檢驗，x 檢驗是最常用的 檢驗方法，適用于連續(xù)和離散的樣本數(shù)據(jù)。X檢驗的定義為:(P i-pi2X =刀(2p i =1i

8、在(2式中，P i為觀測到的頻率值，P i為落在某一區(qū)域的理論概率值。擬合優(yōu) 度統(tǒng)計量htt p: /WWW .pap .c n測量了分布與樣本數(shù)據(jù)之間的偏差。擬合優(yōu)度越小，擬合程度越好。3. 傳統(tǒng)期權(quán)定價理論3.1標(biāo)的資產(chǎn)價格的行為模型Black Scholes的期權(quán)定價模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從如下Ito過程:ds t =卩 sdt + (T sdz (3其中s表示資產(chǎn)的價格，卩表示資產(chǎn)價格的預(yù)期收益率，T表示資產(chǎn)價格的波動率,dz =， E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是一隨機數(shù)，dt為時間的微分。3.2 Black Scholes的期權(quán)定價模型根據(jù)無套利定價理論、風(fēng)險中性定價理論和依藤定

9、理可得期權(quán)定價公式: 漲期權(quán)23:c =SN (d 1 -Xe -r (T -t N (d 2 (4看跌期權(quán):p =Xe -r (T -t N (-d 2 -SN (-d 1 (5其中，c表示看漲期權(quán)合約價值，S表示標(biāo)的資產(chǎn)價格，N(X為均值為0標(biāo)準(zhǔn)偏差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)， X為執(zhí) 行價格，r為無風(fēng)險利率，T為到期時間，t為當(dāng)前時期，d 1 =ln(S! X)+(r+blj)(丁 _)/ £d 2=股票價格的波動率。3.3基于廣義誤差分布的期權(quán)定價理論在標(biāo)的資產(chǎn)的價格行為模式過程中，Black和Scholes認(rèn)為資產(chǎn)的運動過程服從正態(tài)分布，但是大量的實證研究表明

10、，資產(chǎn)的運動過程更多的表現(xiàn)為廣義誤差分布，如果標(biāo)的資產(chǎn)的運動過程服從廣義誤差分布的話，那么期權(quán)的定價公式可表示成如下公式：看漲期權(quán):c =SGED (d 1,1 -Xe -r (T -t GED (d 2,1 (6看跌期權(quán):p =Xe -r (T -t GED (-d 2,1 -SGED (-d 1,1 (7其中，GED (x ,1表示入為1的廣義誤差分布變量的累計概率分布函數(shù)，其他的參數(shù)意義與BlackScholes的期權(quán)定價模型相同。4. 實證研究 htt P： /WWW .pap .c n由于我國尚未建立完善的期權(quán)交易市場，故本文在實證研究過程中以上證交易所中的股票權(quán)證為樣本

11、，但由于股票權(quán)證對股票價格(標(biāo)的資產(chǎn))具有稀釋作用, 因此必須經(jīng)過必要的調(diào)整，調(diào)整公式如下：(8式中，V表示上市公司的股權(quán)價值，N表示該公司發(fā)行在外的流通股股數(shù),S表示股票價格，M表示該公司發(fā)行的權(quán)證總份額,W表示認(rèn)股權(quán)證的價格。但是由于我國大部分上市公司所發(fā)行的權(quán)證份額占流通股股數(shù)的比值很小，因此股票 權(quán)證對股票價格的稀釋作用可以忽略不計，即標(biāo)的資產(chǎn)的價格可以用股票價格來表示，無須進行調(diào)整。在實際研究中，本文實證研究采用武鋼股票及其權(quán)證2007-4- 17到2007-11-30的周收盤價（數(shù)據(jù)來源于興業(yè)證券行情系統(tǒng)，取周數(shù)據(jù)是為了簡化 計算的復(fù)雜性；無風(fēng)險利率采用一年期存款利率并將他轉(zhuǎn)化成連

12、續(xù)得利的形式，r=3.87% （來源于中國人民銀行網(wǎng) httP：/WWW）,轉(zhuǎn)化后的r f =3.798%，這里不用一年期國債利率是因為今年不斷的調(diào)整存款利率，使得一年期國債利率（2.51%）比同期銀行存款利率更低。V M =S +W N N (84.1分布擬合檢驗及GARCH模型的實證研究1、分布的擬合檢驗在BlackScholes的期權(quán)定價模型中假設(shè)股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的，但是 否服從對數(shù)正態(tài)分布有待進一步的檢驗。本文擬采用似然估計函數(shù)與擬合優(yōu)度進行 檢驗，檢驗前先將股票收益率分成幾個區(qū)間，其區(qū)間越細(xì)其檢驗的精度就越高，本 文把收益率按如表1所示的區(qū)間劃分:表1收益率的劃分區(qū)間Tab.

13、 1 Classificati on In terval of Retur n Rate0.036將樣本股票的收益率按分布的極大似然估計法與擬合優(yōu)度法的公式計算，可以 得到如表2所示的結(jié)果:表 2 分布檢驗結(jié)果 Tab. 2 Results of Distribution Test區(qū)間個數(shù)實際概率廣義誤差分布理論概率正態(tài)分布理論概率廣義誤差分布擬合優(yōu)度正態(tài)分布擬合優(yōu)度0.131084 0.112321 -0.01V r<0 0< r<0.01 0.01< r<0.02 0.02< rvO.036以合優(yōu)度 似 然值0.09375 0.0625 0.1875 0

14、.06250.046888 0.0768940.0475950.0026940.0046680.410541 0.0019780.488128 0.915559 9.555149 9.0702390.06919注：表中的廣義誤差分布中 入=1這樣可克服尖鋒厚尾現(xiàn)象。從表2中的檢驗結(jié)果可得出，收益率服從廣義誤差分布的擬合優(yōu)度小于收效率 服從正態(tài)分布的擬合優(yōu)度，而廣義誤差分布的似然值卻大于正態(tài)分布的似然值，這兩種檢驗結(jié)果都顯示股票價格服從對數(shù)廣義誤差分布。2、GARCH模型在期權(quán)定價過程中，最重要的一個參數(shù)就是股票價格的波動率，本文利用GARCH模型,htt P： /WWW .pap

15、.c n采用股票收益率來估計各期股票價格的波動率。在進行GARCH建模前，對武鋼股票收益率進行平穩(wěn)性檢驗，本文采用 ADF檢驗，檢驗結(jié)果見表3。表 3 ADF 檢驗結(jié)果 Tab.3 Results of ADF Testt-Statistic Prob.* ADF 統(tǒng)計量 臨界值1% level-4.658838 0.0009 -3.6793225% level -2.967767 10% level -2.622989注：檢驗過程的滯后階數(shù)由Eviews軟件用AIC檢驗自動判斷。由檢驗結(jié)果可知，武鋼股票收益率序列是非常平穩(wěn)的。由于GARCH模型的相關(guān)已經(jīng)相當(dāng)成熟，本文對本過程只簡單描述一下。

16、通過回歸以及LM檢驗，AIC準(zhǔn)則的判斷，擬采用如下形式的 GARCH模型:y t =a 1y t -1+u t0- =W + a U + 入 c其估計結(jié)果為:2t 2t -12t -1+v t(9y t =0.3014366854y t -1z=2.74.8(T t 2=0.001240.218u t 2-1+1.0767c t 2-1z=1.739 z=-1.8997 z=5.643估計結(jié)果中的z值表示的是廣義誤差分布的分位值，從以上的估計結(jié)果可以得 出，各參數(shù)的估計結(jié)果都較為顯著，通過模型的估計結(jié)果可以得到各期的波動率。4.2期權(quán)定價模型估計出了各時期股票價格的波動率后，通過Black S

17、choles的期權(quán)定價模型以及基于廣義誤差分布的期權(quán)定價模型，把相關(guān)時期的數(shù)據(jù)帶入到兩個模型當(dāng)中去,可以得出在這兩個模型下的權(quán)證理論價格，經(jīng)過Eviews編程可得到如表4所示的結(jié)果：表4期權(quán)的理論價格與實際價格Tab. 4 Theoretical P rice and P ractical P rice Based on Op ti on Theory權(quán)證價格正態(tài)分布理論價廣義誤差分布理論價權(quán)證價格正態(tài)分布理論價廣義誤差分布理論價2007/05/04 (5.722 2007/08/242007/08/312007/09/072007/09/142007/09/212007/09/282007/

18、10/052007/10/1 22007/10/197.295 8.876 10.988 8.835 8.049 (8.1548.725 8.212htt P： /WWW. pap 2007/07/06 2007/07/13 2007/07/20 2007/07/27 2007/08/03 2007/08/10 2007/08/17 5.694 5.499 5.135 6.359 6.668 6.601 6.314 3.779 3.955 3.829 5.592 5.370 6.594 6.008 4.975 5.163 5.014 6.793 5.691 6.707 6.423 2007/1

19、0/26 2007/11/02 2007/11/09 2007/11/16 2007/11/23 2007/11/30 7.070 6.735 6.455 6.401 6.744 6.607 7.331 6.821 6.181 6.714 7.343 6.736 7.155 6.712 6.342 6.877 7.521 7.3注2:為了保持計算過程的連續(xù)性，在節(jié)假日的星期數(shù)據(jù)采用上星期的數(shù)據(jù)，加括號表 示。從表4中可以看出，在樣本期的前期和后期，Black Scholes模型的定價與1、實際較為吻合，而在中期，廣義誤差分布模型的定價結(jié)果與實際情況較為接近。 但具體是哪一種定價模型與 實際的權(quán)

20、證價格擬后得較好，有待進一步的檢驗。均方誤差（mean square檢驗均方誤差定義為各預(yù)測值誤差的平方和的平均值的 平方根，其越小說明平均誤差越小，其預(yù)測效果越好，其可表示成如下形式：E =刀（pi -pi 2 i =1 n A n A （10其中，E表示均方誤差，pi表示估計值，pi表示實 際值，n表示樣本個數(shù)。通過計算，可以得到兩模型的均方誤差值，其結(jié)果見表5。表5均方誤差值Tab. 5 Mean Square Value正態(tài)分布 均方誤差1.467861495廣義誤差分布1.045350672由表5中可看出，廣義誤差分布的均方誤差小于正態(tài)分布的均方誤差，說明廣義誤差分布的期權(quán)模型定價與

21、實際的價格擬合得更好。2、協(xié) 整檢驗協(xié)整檢驗是用來檢驗兩個變量是否存在著長期的穩(wěn)定關(guān)系， 本文米用的是E-G (Engle-Granger)兩步法來進行協(xié)整檢驗。檢驗的變量是權(quán) 證的實際價格和各理論價格，通 過協(xié)整方程中各系數(shù)的大小及其顯著程度來比較 兩個定價模型的好壞。 在進行協(xié)整檢驗前，先檢驗各變量的平穩(wěn)性，其檢驗結(jié)果見表 6:表 6 ADF 檢驗結(jié)果 Tab. 6 Results of ADF Tests變量 P NRP GEDP DPDNR P DGED P ADF 統(tǒng)計量-3.178083 -1.652546 -2.144016 -5.249964 -5.192548 - 5.590

22、371 ADF 臨界(5% -3.622033 -3.568379 -3.568379 -3.574244 -3.574244 -3.574244AIC 值 1.101604 2.998690 2.870739 2.097611 3.123534 3.04483結(jié)論 不平穩(wěn) 不平穩(wěn) 不平穩(wěn) 平穩(wěn)平穩(wěn)平穩(wěn)注：表中的滯后階數(shù)由Eveiws軟件根據(jù)AIC值自動判斷。其中，P表示權(quán)證的實際價格，NRP表示BlackScholes模型的定價，GEDP表示 廣義誤差分布模型定價，前面加D表示一階差分。6htt p:/www. pap 由其檢驗結(jié)果可得，以上三個價格都是一階單整的,故可對其進行E-G兩步法協(xié)

23、整檢驗。通過Eveiws軟件可得其協(xié)整方程和檢驗結(jié) 果：協(xié)整方程：Black Scholes模型：P=2.32926642+0.2162951625*NR P+0.4522831109*P (-1 (3.313821)(3.347923)(3.301925)廣義誤差模型：P=1.585784181+0.2449732731*GEDP+0.5200033666*P(-1 (2.325894)( 3.036302)(3.981343)協(xié)整檢驗結(jié)果(表7):表7協(xié)整檢驗結(jié)果Tab.7 Results ofCointegration Test模 型 ADF 統(tǒng)計量-4.20967 -4.30410 A

24、DF 臨界(5% -3.574244 -3.574244 AIC值1.582023 1.651515結(jié)論平穩(wěn)平穩(wěn)Black Scholes模型廣義誤差模型注：表中的滯后階數(shù)由Eveiws軟件根據(jù)AIC值自動判斷。從兩模型的協(xié)整檢 驗結(jié)果中，可以看出這兩個模型的定價與實際的權(quán)證價存在著長期的協(xié)因為廣義誤差模型的ADF整關(guān)系，但是廣義誤差模型的長期穩(wěn)定性要強于Black Scholes模型，值小于Black Scholes模型的ADF值。從兩模型的協(xié)整方程中可以看出，兩模型的系數(shù)均很 顯著，但兩模型協(xié)整方程的系數(shù)不一致，從截距上分析，Black Scholes模型的截距要大于 廣義誤差模型的截距，

25、 即廣義誤差模型的定價 與實際價之間的差距要小于Black Scholes模型的定價與實際價之間的差距，說明廣義誤差模型的定價更接近實際價格；從斜率上分析，Black Scholes模型的斜故無論是率與廣義誤差模型的斜率較為接近，而且兩模型的斜率系數(shù)都很顯著。從協(xié)整方程還是從協(xié)整檢驗的結(jié)果分析，廣義誤差分布的期權(quán)模型的定價結(jié)果都比Black Scholes模型的定價結(jié)果更好。5結(jié)論 通過本文的比較分析，我國上市公司權(quán)證無論是其收益率，還是其標(biāo)的資產(chǎn)的運動過程，更多的是服從廣義誤差分布；而在其權(quán)證的定價過程中，廣義誤差分布的期權(quán)模型定價比傳統(tǒng)的BlackScholes模型的定價更接近實際價格，與

26、實際價格的變化更為一致，即標(biāo)的資產(chǎn)價 格服從對數(shù)廣義誤差分布的假設(shè)更為合理。參考文獻1吳恒煜.BlackScholes期權(quán)定價公式的推導(dǎo)及推廣J.商業(yè)研究.2006第十六期.2 Black F. and Scholes M.The pricing of op ti ons and corpo rate liabilitiesJ. Journal of P olitical Economy.1973,81(3: 637-654. 3 John C.Hull.期權(quán)期貨和其它衍生產(chǎn)品(第三版M.華夏出版社.2004 Research of Op tio n P ric ing Model Based 7htt p: /WWW .pap .c n on Gen eralized Error Distributio n Qiu Shibi n Che n Yanwu (College of Commerce, Huaqiao Uni versity, Fujia n, P RC,(362021 Abstract Aimi ng at the dev