帶電粒子在常梯度磁場中橫向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究(DOC)

1、帶電粒子在常梯度磁場中橫向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究摘要在導(dǎo)出常梯度磁場中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的微分方程的基礎(chǔ)上， 求出了微分方程的解。 研 究了帶電粒子在常梯度磁場中運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，確定了粒子作回旋運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件。結(jié)果 表明，粒子在作回旋運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，在軸向和徑向均作簡諧振蕩，可以保持粒子繞回轉(zhuǎn)軌 道運(yùn)動(dòng)。粒子的橫向運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀取決于磁場的對數(shù)梯度 n, 而與粒子的初始狀態(tài)無 關(guān)。粒子的初始狀態(tài)確定其橫向運(yùn)動(dòng)的振幅。【關(guān)鍵詞】 常梯度磁場；回旋運(yùn)動(dòng)；橫向運(yùn)動(dòng)；穩(wěn)定性條件- 3 -Study on the lateral stability of charged particles ina con sta nt g

2、radie nt magn etic fieldAbstractIn constant gradient magnetic field is derived the basic differential equations for the motion of charged particles in the upper, the solution of the differential equation. The stability of charged particles in constant gradient magnetic field research, determine the

3、particle stability conditions of cyclotron motion. The results show that, particles in the cyclotron motion at the same time, in the axial and radial directions were simple harmonic oscillation, can keep the particles around the rotary motion. Logarithmic gradient magnetic field n in lateral motion

4、trajectory of particle shape depending, regardless of the initial state and the particle. The in itial state of the amplitude of the tran sverse motio n of particle is determ in ed.Key words constant gradientmagnetic field; lateral motion; stability condition目錄引 言 41 帶電粒子在恒定均勻磁場中的運(yùn)動(dòng) 41.1 帶電粒子在恒定電磁場中

5、的運(yùn)動(dòng)方程 41.2 帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng) 52 帶電粒子在常梯度磁場中的運(yùn)動(dòng)方程 62.1 理想常梯度磁場分布的特點(diǎn) 62.2 帶電粒子在常梯度磁場中的運(yùn)動(dòng)方程 72.3 軸向運(yùn)動(dòng)方程 82.4 徑向運(yùn)動(dòng)方程 92.5 非相對論情況下帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性 103. 帶點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值分析 113.1 非相對論情況下橫向振蕩方程的通解 113.2 初始條件確定時(shí)橫向振蕩方程的定解 123.3 粒子運(yùn)動(dòng)軌道的分析 134 結(jié)論 17參考文獻(xiàn) 18帶電粒子加速器可以給電子、質(zhì)子、輕重離子等帶電粒子加速，使它們的速度 達(dá)每秒幾千公里、幾萬公里乃至接近光速，使粒子獲得很高的能量。高能粒子

6、是人們研 究原子核、基本粒子和認(rèn)識物質(zhì)深層次結(jié)構(gòu)的重要工具。低能加速器在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī) 療衛(wèi)生等領(lǐng)域內(nèi)有廣泛的應(yīng)用，極大地改變了這些領(lǐng)域的面貌，創(chuàng)造了巨大的經(jīng)濟(jì)效益 和社會(huì)效益。粒子回旋加速器等加速裝置常常是將利用磁場將帶電粒子限制在一個(gè)圓形的軌道 上運(yùn)動(dòng)，研究帶電粒子在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性是一個(gè)很有意義的課題。本文將研究帶 電粒子在常梯度磁場中的運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，研究粒子橫向運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。1帶電粒子在恒定均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)1.1帶電粒子在恒定電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程帶電粒子在恒定電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，將受到電場力和磁場力的作用。根據(jù)牛頓第二定(1-1)律，帶電粒子在恒定電磁中的運(yùn)動(dòng)方程為dt一 mv = qeE

7、 + qe v 氏 B IHtL J或?qū)懗蒬r Ji :dt 一式中m為粒子的質(zhì)量，v為粒子的速度矢量，qe為粒子的荷電量，其中e是電子電荷的絕對值，E為電場強(qiáng)度矢量，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。在回旋加速器中粒子的軌道大多呈圓形或螺旋線形，所以當(dāng)討論粒子在加速器中的運(yùn)動(dòng)時(shí)常采用圓柱坐標(biāo)系。以z代表軸向，r以代表徑向，二代表輻向。（1-1 ）式可寫 成三個(gè)分量的運(yùn)動(dòng)方程式d(m電)=mr 空2dt dtdtqeBzr - qeB-dZ qeErdtdt(1-2)1 d r dtmr2d，=qeQdz_qeBzdr qeEv dt 丿dtdt廿(1-3)ddtm蟲dt= qeB 葺qeBjdrdtqeE

8、z(1-4)（1-2 ）到（1-4）三個(gè)式子分別為帶電粒子在恒定電磁場中的徑向、輻向和軸向的運(yùn)動(dòng) 方程。1.2帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)一4 4設(shè)粒子在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)，（1-2 ）式、（1-3）式和（1-4）式中B = ezBz、電場為0，可寫出均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)方程：(mrmr 竺dt dtdtqeEZrdt(1-5a)- 11 -(1-5b)di 2d。)dr.mr =qeBzrdt J dt 丿dt(1-5c)在加速過程中，粒子質(zhì)量m不斷增大，但在粒子的一個(gè)回旋周期內(nèi)變化極小，本文 不考慮相對論效應(yīng)，取m是常數(shù)。當(dāng)帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)將受到洛倫茲力的作用， 力的大小等qevBsin二，其

9、中二為粒子的速度v與磁場B的方向間的夾角，力的方向垂直 于磁場和粒子運(yùn)動(dòng)的方向。粒子在洛侖茲力的作用下作曲線運(yùn)動(dòng)。如果曲率半徑保持不變，則dr/dt =o ,則由（1-5）式2d。亠 a d日-mrqeBzr 0dtdtd" m =qeBz（1-6）dt考慮到方向，求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的角頻率(1-7)qeBzm其中 c為粒子的回旋角頻率，這就是拉摩定理。由上可見，粒子的回旋頻率只與磁感強(qiáng)度和粒子的荷質(zhì)比有關(guān)，而與粒子的速度無關(guān)。（1-6）式也可寫成m譯=一冋，則粒子的回轉(zhuǎn)軌道半徑rc叫（1-8）qeBz上式中負(fù)號反映了粒子回旋運(yùn)動(dòng)的方向。帶正電荷的粒子（ q .0 ）在磁力線向上的磁

10、 場中（Bz>0 ）運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子回旋運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向（ <0）；在磁力線向下的 磁場中（Bz : 0）運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子回旋運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向（0）；而帶負(fù)電荷的粒子其結(jié)果相反。概括地說，q0的帶電粒子，冬與Bz的符號相反，q：0的帶電粒子, J與Bz的符號相同。如果只計(jì)算軌道半徑的大小，負(fù)號可以不考慮。理想的均勻磁場只有軸向分量Bz =B，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向可以近似的認(rèn)為是沿著半徑的切線方向，即V.MV。則（1-8）式可寫成(1-9)mvqeB2帶電粒子在常梯度磁場中的運(yùn)動(dòng)方程2.1理想常梯度磁場分布的特點(diǎn)在粒子加速過程中人們往往采用常梯度的磁場，因?yàn)閰?shù)合適的梯度磁場不但能

11、控制粒子的軌道，還能使粒子聚焦。圖 2-1表示典型的常梯度磁場磁力線的分布情況。圖2-1常梯度磁場磁力線的分布理想的常梯度磁場分布有以下特點(diǎn)：(1)磁場對于z軸是旋轉(zhuǎn)對稱的。其數(shù)學(xué)關(guān)系式可寫成B_、Bz二Bz(r,z)、Br二B(r,z)。(2)磁場對于中心面z = 0是上下對稱的，此中心平面稱為磁對稱平面，在此平面上只有Bz，所以z=0的平面上，B ObB/O)，Br 0 =B 0 =0,在此平面外磁場除Bz分量外還有Br分量，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示可以寫成 Br (rz) - -Br(r,z), Br(r、0) =0,Bz(r,z)二 Bz(r, -z)。(3)磁場軸向分量 Bz 隨半徑 r 而

12、變化。磁場降落n指數(shù)是表示磁場Bz隨半徑r變化的重要參數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為Bz(2-1)式中C為常數(shù)。由(2-1)式可得(2-2)ig Brig r所以，n又稱為磁場的對數(shù)梯度(2-2)式還可以寫成(2-3)r cBn =B dr2.2帶電粒子在常梯度磁場中的運(yùn)動(dòng)方程利用帶電粒子在恒定電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程(1-2)至(1-4)式，考慮 Bz - 0, Br =0, B”0,Ez二Er二Ej-0，就可寫出帶電粒子在恒定常梯度磁場中的運(yùn)動(dòng) 方程徑向運(yùn)動(dòng)方程ddrd 2d 丁(2-4)輻向運(yùn)動(dòng)方程1 d 2 dc dzdrmrqeBrqeBz r dt . dtdtdt(2-5)軸向運(yùn)動(dòng)方程(2-6)d

13、 dzc d vmqeBjdt dtdt2.3軸向運(yùn)動(dòng)方程在回旋加速器中，徑向（r ）和軸向（z ）都垂直于粒子前進(jìn)的方向，所以徑向運(yùn) 動(dòng)和軸向運(yùn)動(dòng)統(tǒng)稱為橫向運(yùn)動(dòng)。研究帶電粒子在常梯度磁場中的橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)，可求出一 定能量的帶電粒子在理想的恒定梯度場中的橫向運(yùn)動(dòng)方程，并找出粒子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條 件。設(shè)在中心面（z = 0）上粒子的封閉軌道半徑為r，如果帶電粒子所處的軸向和徑向 坐標(biāo)分別是z和r，則帶電粒子對圭寸閉軌道的軸向偏離值就等于 z，徑向偏離值用 x = r - rc 表示。為了進(jìn)一步分析軸向運(yùn)動(dòng)方程，先求出磁場的徑向分量與軸向偏離值z之間的關(guān)系。假設(shè)粒子軸向偏離中心面很小，將作泰勒展開：上式

14、中Br（rc，0） =0，忽略二次以上高次項(xiàng)，則Br ：旦 l_z（2-7）I cz丿下標(biāo)c表示在封閉軌道上的數(shù)值。根據(jù)麥克斯韋方程，忽略束流本身電荷，I B =0erBr30沒有電流，磁場關(guān)于z軸對稱，得-:Brc9aa(2-8)-Br- Bz；：z 一 ； r將(2-8)式代入(2-7)式，求得Br ：皂 |_z，再代入(2-6)式，即得I渕丿C(2-9)因?yàn)榱Ｗ虞S向和徑向偏離封閉軌道的值z和都很小，所以粒子速度v和j之差可以忽略不計(jì),V =V. '。注意到粒子回旋角頻率qeBz一 ?mg mz= m 讓主 z dt dtB： c(2-10)式中Be二Bz(rJ為封閉軌道rc處磁場

15、的軸向分量將(2-3)式磁場降落指數(shù)n的表達(dá)式代入上式即可得軸向振蕩方程df d z 2m = - m n z dtl d t(2-11)2.4徑向運(yùn)動(dòng)方程假設(shè)粒子偏離圭寸閉軌道很小，可近似地認(rèn)為d日v v r - rdt，貝U( 1-5a)可寫成dt dtqeRv(2-12)(2-13)(2-14)式中r是粒子軌道半徑，粒子徑向偏離“封閉軌道”半徑 rc的值為x = r-匚，所以r = rc x式中xL rc。將徑向運(yùn)動(dòng)方程(2-12)等式右邊的兩項(xiàng)作如下的演變2 2 2 2v vvv 彳m mmm 一 1 - x rcrrc xrc 1 x l 匚在封閉軌道附近，粒子在r處的軸向磁場可寫成

16、化B )小Bz(r)二 Bcz x HI.：BEf x皂 x是粒子軌道偏離rc值為x處的磁場軸向分量的變化量。（2-14）式可寫成.cBz(r)Be I 決丿c rc _x _x -17 -將（2-3）式磁場降落指數(shù)n的表達(dá)式代入上式即可得到(2-15)d ( dx) mv2f、xf、xm1 + qeBc1 _ n_dt I dt 丿rc< rc丿<rc丿xBz (r) = Be 1 - n rc 一將（2-13）式和（2-14）式代入粒子徑向運(yùn)動(dòng)方程（2-12）式得v(2-16)已知Bc 空，并代入上式，則qercd dxdt mdtmv2x(n-1)(2-17)I m$ = -

17、m 2 1 _ n x dt . dt上式即是徑向振蕩方程。2.5非相對論情況下帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性粒子在注入和加速過程中總是要偏離封閉軌道的。當(dāng)粒子偏離封閉軌道時(shí)，如果能 產(chǎn)生一個(gè)把粒子拉回來的磁場力，則粒子的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。反之，則不穩(wěn)定。從橫向振蕩方程（2-11 ）式和（2-17）式可以清楚地看出粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件。 在（2-11 ）式中，m、2永遠(yuǎn)是正值，要想該方程有振蕩解，必須 n。因此軸向運(yùn) 動(dòng)的穩(wěn)定條件是n0。滿足此條件時(shí)，軸向力Fz的方向才與粒子偏離封閉軌道 z的方 向相反。同理，由（2-17 ）式可知，徑向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件應(yīng)為（1 - n）0,即n：1。所以, 橫向運(yùn)動(dòng)的

18、穩(wěn)定條件是0 ： n ： 1。這種滿足nn0條件的梯度磁場，它的磁力線向外彎曲（見圖 2-1），人們形象地稱 之為桶形場或鼓形場。在這種梯度磁場中，正負(fù)帶點(diǎn)粒子的軸向運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定性的。相 反，如果磁場軸向分量Bz隨半徑加大而增加，即n：0，則磁場的磁力磁線形狀向內(nèi)彎 曲，Br和Fz的方向都與上述的通形場相反，軸向力Fz是散焦力。帶點(diǎn)粒子在這種磁場中的運(yùn)動(dòng)將是不穩(wěn)定的下面定性分析n ： 1和n . 1的兩種不同情況帶電粒子橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。1) n cl :當(dāng)粒子軌道半徑R c rc時(shí)，在軌道半徑ri處勞侖茲力FL小于粒子做圓周 運(yùn)動(dòng)所要求的向心力Fz，ri將增大向rc靠攏；而當(dāng)粒子軌道半徑$

19、rc時(shí)，在軌道半徑D 處勞侖茲力大于粒子做圓運(yùn)動(dòng)所要求的向心力， r2將減小向rc靠攏。因此，在n：1的情 況下，徑向運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。2) n .1:當(dāng)粒子軌道r,:：:rc時(shí)，在軌道半徑幾處，F(xiàn)LFc，軌道收縮，粒子會(huì)繼續(xù)遠(yuǎn)離封閉軌道半徑rc ；而當(dāng)粒子軌道r2 rc時(shí)，在軌道半徑血處，F(xiàn)： Fc，軌道擴(kuò)張， 粒子將繼續(xù)遠(yuǎn)離封閉軌道半徑rc。所以在n1的情況下，徑向運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。綜上所述，要想使梯度磁場既能控制粒子的運(yùn)動(dòng)軌道又能對粒子聚焦，關(guān)鍵問題是 選擇合適的磁場降落指數(shù)n ,也就是在設(shè)計(jì)磁鐵時(shí)要精確的計(jì)算磁極面的形狀。3.帶點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值分析3.1非相對論情況下橫向振蕩方程的通解在

20、非相對論情況下，質(zhì)量 m是常數(shù)。(2-11)式和(2-17)式可改寫成嘆"0d2xdt222 (1 - n)x = 0dt2以上兩式是簡諧振蕩方程。因此軸向和徑向振蕩方程的解為:(3-1)x =C2 cos Tn t：2(3-2)- n 和.廠n，分別是軸向和徑向振動(dòng)的角頻率。軸向自由振蕩頻率徑向自由振蕩頻率fc為粒子沿封閉軌道的回轉(zhuǎn)頻率。(3-3)軸向自由振蕩周期TzTcQn徑向自由振蕩周期TcTc(3-4)山-nTc是粒子沿封閉軌道的回轉(zhuǎn)周期。通過(3-3)式和(3-4)式可以看出粒子沿軌道旋轉(zhuǎn)周，橫向振蕩不到一次。3.2初始條件確定時(shí)橫向振蕩方程的定解設(shè)t=0時(shí)，粒子的軸向偏離

21、值為Zo，徑向偏離值為X。并設(shè)初始時(shí)粒子的速度為v 與軌道平面的夾角為:z，而v在軌道平面內(nèi)與軌道切線的夾角為X。因此，粒子的軸向 初速度為dzdz ds,()0vtan ： z : v： zdtds dt徑向初速度為dx(計(jì)S由初始條件詈。W亦1(3-5)(3-6)G =nz02r匚' nz。根據(jù)(3-5)式和(3-6)式，我們可以解出tan因?yàn)槌跏计x值很小，所以v ：'vc二rc，則(3-7)(3-8)3.3同理可得2 2C2x2tan ;21 -nzo(3-9)(3-10)軸向振蕩和徑向振蕩的振幅比2 2Zo nC22 2 X0xc(3-11)1 -n=0時(shí)，粒子正好處

22、在回轉(zhuǎn)軌道上，則z( = x0 =0，那么(3-11)式可以寫成(3-12)軸向振蕩的頻率和徑向振蕩的頻率比、.、n，n1 -n(3-13)可以看出軸向振蕩和徑向振蕩的振幅比與頻率比是互為倒數(shù)的關(guān)系。粒子運(yùn)動(dòng)軌道的分析rc二2、2X0z?22 ：2x2 . x1-nrc-tan -1）粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場參數(shù)n的關(guān)系用Mathematics繪出的粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場參數(shù)n的關(guān)系如圖3-1所示。圖中取：-h'x =0，': -0.01 ,-0.015，rc =1，分別取 n =0.5，0.6，0.7，0.8。由圖可見，由于粒子軸向、徑向的振動(dòng)頻率的比與 跡不同，呈現(xiàn)為李薩

23、如圖形。n有關(guān)，所以不同的n粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌(c) n = 0.7(d) n = 0.8圖3-1初速度沿軌道切向時(shí)，粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場參數(shù)n的關(guān)系當(dāng)粒子初始的速度與圓軌道相切時(shí)=-=0時(shí)，粒子振蕩的振幅與n無關(guān)。但當(dāng)粒子初始的速度不在圓軌道的切線方向時(shí)，粒子振蕩的振幅與n有關(guān)。圖3-2給出了 x =5: /180，= 0.01，=0.015，rc =1， n =0.5,0.9 時(shí)，粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡。z(a)n = 0.5zx圖3-2初速度偏離軌道切向時(shí)，粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場參數(shù)n的關(guān)系2) 粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初速度方向的關(guān)系圖3-3給出了不同初速度方向情況下粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖

24、中取口 = © = 0,3-'n =0.7,=1，分別?。荷隙?，。由圖可見，橫向振蕩的振幅與粒子180 180 180初速度的偏向角有關(guān)，橫向振蕩的振幅隨偏向角的增大而增大，而粒子運(yùn)動(dòng)軌道形狀與 偏向角無關(guān)。圖3-3粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初速度方向的關(guān)系兀1802兀z _ S =180二3)1803) 粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初始位置的關(guān)系圖3-4給出了不同初始位置時(shí)粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡。圖中取 -=0，n = 0.7,.=1，分別取 ©= =0.01、0.02、0.03，即 q =x0 =(0.01,0.02,0.03)rc。由圖可見，橫向振蕩的振幅與粒子初始位置也有關(guān)，橫向振蕩的振幅隨初始位置的的增大而增大，而 粒子運(yùn)動(dòng)軌道形狀也與初始位置無關(guān)。圖3-4粒子橫向運(yùn)動(dòng)的軌跡與初始位置的關(guān)系（ z0 = Xq =0.01rc : 二冷=0.02rc : = x0 =0.03rc）4）運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡三維圖圖3-5給出了粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的3維圖，圖中?。?0，n =0.7 , rc = 1，分別 取二=0.01。從圖中可看出，粒子在回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，軸向與徑向都有振蕩，但始終都在 回