常用離散分布

1、2.4常用離散分布(一)(One Dimension Special Discrete Distribution)每個(gè)隨機(jī)變量都有一個(gè)分布，不同的隨機(jī)變量可以有不同的分布，也可以有相同的分 布.隨機(jī)變量有千千萬萬個(gè)，但常用的并不多，本節(jié)介紹的是離散隨機(jī)變量中的二項(xiàng)分布、 泊松分布、超幾何分布、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布 ，主要介紹二項(xiàng)分布和泊松分布.2.4.1 二項(xiàng)分布(the Binomial Distribution)定義2.4.1如果隨機(jī)變量X的分布列為P(X 二 k)二 Chl-P)巴k =0,1,., n則稱這個(gè)分布為二項(xiàng)分布，記為X b(n, p).一、二項(xiàng)分布的幾個(gè)特點(diǎn)：1. 服從二項(xiàng)

2、分布的隨機(jī)變量X需滿足的條件：X二“在n次獨(dú)立重復(fù)的Bernoulli試驗(yàn)中，某事件 A發(fā)生的次數(shù)”.2. p 二 P(A),q=1-p 二P(A).說明：n次獨(dú)立重復(fù)的Benoulli試驗(yàn)共有2n個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果，事件X =k包含其 中的C：個(gè),并且這每一個(gè)事件均表示“ n次獨(dú)立重復(fù)的Benoulli試驗(yàn)中有k次事件A發(fā) 生,其余的n -k次事件A沒有發(fā)生”，其中P(A)二p ,那么所包含的這每一個(gè)事件發(fā)生的概 率為 pk(1-p)nJ 故P(X 二k)二C：pk(1-p)njk =0,1,., n二項(xiàng)概率C； pk(1 - p)n*恰好是二項(xiàng)式p (1 - p)n的展開式中的第k 1項(xiàng)，這

3、正是其 名稱的由來.例2.4.1某特效藥的臨床有效率為0.95,今有10人服用，問至少有8人治愈的概率 是多少？解：設(shè)X “10人中被治愈的人數(shù)”，則XLI b(10,0.95).所以10 10P(X 一8)八 P(X =i)八 C1i00.95i0.051ii =8i =8= 0.07460.3151 0.5988 = 0.9885例 2.4.2 設(shè) X Jb(2, p),Y_b(3,p),若 P(X -1) = 59,試求 P(Y1).解:1927P(X_1)=59 二 P(X =0) =4 9=(1-p)2二 p=13P(Y _1) =1 _P(Y =0) =1 _(1 _丄)33二、二

4、點(diǎn)分布(Two-point distribution)n -1時(shí)的二項(xiàng)分布b(1,p)稱為二點(diǎn)分布，或0-1分布，其分布列為6 / 6p(x =i) = pi(1 -P)1,i =0,1.或者記為X01p1-Pp二點(diǎn)分布b(1, p)主要用來描述一次Bernoulli試驗(yàn)中某事件出現(xiàn)的次數(shù)(0或1). 很多隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間 門?？梢砸环譃槎洖槭录嗀與A,由此形成Bernoulli 試驗(yàn).n次獨(dú)立重復(fù)的Benoulli試驗(yàn)是由n個(gè)相同的、獨(dú)立進(jìn)行的Bernoulli試驗(yàn)組成. 若令 Xi “第i個(gè)Bernoulli試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)”,i =1,2,IH,n.X “在r次獨(dú)立重復(fù)的B

5、 e r n o試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的次數(shù)”n則Xi L b(1,p,) x 八 XiX2 川 xni 二這就是二項(xiàng)分布b(n,p)與二點(diǎn)分布b(1,p)之間的關(guān)系，即二項(xiàng)分布隨機(jī)變量 X是n個(gè)獨(dú) 立同分布的二點(diǎn)分布隨機(jī)變量 Xi,i =1,2，川,n.的和.三、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差例 2.4.3 若 X b(n,p),則 E(X) =np,Var(X) = np(1-p)= npq .解 因?yàn)?X b(n, p),所以 p(x =k)二C：pk(1-p)n',k =0,1,.,n.nnE(X)八 k P(X =k)八 k C：pk(1_ p)n±k=0k=0nk =0n!

6、k!( n_k)!pk (1 - p)n _kn!k!(n _k)!kn -kP (1 一 P)n!(k_1)!( n_ k)!Pk(1-P)n -k=11k =1pn(n 1)!(k-1)!( n-1)-(k-1)!kJ(1-p)nk 4 kJ(n)4k-1)=np瓦 Cnp(1-p)(I 1kNn k4 2(n)-(k)i =k1 npCnP (1-P)k=1= npp (仆曠=npnnE(X2)=為 k2 P(X =k)八“ k2 C：pk(1 - p)n"k =0k=0八 k(k -1)k衛(wèi)n!k!(n _k)!nk 、n _k 一'n !p (1 - p)'

7、 k0k!( n-k)!Pk(1- P)n _kn二'、k(k -1)k £n!k!(n _k)!kn _kP (1 - P) npn=11k 2n!(k _2)!(n _k)!kn _kP (1 - P) np=11k 22p n(n _ 1)(n _2)!(k_2)!( n_2)_(k _2)!Pl -P)(n/) _(k_2)npn2 /八bk_2 k_2“、( n_2)_(k_2)= pn(n -1)瓦 Cn/P (1 p)+npk -n 二i =k 一2 n(n 1)p2/卩"(1 一 p)(n)_ + npi _0“(n ")p2p (1-p)

8、n，np2 22=n p _np np222 2 2 2Var(X) = E(X)-E(X)= np-npn p - (np)2二 np _npnp(1 _ p)二 npq特別地，若 X b(1,p),則 E(X) = P,Var(X) = P(1 - P)= pq .2.4.2 泊松分布(Poisson distribution泊松分布是1837年法國數(shù)學(xué)家泊松(Poisoon S.D.1781-1840)首次提出的,泊松分布的分布列為kP(X =k) e,k =0,1,2,k!其中參數(shù)'0,記作X P()容易驗(yàn)證泊松分布滿足分布列的兩條性質(zhì)：k(1) 非負(fù)性：P(X =k) e&#

9、39;0,(， o,k =0,1,2,)；k!k(2) 正則性：v P(X =k) =e 'k =0k=0 k!泊松分布是一種常用的離散分布，它常與單位時(shí)間(或單位面積、單位產(chǎn)品等)上的計(jì)數(shù)過程相聯(lián)系，例如1. 在單位時(shí)間內(nèi)，電話總機(jī)接到用戶呼喚的次數(shù)；2. 在單位時(shí)間內(nèi)，一電路受到外界電磁波的沖擊數(shù)；3.1平方米內(nèi)，玻璃上的氣泡數(shù)；它們都服從泊松分布，可見泊松分布的應(yīng)用面是十分廣泛的。二、泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差例 244 若 X P( ),則 E(X)二Var(X) = .k解因?yàn)?XP( )，所以 P(x 二 k) e-',k=0,1,2, k!.=.? - k : k

10、:k則E(X)八 k e_ 八 k eey k!心 k!y(k1)!:,k Ji k 1 ,.y e_ i z0 i!: k k k2一 2 扎_扎 _九E(X2)“.k2ek(k -1) e_ 、k e_心 k!Jk!k 仝 k!-he、kH、2 - k_2八 k(k -1)ee-心k!心(k-2)!毗 i -i k _2 2 e_y i!=2Var(X)二 E(X2)-E2(X2) = 2 ：M2 二例2.4.5某商店出售某種商品，有歷史銷售記錄分析表明，月銷售量(件)服從參 數(shù)為8的泊松分布。問在月初進(jìn)貨時(shí)，需要多少庫存量才能有90%勺把握可以滿足顧客的 需求？解 令X =“這種商品的月

11、銷售量”在月初進(jìn)貨時(shí)的庫存量為n.則XP(8) 要求出滿足要求的最小庫存量n,即求出使下式成立時(shí)n的最小值n 8iP(X 遼 n)八-e -0.90i!查泊松分布表可知 P(X乞11) =0.888，P(X <12) =0.936所以，月初進(jìn)貨時(shí)，至少需要12 (件)的庫存量才能有90%勺把握滿足顧客的需求。三、二項(xiàng)分布的泊松近似定理 在n重伯努利實(shí)驗(yàn)中，記事件A在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn (與n有關(guān))， 如果當(dāng)n時(shí)，有nPn0,則nimCM-Pn嚴(yán)嗆宀證明令nPn = n，則k kCn pnd-Pn嚴(yán)n(n -1)(n -2)|l|(n -k 1)k!)k(1-k!'n)n

12、_knn n1 嚴(yán)一 In JIJke_ k!由于泊松定理是在npn J的條件下獲得的，故在計(jì)算二項(xiàng)分布b(n, p)時(shí)，當(dāng)n較大(n _10)，p較小(p乞0.1)，np大小適中(0.1乞np乞10)時(shí)，可以用泊松分布作近似，即kC：Pnkd-Pn)n_ e ',k=0,12 川k!注當(dāng)n愈大，p愈小，近似程度愈好.例2.4.6已知某疾病的發(fā)生率為0.001,某單位共有5000人.問該單位患有這種疾病 的人數(shù)不超過5人的概率？解令X “該單位的5000人中患這種疾病的人數(shù)”，則X b(5000,0.001)因?yàn)?n =5000 _10, p 二 0.001 遼 0.1,0.1 乞 n

13、p = 5 乞 10所以，近似有X P(5)故5 5kP(X 空 5) =c5000O.OO1kO.999n* 八 e，=0.616 心k!例2.4.7有10000名同年齡段且同社會(huì)階層的人參加了某保險(xiǎn)公司的一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)， 每個(gè)投保人在每年初繳納 200元保費(fèi)，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險(xiǎn) 公司獲得100000元的賠償費(fèi)。據(jù)生命表知這類人的年死亡率為 0.001 .試求保險(xiǎn)公司在這 項(xiàng)業(yè)務(wù)上(1)虧本的概率。 至少獲利500000元的概率。解(1)令X ="10000名投保人在一年中死亡的人數(shù)”，則X b(10000,0.001)這10000名投保人為保險(xiǎn)公司帶來的收入

14、為：200 10000二2000000元因?yàn)?n -10 000 -10, p =0.001 乞 0.1,0.1 乞 np =10 乞10所以，近似有X P(10)，故P(“保險(xiǎn)公司虧本”)=P(X .20) =1-P(X 乞 20)20 iok k J011 - 0.998 =0.002k =0k!（2） P（“保險(xiǎn)公司至少獲利500000元”）二P（X叮5）15k z010kkJ0k!-0.951例2.4.8為了保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工人。已知每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障是相 互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是 0.01 .試在以下各種情況下，求設(shè)備發(fā)生故障 而不能及時(shí)修理的概率。（1） 一名維修工負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備。3名維修工負(fù)責(zé)80臺(tái)設(shè)備。解令 X二“該名維修工人負(fù)責(zé)的20臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻出故障的臺(tái)數(shù)”Y “ 3名維修工人負(fù)責(zé)的80臺(tái)