抽象函數(shù)單調(diào)性及奇偶性練習(xí)進(jìn)步及標(biāo)準(zhǔn)答案

1、A1、已知的定義域?yàn)?R,且對任意實(shí)數(shù) x, y 滿足證： 是偶函數(shù)。2、已知 f(X)是定義在(-8 + 8)上的不恒為零的函數(shù),且對定義域內(nèi)的任意 x,y,f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).求 f(1),f(-1) 的值；判斷 f(x)的奇偶性，并說明理由.3、函數(shù) f(x)對任意 x?y R,總有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且當(dāng) x0 時(shí), f(3)=-2.(1)判斷并證明 f(x)在區(qū)間(-8，+8)上的單調(diào)性；求 f(x)在-3,3上的最大值和最小值.14、已知函數(shù) f(x)在(一 1, 1)上有定義，壯丄)=1,當(dāng)且僅當(dāng) 0 x1 時(shí) f(x)0,2且對任

2、意 x、y ( 1,1)都有 f (x)+f (y)=f( y)，試證明1 xy(1) f(x)為奇函數(shù)；(2) f(x)在(1, 1)上單調(diào)遞減5、已知f(x)是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的a,b R,都滿足:f(a?b) af (b) bf (a).(1)求f(0), f(1)的值;0 時(shí)，f(x)1，且對任意的 a、b R,有f(a+b)=f(a)f(b)，(1)求證：f(0)=1 ；(2)求證：對任意的 x R,恒有 f(x)0 ;(3) 證明：f(x)是 R 上的增函數(shù)；(4) 若 f(x) f(2x-x 51，求 x 的取值范圍。7、已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?R

3、,對任意實(shí)數(shù) m,n 都有 f (m n) f (m) f (n) 1 ,1 1且 f (，)0,當(dāng) x 時(shí)，f (x)0.(1) 求f(1)；(2)判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性，并證明.8、函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?R,并滿足以下條件：對任意 x R,有f (x)0;對任1意x, y R,有f (xy) f(x)y; f (3)1.A(1) 求f(0)的值;求證：f(x)在 R 上是單調(diào)減函數(shù)；9、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R,對任意實(shí)數(shù) m,n 都有f(m n)當(dāng) x 0 時(shí),0 f (x) 1.證明：f(0)1,且 x 0 時(shí),f(x)1;證明：f (x)在 R 上單調(diào)遞減；f (m)?

4、 f (n), 且10、函 數(shù)f (x)對 于 x0 有 意 義 ， 且f(2)1,f (xy) f (x) f (y), f(x)是減函數(shù)。(1)證明：f(1)0；(2)若f(x) f(x 3) 2成立，求 x 的取值范圍。滿足條件11、 定義在 R 上的函數(shù) y=f(x) , f(0)工 0,當(dāng) x0 時(shí)，f(x)1 b R,有 f(a+b)=f(a)f(b),(3)求證： f(0)=1 ；(4)求證：對任意的 x R,恒有 f(x)0 ;(3) 證明：f(x)是 R 上的增函數(shù)；(4) 若 f(x) f(2x-x )1，求 x 的取值范圍。,且對任意的 a、AA12、 已 知 函 數(shù)f

5、(x),g(x)在 R 上 有 定 義 ， 對 任 意 的x,y R有f(x y) f(x)g(y)g(x)f(y)且f(1) 0(1)求證：f(x)為奇函數(shù)(2)若f(1) f(2)， 求g(1) g( 1)的值13、 已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù) x,y 恒有f(x y) f(x) f (y)且當(dāng) x 0 ,f(x) 0.又 f (1)2.(1) 判斷f(x)的奇偶性；(2) 求f(x)在區(qū)間3,3上的最大值；(3) 解關(guān)于x的不等式f(ax2) 2f(x) f(ax) 4.14、定義在 R 上的函數(shù) f (x)對任意實(shí)數(shù) a b 都有f (a+b) + f (a b) =2 f (a) f

6、 (b)成立，且f (0)0A(1)求 f (0)的值；(2)試判斷 f (x)的奇偶性;15、已知定義在 R 上的函數(shù) f x 滿足:(1)值域?yàn)?1,1，且當(dāng) x 0 時(shí)，1 f x 0 ；(2)對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù) x,y，均滿足:試回答下列問題：(I)試求 f 0 的值；(U)判斷并證明函數(shù) f x 的單調(diào)性;16、定義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x)滿足：對于任意的實(shí)數(shù) x, y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng) x 0 時(shí) f(x)V0 恒成立.(1)判斷函數(shù) f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；證明 f(x)為減函數(shù)；若函數(shù) f(x)在-3，3)上總有 f(x) x2,

7、則 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)vx1x2,x1-x20. 又vx0 時(shí),f(x)0. f(x1-x2)0.即 f(x1)-f(x2)0.由定義可知 f(x)在區(qū)間(-8，+8)上為單調(diào)遞減函數(shù).(2)Vf(x)在區(qū)間(-8，+8)上是減函數(shù), f(x)在-3,3上也是減函數(shù). f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2.即 f(x)在-3,3上最大值為 2,最小值為-2.4、思路分析：對于，獲得 f(0)的值進(jìn)而取 x=- y 是解題關(guān)鍵；對于，判定兇程的范圍是焦點(diǎn)1 X1X2證明(1)由 f (x)+f (y)=f ( 一y)可令 x=y

8、=0,得 f (0)=0,1 xy參考答中，令，得于是A令 y= x,得 f(x)+f( x)=f( 4)=f(0)=0 f(x)= f( x)1 x f(x)為奇函數(shù)(2)先證 f(x)在(0 , 1)上單調(diào)遞減令 0 xiVX21,則 f(X2) f (Xi)=f (X2)+f ( xi)=f (x2一xi)1 X1X2/ 0X1X20,1 X1X20,. 0,1 x2x1又(X2 X1) (1 X2X1)=( X2 1)( X1+ 1)0 , X2 X11 X2X1,.0_1,由題意知 f()0 時(shí)，f(x)10，當(dāng) x0 , f(-x)0f(x)看七0又 x=0 時(shí)，f(0)=10對任

9、意 x R, f(x)0(3) 任取 X2X1，則 f(x2)0 , f(x1)0 , X2-X10f (X2)f(X2)f(X1)f(X2 X1)1f (X1) f(x2)f(x1) f(x)在 R 上是增函數(shù)(4)f(x) f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0),f(x)在 R 上遞增2 2由 f(3x-x )f(0)得：3x-x 0 0 x0, 令X 0, y 2得，f(0) f (0)2f(0)1函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?R,并滿足以下條件：對任意 X R,有f(X)0;對1任意x,y R,有f(xy) f(x)y; f (3)11111- f(xj

10、f(x2)f(P1)M3P2)f(3)P1f(3)P20f(xj f(X2)函數(shù)f(x)是 R 上的單調(diào)減函數(shù).9、解：(1)證明：令m 0,n1,則f(0 1) f (0)? f(1)當(dāng) x 0 時(shí)，0 f (x) 1,故f(1) 0, f(0)1,當(dāng) x 0 時(shí)，0 f (x)1證明：任取x1, x2R,且 x,x2,則f(X2Xj任取任取X1, X2R,且 X1X2,則令Xi1P2,故 Pl3P2當(dāng) x 0 時(shí)，x 0,則f( x x) f( x)? f(x)f(x)f (0)f( x)1f( x)Af (X2X1)1f (X1) x2x10, 00f (x2x1)1,故f (x2x1)

11、10時(shí)，f(x)10，當(dāng)X0，f(-x)0f(x)10又X=0時(shí)，f(0)=10f ( X)對任意 X R, f(x)0(3)任取 X2X1，則 f(x2)0，f(x1)0，X2-X10f (X2)f(X2)f(xj f(X2 xj1f (X1) f(x2)f(x1) f(x)在 R 上是增函數(shù)(4) f(x) f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3X)又 1=f(0)，f(x)在 R 上遞增由 f(3x-x2)f(0)得：3X-X20 0X2 時(shí)，XX|X-或Xia14、解：(i)令 a=b=0則 f (0) + f (0) =2 f (0) f (0)所以 2 f (0)

12、f (0) 1=0又因?yàn)閒 (0)0，所以 f (0) =1(2)令 a=0，b=x，則 f (X) + f ( X) =2 f (0) f (X)由 f (0) =1 可得 f ( X) = f (X)所以 f (X)是 R 上的偶函數(shù)。15、解：(I)在fmnf m f n中，令m 0,n 0,則有fmf m f 0ifmfn1 f m f 02f m 1 f m f 0 f m f 0 .也即：f 0 f m 10.即:由于函數(shù) fX的值域?yàn)?,1，所以,2f m 10,所以 f 00.(U)函數(shù) f x 的單調(diào)性必然涉及到 fXy，于是，由已知Af m n 丄工，我們可以聯(lián)想到：是否有

13、1 f m f nA這個(gè)問題實(shí)際上是：f n f n 是否成立?為此，我們首先考慮函數(shù)f x 的奇偶性，也即 f x 與 f x 的關(guān)系.由于0，所以，f m fn fmnlfmfn .任取xi, x2R，且xiX2，則X2xi0,故fx?%。 且 1 f x2, f x!1. 所 以 ，fx2f x fx2x!1 fx2fx10，所以，函數(shù) f x 在 R 上單調(diào)遞減.16、解：(1)由已知對于任意 x R, y R, f (x+y) =f (x) + f (y)恒成立令 x=y=0,得 f (0+0) = f (0) + f (0),二 f (0) =0令 x=-y，得 f(x-x)= f

14、(x)+ f(-x)=0對于任意 x，都有 f(-x)= - f(x) f(x)是奇函數(shù).(2)設(shè)任意 X1, X2 R 且 X10,由已知 f (X2-X0V0 (1) 又 f (x2-x 1)= f (X2) + f (-x 1) = f (X2) - f (X1) (2)由(1) (2)得 f(x 1)f(x 2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知 f(x0 在(-X, )上是減 函數(shù). f(x)在-3 , 3上的最大值為 f(-3).要使 f(x) 6 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) f(-3) 丄 f(a2x) -f(a)nnf (ax2)-f(a2x) nf(x) - f(a)f (ax -a2x)nf(x-a)（10 分）由已知得：fn (x-a ) =nf (x-a ) f (ax2-a2x) fn (x-a )Tf (x)在(-,+X)上是減函數(shù)