2020高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)講義：第一章：集合與簡(jiǎn)易邏輯

1、2020高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)講義：第一章：集合與簡(jiǎn)易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1一樣地，一組確定的、互異的、無(wú)序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡(jiǎn)稱集，用大寫字母來(lái)表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫字母來(lái)表示，元素X在集合A中，稱x屬于A,記為xA,否那么稱x不屬于A,記作xAo例如，通常用N,Z,Q,B,Q十分不表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來(lái)表示。集合分有限集和無(wú)限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表示集合的方法，如1,2,3;描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù),xx0分不表

2、示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義2子集：關(guān)于兩個(gè)集合A與B,假如集合A中的任何一個(gè)元素差不多上集合B中的元素，那么A叫做B的子集，記為AB,例如NZo規(guī)定空集是任何集合的子集，假如A是B的子集，B也是A的子集，那么稱A與B相等。假如A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A,那么A叫B的真子集。定義3交集，ABxxA且xB.定義4并集，ABxxA或xB.定義5補(bǔ)集，假設(shè)AI,則CiAxxI,且xA稱為A在I中的補(bǔ)集。定義6差集，ABxxA,且xB。定義7集合xaxb,xR,ab記作開區(qū)間(a,b),集合xaxb,xR,ab記作閉區(qū)間a,b,R記作(，).定理1集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合A,B,C,有：1A(

3、BC)(AB)(AC);2A(BC)(AB)(AC);3C1AC1BC1(AB);4C1AC1BC1(AB).【證明】那個(gè)地點(diǎn)僅證1、3，其余由讀者自己完成。1假設(shè)xA(BC),那么xA,且xB或xC,因此x(AB)或x(AC),即x(AB)(AC)；反之，x(AB)(AC),那么x(AB)或x(AC),即xA且xB或xC,即xA且x(BC),即xA(BC).3假設(shè)xC1AgB,那么xC1A或xCB,因此xA或xB,因此x(AB),又xI,因此xC1(AB),即C1AC1BC1(AB),反之也有C(AB)C1AC1B.定理2加法原理：做一件事有n類方法，第一類方法中有m1種不同的方法，第二類方

4、法中有m2種不同的方法，第n類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有Nmm2mn種不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分n個(gè)步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有Nmm?mn種不同的方二、方法與例題1 .利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例1設(shè)Maax2y2,x,yZ,求證：12k1M,(kZ)；24k2M,(kZ);3假設(shè)pM,qM,那么pqM.證明1因?yàn)閗,k1Z,且2k1k2(k1)2,因此2k1M.2假設(shè)4k2M(kZ),那么存在x,yZ,使4k2x2y2,由于xy和xy有相同的奇偶性，因此x2y2(x

5、y)(xy)是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于4k2,假設(shè)不成立，因止匕4k2M.3設(shè)pxy,qab,x,y,a,bZ,那么pq(xy)(ab)2222222222aaybxbya(xayb)(xbya)M因?yàn)閤ayaZ,xbyaZ。2 .利用子集的定義證明集合相等，先證AB,再證BA,那么A=B0例2設(shè)A,B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足AMBMAB,ABMAB,求集合M用A,B表示?！窘狻肯茸C(AB)M,假設(shè)x(AB),因?yàn)锳MAB,因此xAM,xM,因此(AB)M；再證M(AB),假設(shè)xM,那么xABMAB.1假設(shè)xA,那么xAMAB;2彳貿(mào)設(shè)xB,那么xBMAB。因止匕M(AB).綜上，MAB.

6、3 .分類討論思想的應(yīng)用。例3Axx23x20,Bxx2axa10,Cxx2mx20,假設(shè)ABA,ACC,求a,m.【解】依題設(shè)，A1,2,再由x2axa1。解得xa1或x1,因?yàn)锳BA,因止匕BA,因止匕a1A,因此a11或2,因此a2或3。因?yàn)锳CC,因此CA,假設(shè)C，那么m280,即2氏m2V2,假設(shè)C，那么1C或2C,解得m3.綜上所述，a2或a3；m3或2點(diǎn)m2點(diǎn)。4 .計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例4集合A,B,C是I=1,2,3,4,5,6,7,8,9,0的子集，1假設(shè)ABI,求有序集合對(duì)A,B的個(gè)數(shù)；2求I的非空真子集的個(gè)數(shù)?！窘狻?集合I可劃分為三個(gè)不相交的子集；AB,BA,AB,I中的

7、每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，因此集合對(duì)有310個(gè)。2I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有2101024個(gè)，非空真子集有1022個(gè)。5 .配對(duì)方法。例5給定集合I1,2,3,n的k個(gè)子集：Ai,A2,Ak,滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，同時(shí)再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求k的值?！窘狻繉的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得2n1對(duì)，每一對(duì)不能同在那個(gè)k子集中，因此，k2n

8、1;其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在那個(gè)k子集中顯現(xiàn)，否那么，假設(shè)有一對(duì)子集未顯現(xiàn)，設(shè)為CiA與A,并設(shè)AAi,那么AiCiA,從而能夠在k個(gè)子集中再添加CiA,與矛盾，因此k2n1。綜上，k2n1。6 .競(jìng)賽常用方法與例咨詢題。定理4容斥原理；用A表示集合A的元素個(gè)數(shù),ABC那么A BA B A B, 需要xy此結(jié)論能夠推廣到nnAi 1定義8AiAiAji 1i j集合的劃分：假設(shè)Ai1 i j k nA2AjAn且Ai1)n 1AjAi .1(1 i, j n,i j),那么這些個(gè)集合的情形，即子集的全集叫I的一個(gè)n-劃分。定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。m 1個(gè)元定理6抽屜

9、原理：將mn1個(gè)元素放入n(n1)個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有許多于素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于m個(gè)元素；將無(wú)窮多個(gè)元素放入n個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無(wú)窮多個(gè)元素例6求1,：【解】記I,o2, 3,，100中不能被2, 3, 5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。1,2,3, ,100, A100,3 x, Cx1x1 x 100，且x能被2整除(記為2 x), x 100,5x,由容斥原理，ABC100210031005 個(gè)。 例7100610010100151003074,因此不能被2,3,5整除的數(shù)有IABC26S是集合1, 2,，2004的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于 4或7,咨詢S中最多含有多少個(gè)元素？【

10、解】將任意連續(xù)的11個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S,將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，假設(shè)S含有這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)，那么必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與矛盾，因此S至多含有其中5個(gè)數(shù)。又因?yàn)?004=182X11+2,因此S一共至多含有1825+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)Srr11kt,t1,2,4,7,10,r2004,kN時(shí)，恰有S912,且S滿足題目條件，因此最少含有912個(gè)元素。例8求所有自然數(shù)n(n2),使得存在實(shí)數(shù)a1，a2,an滿足：aiaj1ijn1,2,2%【解】當(dāng)n2時(shí)，a10,a21;當(dāng)n3時(shí)，a01自3；當(dāng)n4

11、時(shí),a10,a2205冏1。下證當(dāng)n5時(shí)，不存在a1，a2,an滿足條件。令0a1a2an,那么ann(n1).2因此必存在某兩個(gè)下標(biāo)ij,使得ajajan1,因此an1an1aan1或an1ana2,即a21,因此ann(n1),an1an1或annn1),a21。22i假設(shè)ann(n_1),an1an1,考慮an2,有an2an2或an2ana?,即a22,2設(shè)an2an2,那么an1an2anan1,導(dǎo)致矛盾，故只有a22.考慮an3,有an3an2或an3ana3,即a33,設(shè)an3an2,那么an1an22a2a0,推出矛盾，設(shè)a33,那么anan11a3a2,又推出矛盾，因此an2

12、a2，n4故當(dāng)n5時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。ii假設(shè)ann(n1),a21,考慮an2,有an2an1或an2ana3,即a32,2這時(shí)a3a2a2a1，推出矛盾，故an1an2?？紤]an3,有an3an2或an3ana3,即a3=3,因止匕a3a2anan1,矛盾。因止匕an2an3,因止匕an1an21a2a1，這又矛盾，因此只有an2a2,因此n4。故當(dāng)n5時(shí)，不存在?兩足條件的實(shí)數(shù)。例9設(shè)人=1,2,3,4,5,6,B=7,8,9,n,在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合A,i1,2,20,AiAj2,1ij20.求n的最小值?！窘狻縩min16.設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有A中最多重

13、復(fù)顯現(xiàn)k次，那么必有k4。假設(shè)不然，數(shù)m顯現(xiàn)k次k4，那么3k12.在m顯現(xiàn)的所有a中，至少有一個(gè)A中的數(shù)顯現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1,就有集合1,a1，a2,m,b11,a3,a4,m,b2,1,a5,a6,m,b3,其中aiA,1i6,為滿足題意的集合。ai必各不相同，但只能是2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)，這不可能，因此k4.20個(gè)Ai中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，因此n 16。當(dāng)n 16時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求：1， 2, 3, 7, 8,1， 3, 4, 10, 11,1， 4, 6, 13, 16, 2, 3, 6, 14, 16, 3, 4, 5, 12, 16,1, 2

14、, 4, 12, 14, 1, 3, 5, 13, 14, 1, 5, 6, 8, 11, 2, 4, 5, 8, 10, 3, 4, 6, 8, 9,1 ， 2, 5, 15, 16, 1 ， 3, 6, 12, 15, 2, 3, 4, 13, 15, 2, 4, 6, 7, 11, 3, 5, 6, 7, 10,1， 2, 6, 9, 10, 1 ， 4, 5, 7, 9, 2, 3, 5, 9, 11, 2, 5, 6, 12, 13, 4, 5, 6, 14, 15 o例10集合1,2,，3n能夠劃分成n個(gè)互不相交的三元集合x,y,z,其中xy3z,求滿足條件的最小正整數(shù)n.n【解】

15、設(shè)其中第i個(gè)三元集為為，y,Zi,i1,2,n,那么1+2+T3n4zi,i1因此3n(3n1)4nZi。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有83n,因此n8,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有83n1,因2i1此n5,當(dāng)n5時(shí)，集合1,11,4,2,13,5,3,15,6,9,12,7,10,14,8滿足條件，因此n的最小值為5。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 .給定三元集合(1,x,x2x,那么實(shí)數(shù)x的取值范疇是o2 .假設(shè)集合Axax22x10,aR,xR中只有一個(gè)元素，那么a=3 .集合B1,2,3的非空真子集有個(gè)。4 .集合Mxx23x20,Nxax10,假設(shè)NM,那么由滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合P=C5 .Axx2,Bxxa,且AB

16、,那么常數(shù)a的取值范疇是6 .假設(shè)非空集合S滿足S1,2,3,4,5,且假設(shè)aS,那么6aS,那么符合要求的集合S有個(gè)。7 .集合X2n1nZ與Y4k1kZ之間的關(guān)系是8 .假設(shè)集合Ax,xy,xy1,其中xZ,yZ且y0,假設(shè)0A,那么A中元素之和是O9 .集合Pxx 一1一4.假設(shè)頭數(shù)a為常數(shù)，且a A x 1，則a。Jax2 x 1225.集合 M m ,m 1, 3, N m 3,2m 1,m1,假設(shè) M N 3,那么m o6.集合A aa 5x 3, x N , B bb 7y 2, y N ,那么A B中的最小元素是 o7.集合 A x y,x y,xy, B x2 y2, x2

17、y2,0,且 A=B,那么 x y ?，、一x 1一一一 ，- 一 一8.集合A x 0, B xpx 4 0,且B A,那么p的取值范疇是 x9.設(shè)集合 A (x,y) y2 x 1 0, B (x, y)4x2 2x 2y 5 0, C (x, y) y kx b,咨詢：是否存在k,b N ,使得(A B) C ,并證明你的結(jié)論。10.集合A和B各含有12個(gè)元素，A B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足以下條件的集合 C的個(gè)數(shù)：1C A B且C中含有3個(gè)元素；2C A 011.判定以下命題是否正確：設(shè) A, B是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，Cr (x,y)x2 y2 r2,假設(shè)對(duì)任彳r 0 ,都有Cr A C

18、r B ,那么必有A B ,證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題x60,Mxmx10,且MP,那么滿足條件的m值構(gòu)成的集合為o10 .集合Axy2x1,xR,Byyx29,xR,那么ABo111 .S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足11S;2假設(shè)aS,那么So假如S,S1a中至少含有多少個(gè)元素？講明理由。12 .A(x,y)yax,B(x,y)yxa,CAB,又C為單元素集合，求實(shí)數(shù)a的取值范疇。四、高考水平訓(xùn)練題1 .集合Ax,xy,xy,B0,x,y,且A=B,那么x?y?2 .I1,2,3,4,5,6,7,8,9,AI,BI,AB2,(CiA)(CiB)1,9,(C1A)B4,6,8,那么A(

19、C1B)。3 .集合Ax103xx20,Bxm1x2m1,當(dāng)AB時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范疇mx1一一一、.一.,一1 .集合Axx0,Bzz,x2,B，且BA,那么實(shí)數(shù)m的取值范疇是mx12 .集合A1,2,3,2n,2n1的子集B滿足：對(duì)任意的x,yB,xyB,那么集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是。3 .集合Pa,aq,aq2,Qa,ad,a2d,其中a0,且aR,假設(shè)P=Q，那么實(shí)數(shù)qo4 .集合A(x,y)|xya,a0,B(x,y)|xy1xy,假設(shè)AB是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，那么a5 .集合Muu12m8n4l,m,l,nZ,集合Nuu20p16q12r,p,q,rZ,那么集合M與N

20、的關(guān)系是6 .設(shè)集合M1,2,3,1995,集合A滿足：AM,且當(dāng)xA時(shí)，15xA,那么A中元素最多有個(gè)。7 .非空集合Ax2a1x3a5,Bx3x22,嘲B么使AAB成立的所有a的集合是8 .集合A,B,aC不必相異的并集ABC1,2,n,那么滿足條件的有序三元組A,B,C個(gè)數(shù)是9 .集合A(x,y)axy1,B(x,y)xay1,C(x,y)x2y21,咨詢：當(dāng)a取何值時(shí)，(AB)C為恰有2個(gè)元素的集合？講明理由，假設(shè)改為3個(gè)元素集合，結(jié)論如何？10 .求集合B和C,使得BC1,2,10,同時(shí)C的元素乘積等于B的元素和。11 .S是Q的子集且滿足：假設(shè)rQ,那么rS,rS,r0恰有一個(gè)成立，同時(shí)假設(shè)aS,bS,那么abS,abS,試確定集合S。12 .集合S=1,2,3,