【高等數學】1.1.1《變化率問題》（人教A版選修2-2）

1、1.1.1 1.1.1 變化率問題變化率問題問題問題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 在吹氣球的過程中在吹氣球的過程中, 可發(fā)現可發(fā)現,隨著氣球內空氣容量的隨著氣球內空氣容量的增加增加, 氣球的半徑增加得越來越慢氣球的半徑增加得越來越慢. 從數學的角度從數學的角度, 如何如何描述這種現象呢描述這種現象呢? 氣球的體積氣球的體積V(單位單位:L)與半徑與半徑r (單位單位:dm)之間的函數關系是之間的函數關系是. 34)(V3rr若將半徑若將半徑 r 表示為體積表示為體積V的函數的函數, 那么那么.4V3 )V( 3r當空氣容量當空氣容量V從從0L增加到增加到1L , 氣球半徑增加了氣球半徑增加了),d

2、m(62. 0)0( ) 1 ( rr氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為),dm/L(62. 001)0( ) 1 ( rr當空氣容量當空氣容量V從從1L增加到增加到2 L , 氣球半徑增加了氣球半徑增加了),dm(16. 0) 1 ( )2( rr氣球的平均膨脹率為氣球的平均膨脹率為),dm/L(16. 012) 1 ( )2( rr 隨著隨著氣球體積氣球體積逐漸變大逐漸變大,它的平均它的平均膨脹率逐膨脹率逐漸變小漸變小思考思考?當空氣容量從當空氣容量從V1增加到增加到V2時時,氣球的平均膨脹率是多少氣球的平均膨脹率是多少?2121()()r Vr VVV問題問題2 高臺跳水高臺跳水 在高

3、臺跳水運動中在高臺跳水運動中, 運動員相對于水面的高度運動員相對于水面的高度 h (單單位位:m)與起跳后的時間與起跳后的時間 t (單位單位:s) 存在函數關系存在函數關系105 . 69 . 4)(2ttth 如果用運動員在某段時間內的平均速度如果用運動員在某段時間內的平均速度 描述其運描述其運動狀態(tài)動狀態(tài), 那么那么:v在在0 t 0.5這段時間里這段時間里,在在1 t 2這段時間里這段時間里,);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv);m/s(2 . 812) 1 ()2(hhv平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬

4、時速度描述運動狀態(tài)。需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。 計算運動員在計算運動員在 這段時間里的平均速度這段時間里的平均速度,并并思考下面的問題思考下面的問題:49650t(1) 運動員在這段時間里是靜止的嗎運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2) 你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎問題嗎?探探 究究:現有南京市某年現有南京市某年3月和月和4月某天日最高氣溫記載月某天日最高氣溫記載.觀察：觀察：3月月18日到日到4月月18日與日與4月月18日到日到4月月20日的溫度日的溫度變化，用曲線圖表示為：變化，用曲線圖表示為： t(d)203034210203

5、0A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注：（注： 3 3月月1818日日為第一天）為第一天）問題問題3： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)C (34, 33.4)T ()210問題問題1 1：“氣溫陡增氣溫陡增”是一句生活用語，它的數學意義是一句生活用語，它的數學意義是什么？（形與數兩方面）是什么？（形與數兩方面）問題問題2 2：如何量化（數學化）曲線上升的陡峭程度？：如何量化（數學化）曲線上升的陡峭程度？0（1 ）曲線上）曲線上BC之間一段幾乎成了之間一段幾乎成了“直線直線”，由此聯想，由此聯想如

6、何量化直線的傾斜程度。如何量化直線的傾斜程度。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（2）由點）由點B上升到上升到C點，必須考察點，必須考察yCyB的大小，但僅僅注意的大小，但僅僅注意yCyB的大小能否精確量化的大小能否精確量化BC段陡峭程度，為什么？段陡峭程度，為什么？在考察在考察yCyB的同時必須考察的同時必須考察xCxB，函數的本質在于一個，函數的本質在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變。量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變。 t(d)2030342102030A (

7、1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210(3)我們用比值我們用比值 近似地量化近似地量化B、C這一段曲這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值為【線的陡峭程度，并稱該比值為【32，34】上的平】上的平均變化率均變化率CBCByyxx(4)分別計算氣溫在區(qū)間【分別計算氣溫在區(qū)間【1，32】 【32，34】的平均】的平均變化率變化率?，F在回答問題現在回答問題1 1：“氣溫陡增氣溫陡增”是一句生活用語，它的是一句生活用語，它的數學意義是什么？（形與數兩方面）數學意義是什么？（形與數兩方面）平均變化率的平均變化率的定義定義:平均變化率平均變化率: 式子式子 稱為函數稱為函

8、數 f (x)從x1到到 x2的平均變化率的平均變化率.1212)()(xxxfxf令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,則則xxxxfxf y )()(1212理解：理解：1、式子中式子中x 、 y 的值可正、可負，但的值可正、可負，但 的的x值不能為值不能為0， y 的值可以為的值可以為02、若函數若函數f (x)為常函數時，為常函數時， y =0 3、變式變式x y xxfxxfxxxfxf )() ()()(111212 y x1x思考思考: 觀察函數觀察函數f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率表示什么表示什么?121)()f xxx2f(xOABxyY

9、=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直線直線AB的的斜率斜率練習練習: 1.甲用甲用5年時間掙到年時間掙到10萬元萬元, 乙用乙用5個月時間掙到個月時間掙到2萬元萬元, 如何比較和評價甲、乙兩人的經營成果如何比較和評價甲、乙兩人的經營成果? 2.已知函數已知函數 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分別計算在分別計算在下列區(qū)間上下列區(qū)間上 f (x) 及及 g (x) 的平均變化率的平均變化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 . f g(1)22 xx f g(2)22 xx 做兩個題吧做兩個題吧! 1 、已知函數、已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點及臨近一點B(-1+x,-2+y),則則y/x=( ) A 、 3 B、 3x-(x)2 C 、 3-(x)2 D 、3-x D 2、求、求y=x2在