湖南工業(yè)大學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案書內(nèi)部資料

1、填空題1. 用最速下降法求f (x )=100(X2xj+(1為)2最優(yōu)解時(shí)，設(shè)x(°)=0.5,0.5，第一步迭代的搜索方向?yàn)椤?. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長，二是搜索方向。3. 當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4. 應(yīng)用外推法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)，中間點(diǎn) 和終點(diǎn)，他們的函數(shù)值形成趨勢高低高。5. 包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為n維優(yōu)化問題。16. 函數(shù)一xtHx+Btx+c的梯度為。27. 與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的不變方向。8. 設(shè)G為n n對稱正定矩陣

2、，若n維空間中有兩個(gè)非零向量 d°,d1,滿足d0 Gd1 =0，貝d0，d1之間存在共軛關(guān)系。9. 設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。10. 對于無約束二元函數(shù)f X1,X2，若在x0 hX12,X34點(diǎn)處取得極小值，其必要條件 是在X0點(diǎn)的梯度為0,充分條件是在X0點(diǎn)的海賽矩陣正定。11. K-T條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非 負(fù)線性組合。12. 用黃金分割法求一元函數(shù)f x =x2 -10x 36的極值點(diǎn)，初始搜索區(qū)間la,b】=【-10,10】，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到新區(qū)間 。13. 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的

3、基本要素有設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。14. 牛頓法搜索方向dk= -C 2f xk )S、f xk，其計(jì)算是大，且要求初始在級極小點(diǎn) 附近位置。15. 將函數(shù)f x - X x x1x2 - 10x- _ 4x2 60表示成的形式 。16. 存在矩陣H,向量d1 , d2，當(dāng)滿足(dJT Hd j = 0向量d|和向量d2是關(guān)于H共軛方向。17. 采用外點(diǎn)法求約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有特點(diǎn)。18. 采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求 最佳步長。19. 對于一維搜索，搜索區(qū)間為l.a,b 1,中間插入兩個(gè)點(diǎn)a,

4、，b,，a,：匕，計(jì)算出f a, : f b ，則縮短后的搜索區(qū)間為la,bi 1。20. 由于確定搜索方向和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題過程 中，懲罰因子具體有 趨于0變化規(guī)律。21. 尋出等式約束極值條件時(shí)，將等式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的方法有消元法和拉格朗日乘子法。22優(yōu)化問題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變小23. 優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)為 可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。24. 方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的變化率。25. 設(shè)f x為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f x在R上為凸函數(shù)充分必要條件是海賽矩陣 G x在R上處處大于026. 在n維空間中

5、互相共軛的非零向量是個(gè)數(shù)最多有n個(gè)。27. 約束優(yōu)化問題在可行域內(nèi)對設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。28. 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近邊界或等式約束曲面。二、 選擇題1. 下面 _B_ 方法需要求海賽矩陣。A.最速下降法 B.共軛梯度法C.牛頓型法D.DFP法2. 對于約束問題f x = x： x； - 4冷 42Y1 x =捲一X2 -1 乞 0Y2 x =3_為豈0丫3 X =X2 - 0根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷A內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn) D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3. 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用于求解B_優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含不等式的約束優(yōu)化

6、問題C只含等式的優(yōu)化問題D.含有不等式和等式的約束的優(yōu)化問題4. 拉格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典法，它是一種_DA降維法B.消元法 C.數(shù)學(xué)規(guī)劃法 D.升維法5. 對于一維搜索，搜索區(qū)間為La,b 1,中間插入兩個(gè)點(diǎn) 印，b，印：» 計(jì)算出f (& )< f (bi )，則縮短后的搜索區(qū)間為 D。A.臨上1 B. lbC.abj D. I.a,b1 .16. D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A.設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D.最佳步長7. 變尺度發(fā)的迭代公式為 xk 1 = xk-akH k'f xk，下列不屬于Hk必須滿足的條件是C。A.

7、H k之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海賽矩陣正定D.對稱正定8. 函數(shù)f (x )在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A 。A.最速上升方向B.上升方向C.最速下降方向D.下降方向9. 下面四種無約束優(yōu)化方法中， C在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A.梯度法B.牛頓法C.變尺度法D.共軛梯度法10. 設(shè)f x為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f x在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G x在R上處處 B。A.正定C.負(fù)定B.半正定D.半負(fù)定11. 通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B。A牛頓法B.梯度法C.共軛梯度法D.變尺度法12. 一維搜索試探方

8、法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度_D.A慢B快C. 一樣D.不確定13. 下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D_,假設(shè)要求在區(qū)間a, b 1 插入兩點(diǎn) a1 ， a2 ，a1 ： a2。A.其縮短率為0.618D.在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的外推法14. 與梯度成銳角的方法為函數(shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B_方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的 C方向A上升B下降C.不變D.為零15. 二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是AA.等值線族的一個(gè)共同中心B.梯度為0的點(diǎn)7 / 8C.全局最優(yōu)解D.海賽矩陣正定16.最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量_B

9、A相切B.正交C.成銳角D.共軛17. 下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是_A_。A需要求海賽矩陣B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度C. 共軛梯度法具有二次收斂性D. 第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度18. 下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A oA.可用來求解含不等式約束和等式約束的優(yōu)化問題B懲罰因子是不斷遞減的正值C. 初始點(diǎn)應(yīng)該選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)D. 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)19. 設(shè)f x是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f x在D上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是A :A.Hesse矩陣處處半正定B.Hesse矩陣處處正定C.Hesse矩陣處處半負(fù)定D

10、. Hesse矩陣處處負(fù)定20. 下列幾種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計(jì)算海賽矩陣A oA牛頓法B.梯度法C.共軛梯度法D.變尺度法21. 關(guān)于正交方向和共軛方向之間的關(guān)系，下列說法正確的是 D oA.共軛矩陣是正交矩陣的特殊情況B.共軛矩陣是正交矩陣的推廣C. n維空間中相互共軛的非零向量個(gè)數(shù)可以為任一數(shù)量D.22. 多元函數(shù)的海賽矩陣是其 B_A.一階C.三階23. 關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣A.Ak有簡單的迭代形式C.與海賽矩陣正交24. 關(guān)于梯度，下列說法不正確的是A.與切線方向垂直C.是函數(shù)變化率最大的方向偏導(dǎo)數(shù)所形成的對稱矩陣。B.二階D四階Ak，下列說法不正確的是CB.

11、應(yīng)滿足擬牛頓條件D.應(yīng)為對稱正定_D oB.是等值面的切線方向D.函數(shù)最速下降方向25. 與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 A 方向。A.上升B.下降C.不變D.為零判斷題1. 二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（x）2. 海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（V）3. 當(dāng)?shù)咏鼧O值點(diǎn)時(shí)，最速下降法會出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。（V）4. 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。（V）5. 梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬曹棥?. 數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計(jì)算最佳步長。（V）7. 海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式

12、都大于零。（x）8. 拉格朗日乘子法師求解無約束優(yōu)化問題的一種方法。（x）9. 凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。（V）10. 一維搜索的二次插值法用到了點(diǎn)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。（x）11. 二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（V）12. 海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。（x）13. 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問題（x）14. 變尺度法求解優(yōu)化問題時(shí)需計(jì)算海賽矩陣（x）15. 梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（V）四、 問答題1. 什么是一維搜索問題？2. 試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？3. 共軛梯度法是利用

13、梯度求共軛方向的，那共軛方向與梯度之間有什么關(guān)系？4. 懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？5. 與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點(diǎn)。6. 在變尺度法中，為使變尺度矩陣Hk與aT近似，并具有容易計(jì)算的特點(diǎn)，H k必須附加哪些條件？7. 試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。8. 寫應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量 的意義，并說明迭代公式的意義。9. 變尺度的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小 點(diǎn)處逼近什么矩陣？并寫出其初始形式。10. 在變尺度法中，變尺度矩陣 Hk為什么要求都是正定對稱的？11. 什么是共軛方向？滿足什

14、么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？12請寫出應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本步驟。13. 試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。14. 為何優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行設(shè)計(jì)域和可行設(shè)計(jì)點(diǎn)？15. 無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解的一般步驟是什么？五、 解答題1. 試用牛頓法求f (x )=(捲-2 f+(為-2x2 f的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x(°)=2,1】t2. 設(shè)有函數(shù)f X = x2 2x| - 2x1x2 - 4x-i，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。3. 試用梯度法求目標(biāo)函數(shù) f X =1.5xi2 0.5x；-XjX2-2為的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) X0 -丨-2,4，

15、迭代精度；=0.02 (迭代一步)。4. 求目標(biāo)函數(shù)f X= x-22x； ' x1x2- 4x1 6x2 10的極值和極值點(diǎn)。5. 試證明函數(shù) f X=2x 5x； ' xf' 2x3屜'2x3x1 -6x? ' 3 在點(diǎn)1,1,一2處具有極小值。6. 設(shè)非線性規(guī)劃問題” ” 2 2min f X =捲 一2 i 亠x2s.tg1 X - -x,二0g2 x = -X2 -02 2g3 x=-x1 X2 -仁0用K-T條件驗(yàn)證xC)= 1,0為其約束最優(yōu)點(diǎn)。7. 給定約束優(yōu)化問題2 2min f (X )=(% 3) +(x2 2)2 2s.tg1 X 為 x2 - 5 _ 0g2 X =x1 2x2 -4 _ 0g3 X = -為乞0g4 X = -X2 乞 0驗(yàn)證在點(diǎn)3,3 T K-T條件成立。、3 21 28. 用共軛梯度法求函數(shù)fx1,x2x；x2-x)x2-2x)的極小點(diǎn)9. 已知目標(biāo)函數(shù)為f X = X< X2，受約束于2gi X = Xi X2 乞 0g2 X X2 - 0寫出內(nèi)點(diǎn)懲