第五講 樣本及抽樣分布

1、 第五講 樣本及抽樣分布 一 基本概念總體 含義1：研究對(duì)象的全體，例如一批燈泡。 含義2：研究對(duì)象的某數(shù)量指標(biāo)（例如燈泡的壽命，隨機(jī)變量）X的取值全體，總體的分布是指隨機(jī)變量X的分布。個(gè)體 組成總體的某個(gè)基本單元，例如一個(gè)個(gè)的燈泡，也指基本單元的數(shù)量指標(biāo)。樣本 從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體，n又稱樣本容量。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 樣本中的n個(gè)個(gè)體相互獨(dú)立，且與總體同分布的樣本，簡(jiǎn)稱樣本。樣本的實(shí)驗(yàn)結(jié)果稱為樣本觀測(cè)值。樣本空間 樣本的所能可能結(jié)果。統(tǒng)計(jì)量 樣本的不含任何參數(shù)的函數(shù)。 二 重要統(tǒng)計(jì)量樣本均值 （而稱為樣本均值的觀測(cè)值）樣本方差 注： 三、抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布：大多數(shù)情況下，針對(duì)正態(tài)分布樣本而言，

2、以下不說(shuō)明均指正態(tài)分布。 1、分布： 如果r.v X的密度函數(shù)為 則稱X服從參數(shù)為n的分布，記作又稱自由度，指獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。如果，則。 定理5.1如果，則與獨(dú)立。例5.1 (993) 天平上重復(fù)稱量重量為a的物品，每次稱量結(jié)果獨(dú)立同服從正態(tài)分布N()，若以表示n次稱量的算術(shù)平均，則為使 n的最小值應(yīng)不小于自然數(shù) 16 。 解：因?yàn)椋?，。?.2 已知且 求a，b。解： 同理 例5.3 (983) 是N (0,)的樣本， 則a=，b= 時(shí)分布，自由度為2 例5.4設(shè)總體服從正態(tài)分布，從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值為，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望()。解：，故 、t分布如果與相互獨(dú)立，則稱服從自

3、由度（參數(shù)）為n的t分布，記作t (n)。定理5.如果則 證明: 由t分布的定義知例5.5 (97.4）已知?jiǎng)t統(tǒng)計(jì)量服從分布，參數(shù)為。 解：因?yàn)橛蓆分布的定義知例5.6 (944) 設(shè)，（）（）（）（）則服從t (n1)的隨機(jī)變量是（）。注：（）、（）的分布自由度為n ，題中條件自由度為n1，而（）不符合定理結(jié)論。例5.7（993）是正態(tài)總體樣本， 證明Z t (2 )證：設(shè)，則，且三者相互獨(dú)立，與獨(dú)立。練習(xí)：）設(shè)已知，則統(tǒng)計(jì)量服從 (t) 分布，參數(shù)為 n 。）設(shè)，求a = 。、分布設(shè)與相互獨(dú)立，則稱為服從第一自由度為n第二自由度為m的分布。定理5.3設(shè)與相互獨(dú)立，則例5.8 (013) 則

4、統(tǒng)計(jì)量分位數(shù)：（連續(xù)型）設(shè)有r.v ，對(duì)于滿足的稱為r.v 的上側(cè)a分位數(shù)，顯然對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)a分位數(shù)而言，。類似地可以定義的下側(cè)a分位數(shù)，即若則稱為r.v 的下側(cè)a分位數(shù)。顯然和間滿足，并且對(duì)于正態(tài)分布和t分布，由于它們是對(duì)稱的，故。因此列分位數(shù)表時(shí)，一般正態(tài)分布和t分布（用表示t分布的上側(cè)a分位數(shù)）只給出上側(cè)a分位數(shù)表；而對(duì)于F分布，由于有關(guān)系式，也只須給出上側(cè)a分位數(shù)表：但對(duì)于分布，沒有這些性質(zhì)，必須同時(shí)給出與。注：實(shí)際計(jì)算時(shí)，可令，相應(yīng)的自由度記為，這時(shí)可避免查下側(cè)分位數(shù)。可加性：二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布和分布具有可加性。 第六講參數(shù)估計(jì)一、矩估計(jì)若統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)（或g

5、( )）的估計(jì)時(shí)，就稱為（或g( )）的估計(jì)量。定義6.1矩估計(jì)量 設(shè)是總體的樣本，的分布函數(shù) 依賴于參數(shù)，假定X的r階矩為（或r階中心矩）相應(yīng)的樣本矩記為 如下的k個(gè)議程 （6.1）的解，稱為未知參數(shù)的矩估計(jì)。例6.1 (971) 設(shè)總體X的密度是未知參數(shù)，是總體的樣本，求的矩估計(jì)。解：總體只有一個(gè)未知參數(shù)，只須建立一個(gè)（一階矩）方程式 建立方程例6.2 設(shè)是總體的樣本，求a,b的矩估計(jì)。解：總體有兩個(gè)未知參數(shù)，須建立兩個(gè)方程。由于練習(xí)：設(shè)。 二、最（極）大似然估計(jì)設(shè)總體的密度函數(shù)是參數(shù)或參數(shù)向量，是該總體的樣本，對(duì)給定的一組觀測(cè)值，其聯(lián)合密度是的函數(shù)，又稱似然函數(shù)，記為：其中為參數(shù)集，若存

6、在使就稱是的最大似然估計(jì)值，而是的最大似然估計(jì)量。注：）對(duì)給定的觀測(cè)值，是的函數(shù)，最大似然估計(jì)的原理是選擇使觀測(cè)值出現(xiàn)的“概率”達(dá)到最大的作為的估計(jì)。）最大似然估計(jì)具有不變性，即若是的最大似然估計(jì)，則的最大似然估計(jì)為。但是，矩估計(jì)不具有不變性，例如假定的矩估計(jì)，一般情形下，的矩估計(jì)不是。例6.3 設(shè)總體具有有是已知的正整數(shù)，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)。解：對(duì)給定的觀測(cè)值，其似然函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)似函數(shù)為：（6.3）令的最大似然估計(jì)量為。注：在（6.3）式中，對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)與無(wú)關(guān)的量均歸為常數(shù)。例6.4 的最大似然估計(jì)量。解： 又因?yàn)榈淖畲笏迫还烙?jì)量分別為根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性，可知p的極大似然估計(jì)

7、量為。例6.5設(shè)的極大似然估計(jì)。解：總體密度為時(shí)。故對(duì)于樣本觀測(cè)值，似然函數(shù)為如果的估計(jì)取得過(guò)大，將變?。ㄒ?yàn)榉帜缸兇螅绻〉锰?，某，這時(shí)故的極大似然估計(jì)值為極大似然估計(jì)量為 例6.6 某單位有M輛自行車，編號(hào)為，假定職工存取自行車是隨機(jī)的，有人連續(xù)觀測(cè)了幾天，將其第i天看到的第一輛車的牌號(hào)記為,求M的極大似然估計(jì)量。 解：設(shè)總體X表示每天存取的牌號(hào)，X取值，由于存取車是隨機(jī)的，故其分布列為。這可以視為離散型均勻分布，同上題分析知M的極大似然估計(jì)量為 例6.7 設(shè)某種元件的壽命,其中是未知參數(shù),又設(shè)是X的一組觀測(cè)值，求的最大似然估計(jì)值解：似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)，是的單調(diào)增加函數(shù)，越大越大，

8、但如果大于某，則其值，故時(shí)達(dá)到最大 三、估計(jì)量的優(yōu)良性質(zhì)：以下假定的估計(jì)量（對(duì)的估計(jì)量也成立） 無(wú)偏性： 一致性：。注：一致估計(jì)具有不變性，即若的一致估計(jì)量，的函數(shù)，則的一致估計(jì)量。例6.8 設(shè)是總體X的樣本， 則 （C）（A）S是的無(wú)偏估計(jì)量. （B）S是的最大似然估計(jì)量.（C）S是的一致估計(jì)量. (D) S與相互獨(dú)立的.解：的無(wú)偏估計(jì)量，無(wú)偏估計(jì)不具有不變性，因此一般情況下S不是的無(wú)偏估計(jì)量；盡管最大似然估計(jì)具有不變性，但一般情況下的最大似然估計(jì)量是一致估計(jì)具有不變性，故（C）成立；在正態(tài)分布情況下相互獨(dú)立。 例6.5續(xù)： 是否為的無(wú)偏估計(jì)（或是否具有無(wú)偏性），是否為的一致估計(jì)。解：當(dāng)時(shí)當(dāng)

9、時(shí)而的無(wú)偏估計(jì)。對(duì)給定的 故的一致估計(jì)。有效性：的無(wú)偏估計(jì)，若，稱較有效。例6.9設(shè)從均值為，方差為的總體中分別抽取容量為的兩個(gè)獨(dú)立樣本，樣本均值分別記為，試證對(duì)于任意滿足的常數(shù)。的無(wú)偏估計(jì)，并確定常數(shù)，使的方差達(dá)到最小。解：即的無(wú)偏估計(jì)量，又而令故處達(dá)到最小值，即使的方差達(dá)到最小。二、區(qū)間估計(jì)設(shè)是總體X的樣本，總體參數(shù)為對(duì)給定的，若統(tǒng)計(jì)量，滿足，就稱隨機(jī)區(qū)間的置信度為的置信區(qū)間（區(qū)間估計(jì)）。具體做法：構(gòu)造樣本的函數(shù)，其中的分布與無(wú)關(guān)，選擇使再將上式轉(zhuǎn)換成即可。例6.10 求的置信度為的置信區(qū)間，如果取得如下觀測(cè)值：1.8，2.1，2.0，2.2，1.9，2.2，1.8，求的區(qū)間估計(jì)值。解：先

10、考慮的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量且，且其分布易求。， 但上式還含有其他參數(shù)(稱為討厭參數(shù))，當(dāng)已知為，的的置信區(qū)間為，在（934略）中，得到的的區(qū)間估計(jì)值為 4.804,5.196。當(dāng)未知時(shí)，用s代替，就有,r.v 其中，于是由t分布的對(duì)稱性。對(duì)于，由于故由分布的非對(duì)稱性對(duì)于本例，給定的樣本觀測(cè)值算得 ，故的區(qū)間估計(jì)值為： 的區(qū)間估計(jì)值為：例6.11 (003) 假定0.5, 1.25, 0.8, 2.0是總體X的樣本值，已知，（1）求；（2）求的0.95置信區(qū)間；（3）b的0.95置信區(qū)間。 解：（1）， （2），故，于是 ， （1）的95%置信區(qū)間為，由觀測(cè)值算的，故的95%置信區(qū)間為。

11、（3）由的嚴(yán)格遞增值，及（1）知 故由的95%置信區(qū)間為。 第七講 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)假設(shè)：對(duì)總體的分布形式或分布中的某些參數(shù)所作的某種假設(shè)。 檢驗(yàn)：由樣本構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量，對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)正確與否所作的判斷。一、基本概念：1、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：1）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。提出原假設(shè) 與備選假設(shè)注：如果，那么意味，意味且2） 構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量3） 導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的分布，對(duì)給定的顯著水平，確定拒絕域4） 根據(jù)樣本觀測(cè)值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，判斷是否落在拒絕域內(nèi)，并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出問(wèn)答。2、 檢驗(yàn)類型：?jiǎn)芜厵z驗(yàn)與雙邊檢驗(yàn)；一個(gè)總體與兩總體檢驗(yàn)；均值與方差檢驗(yàn)。3、 兩類錯(cuò)誤。二、應(yīng)用舉例例7.1 某

12、味精廠生產(chǎn)的味精每袋重X（克）服從，根據(jù)要求每袋重100克，由以往生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)知X的均方差為基本穩(wěn)定，現(xiàn)從某天包裝的味精中隨機(jī)抽取9袋，測(cè)得它們的重為99.3，98.7，100.5，101.2，99.3，99.7，99.5，102.1，100.5，試問(wèn)這天包裝的味精是否合格？解：是正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，方差已知，參數(shù)將分成兩部對(duì)應(yīng)了實(shí)際問(wèn)題中的包裝合格與不合格（雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題），即 （包括）含等號(hào)的為原假設(shè)，于是 由于方差已知，用統(tǒng)計(jì)量，即取=0.05拒絕域，經(jīng)計(jì)算， 接受原假設(shè)，認(rèn)為包裝機(jī)正常，包裝合格。例7.2 燈泡的使用壽命服從分布，假定燈泡的額定壽命是960小時(shí)，從某批生產(chǎn)者的燈泡中隨機(jī)抽驗(yàn)了10只，測(cè)得壽命為：950，960，960，950，950，960，940，970，950，960試問(wèn)這批燈泡是否合格（）？解：這是一個(gè)正態(tài)總體，方差未知，均值的單邊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，燈泡合格對(duì)應(yīng)了，燈泡不合格對(duì)應(yīng)了，于是 其中 拒絕域，臨界值由觀測(cè)值算得 原假設(shè)成立，這批燈泡合格。例7.3 某化工廠為了提高某種化學(xué)藥品的得率，提出了兩種工藝方案，為了研究哪一種方案好，分別用兩種工藝各進(jìn)行了10次試驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：假設(shè)得率分別服從，問(wèn)方案乙是否比方案甲顯著提高得率？（取=0.01）解：這是兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題。有顯著提高：，無(wú)顯著提