制作管道的數(shù)學建模

1、制作管道的數(shù)學建模、教學目標:1. 通過學習探究與實踐的課題四制作管道為載體讓學生體驗運用數(shù)學知識建模解決 問題的過程。2活用三角知識解決實際問題。3增強學生實踐動手能力通過參與問題解決的活動，逐步增強合作意識，形成數(shù)學知 識的應用意識和綜合意識。二、教學重點、難點：重點：構建數(shù)學模型、運用三角知識解決實際問題。 難點：數(shù)學模型的建立。三、教學過程：展示圖片，解釋課題四在實際生活中產(chǎn)生的背景，引出問題“大口徑的管道用鋼板卷曲焊接而 成，請設計鋼板切割方案，標出焊縫位置?！睂W生實驗操作：提供給學生圓柱形物體、可裁成任意寬度紙帶的紙張、剪刀、膠帶。請同學動手實驗探究。 生1:用紙帶纏繞圓柱形物體，

2、用鉛筆在紙帶上做好剪裁記號，攤開紙帶裁去多余部分。生2:用膠帶包裹好圓柱體模型（無蓋），將圓柱側(cè)面沿膠帶接縫螺旋線剪開。學生操作后還可以將圓柱一邊在黑板上滾動，一邊將其剪開的側(cè)面展開并粘于黑板上，讓大家體會 剛才的操作過程。生3:纏繞一個長為圓柱高，寬為圓柱底面半周長的矩形。啟發(fā)：空調(diào)是把送風管、排冷凝水管、電線包裹纏繞在一起，形狀不一定是圓柱，那會有什么不同 呢？比如纏繞包裹的對象不是圓柱，而是一個正三棱柱、正四棱柱、任意直棱柱或者一把直尺呢？ 紙制的側(cè)面即可以是一個圓柱的側(cè)面，也可以折成任意等高，等底面周長的任意直棱柱側(cè)面。這樣運用拓撲思想把立幾問題平幾化，思考起來更為簡單。O學生發(fā)現(xiàn)問題

3、：切割方案主要由一個角度決定，（裁去直角三角形的一個銳角或者剪裁為平行四邊形 紙帶的一個內(nèi)角）。紙帶不同或圓柱不同得到的角度也不同。學生提出問題：進一步關注這個角度與哪些變量有關。學生解決問題：1、引導學生建模解決問題：角度的大小與紙帶的寬度、圓柱底面周長有關。故設紙帶寬為d，圓柱底面半徑為r，高為h。設紙帶被裁為平行四邊形后一個銳內(nèi)角 BAC - v。已知：紙帶寬為d，圓柱底面半徑為r，高為h。 d : 2二r求：紙帶被裁為平行四邊形后一個銳內(nèi)角二；所需紙帶的長度。解：如圖所示：2#AO =d， AB =2 兀r，BC 二 AB tan J - 2 二 r tan v，而 OA =sin）A

4、B 2兀 r紙帶被裁為平行四邊形后一個銳內(nèi)角二二arcsin 。2兀r圖中AB為圓柱底面周長，AC為圓柱螺旋線一個周期，BC為包裹一周后被包圓柱的高度。BC =2二r d如2r2 _d2ABcos-2 24 rOB W 2r2-d2#（詢問學生如果纏繞完畢非整數(shù)周，該如何所需計算紙帶長度。#實際使用紙帶的長度為:2、引發(fā)學生討論OBBCAC啟發(fā)方式1：老師取出與之前相同的模型沿圓柱母線剪開,提問與剛才的剪開方式對比能說明什么?啟發(fā)方式2:演示紙帶寬度發(fā)生變化時，所需紙帶長度的變化情況。學生想到嘗試另一種計算紙帶長度方式：從面積出發(fā)。s膠帶面積=2圓柱側(cè)面積 s、aob實際使用膠帶的長度為:2圓

5、柱側(cè)面積SAOBd3#3、拓展思考一這樣的問題在實際生活中很常見，比如用手膠包裹羽毛球拍的握把，安裝空調(diào)時包裹連接室外掛機 的管道，包在自行車龍頭握把上的防滑膠帶等。 有時僅僅起裝飾作用，要求包裹時在膠帶間留出等寬的空白條（比如美發(fā)店的旋轉(zhuǎn)燈箱） 有時為了達到更好的保護效果，要求圓柱表面均被兩層膠帶包裹覆蓋（比如包裹連接空調(diào)室外掛機的管道）。請同學們按要求設計剪裁膠帶的方案，求出所需膠帶的長度。4、拓展思考二我們平時吃的可愛多冰淇凌它的外包裝是圓錐形的?？梢杂眉垘Юp繞制成嗎? 生：不行。將事先制作好的圓錐剪開。那如果允許重疊呢？包裹圓錐的一段比如一個圓臺都不可以嗎?那粉筆是接近圓柱的一個圓臺可

6、以用紙帶纏繞包裹嗎？生：可以?；仡櫺〗Y(jié)這堂課我們通過仔細觀察、動手實踐操作，發(fā)現(xiàn)抽象出跟問題相關的核心變量，并且進一步研究他們之間的具體數(shù)量關系，解決實際問題。體驗了建立數(shù)學模型解決實際問題這一過程。課后作業(yè)與思考：1、在物理實驗中，用一根長為 9厘米、直徑為1厘米的圓柱形磁棒，在它的外面用一段漆包線纏繞10圈，并使漆包線的兩個端點落在磁棒的同一母線的兩端。問需要用多長的漆包線纏繞，才能使得 漆包線既不會打結(jié)也不會松弛？2、某個山區(qū)為了經(jīng)濟開發(fā)，要在一座山上修建一條盤山公路，其入口處在山腳下的公路邊，終點是從山頂?shù)缴侥_的連線上的半山腰處，該山的形狀近似一個圓錐，山坡的長度為丨千米，沿山腳一圈的

7、長度為2二r千米I2r，問該條道路至少長多少千米？教學過程詳案：請學生觀察自來水管、薯片包裝盒的照片。師：圖中的自來水管、薯片盒子是如何制作的。生：用矩形長條的鋼板、硬紙板卷曲纏繞焊接、粘合而成。（學生如果回答用矩形鋼板直接卷成圓柱側(cè)面。指出實際制作過程中影響制作工藝的一些原因：厚鋼板越窄越容易卷曲；便于生產(chǎn)線連續(xù)制作; 一些物理因素。）把課本上制作大口徑管道的示意圖展示給學生看。師：如果依此方法制作一根大口徑的自來水管道，我們有什么問題有待解決的？生：如何剪裁切割鋼板？生：需要多長的鋼板？師：卷曲鋼板時有什么工藝要求嗎？生：鋼板不重疊，緊密連接無間隔縫隙。（把學生提出的問題歸納后書寫于黑板上

8、，制作工藝要求也寫在黑板上。）（如果學生提到：水管口徑、鋼板寬度等。指出制作材料、產(chǎn)品都有統(tǒng)一規(guī)格，都已經(jīng)確定的了，否則規(guī)格不一樣安裝水管時就接不上了。）就像做一件衣服先確定如何剪裁，得出買多少布，然后制作就是了。請學生2人一組按照工藝要求（不重疊無間隔）動手操作探索剪裁方案。請同學上來示范，或者把學生剪裁成功的紙帶粘于黑板上。師：要確定剪裁方案，也就是要確定這一刀如何剪，實際就是要決定這個角:o師：角鳥的大小由哪些因素決定呢？請兩組學生（每組 2人）上來操作。第一組：用不等寬的兩條紙帶纏繞膠水瓶子。第二組：用等寬的紙帶纏繞膠水瓶以及與膠水瓶等高的薯片罐子。把4條紙帶分組粘于黑板上請學生觀察角:與紙帶寬，角:-與口徑的關系。繼而發(fā)現(xiàn)：紙帶寬也就是鄰邊，底面周長也就是斜邊。請同學用剛才的實驗結(jié)果解釋三張照片上焊縫角度的