有理數(shù)知識點總結(jié)

1、有理數(shù)基礎(chǔ)知識正數(shù)和負(fù)數(shù)1正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0小的數(shù) 正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù)；當(dāng)a表 示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說法是錯誤的， 例如+a,-a就不能做出簡單判斷）2正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。2.具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上8C表示為：+8C；零下8 C表示為：-8 C3.0表示的意義0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是

2、說教室里沒有人；0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：有理數(shù)1.有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。n是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇數(shù)。2.有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類按正、負(fù)來分（0不能忽視）負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)I負(fù)分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫

3、自然數(shù)）廠正有理數(shù)彳正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)I負(fù)整數(shù)2負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)3正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)4負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸1數(shù)軸的概念規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不 可；同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負(fù)有理數(shù)可用原點左邊的點表示，0用原點表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是 對應(yīng)關(guān)系。

4、（如，數(shù)軸上的點n不是有理數(shù)）3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)比較，距離原點遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4.數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù)；最大的負(fù)整數(shù)是-1，無最小的負(fù)整數(shù)5. a可以表示什么數(shù)a0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a0；a0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，貝U a0時，-a0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng)a0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng)a=0時，-a=0， （0的相反數(shù)是0）6.多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律：“+”號的個數(shù)不影響化簡的結(jié)果，

5、可以直接省略；“-”號的個數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結(jié)果為負(fù)，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結(jié)果為正。絕對值1.絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.可用字母表示為：1如果a0,那么|a|=a； 如果a0, |a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）2aw 0, |a|=-a（非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3.絕對值的性質(zhì)任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對值具有非負(fù)性。所以，a取任

6、何有理數(shù)，都有|a|0。即0的絕對值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0 |a|=0；一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|0；任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|a；絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a0）,則x=a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b|；絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；若幾個數(shù)的絕對值的和等于0,則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個非負(fù)數(shù)同時為0）4.有理數(shù)大

7、小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。划愄杻蓴?shù)比較大小，正數(shù) 大于負(fù)數(shù)。5.絕對值的化簡當(dāng)a0時，|a|=a;6.已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離， 一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩 個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)是0，沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一

8、個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。2.有理數(shù)加法的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據(jù)需要靈活運用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)律:1互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加一一“相反數(shù)結(jié)合法”；2符號相同的兩個數(shù)先相加一一“同號結(jié)合法”；3分母相同的數(shù)先相加一一“同分母結(jié)合法”；4幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法”；5整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結(jié)合法”。3.加法性質(zhì)一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小；加當(dāng)b0時，a+ba當(dāng)b0時，a+ba4.有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)5.

9、有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計算。當(dāng)a w 0時，|a|=-a0后的和等于原數(shù)。即：當(dāng)b=0時，a+b=a在和式里， 通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫， 寫成省略加號的和的形式。 如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”按運算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”66.有理數(shù)加減混合運算中運用結(jié)合律時的一些技巧:川.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）313217- - +-+ 5 24 52 8321137

10、原式=(-)+(-+)+(+-)5522481=-1+0-8=-11IV .既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運算要統(tǒng)一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合）(+0.125)-(-33)+(-31)-(-102)-(+1.25)1312 1原式=什)+(+3 )+(-3-)+(+10 )+(-1 )848341 31 21= -3 +10 -1 84834I .把符號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)=-33+18-15-1+23=(-33-15-1)+(18+23)=-49+41=-8n .把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合

11、(湊整法)什6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8=4-10+3.8（將減法轉(zhuǎn)換成加法）（省略加號和括號）（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合）（運用加法法則一進(jìn)行運算）（運用加法法則二進(jìn)行運算）（將減法轉(zhuǎn)換成加法）（省略加號和括號）（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）（運用加法法則進(jìn)行運算）（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運算）6=(31 2 3-11 1丄)+1024488312=2-3+10 -231=-3+13 -61=

12、10 V .把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合)1617-3+10-12+4 51122151761原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)5 151122d411=-1+ + -15 22815=-1+ + -30 30730W .分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0W .先拆項后結(jié)合(1+3+5+7-+99)-(2+4+6+8+100)有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；(“同號得正，異號得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過

13、兩個，就必須運用法則三)法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；法則三：幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù)；法則四：幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)1乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a=1(0),就是a111說a和一互為倒數(shù)，即a是一的倒數(shù)，一是a的倒數(shù)。aaa注意：0沒有倒數(shù)；2求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；3正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個數(shù)的倒數(shù)，不改變這個數(shù)的性質(zhì))；4倒數(shù)等于它本

14、身的數(shù)是1或-1,不包括0。3.有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4有理數(shù)的除法法則（1）除以一個不等0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（2） 兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得05有理數(shù)的乘除混合運算（1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。（2）有

15、理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照先乘除，后加減的順序進(jìn) 行。有理數(shù)的乘方1乘方的概念求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。2乘方的性質(zhì)（1）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕的正數(shù)。2）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都是0。有理數(shù)的混合運算做有理數(shù)的混合運算時，應(yīng)注意以下運算順序：1先乘方，再乘除，最后加減；2同級運算，從左到右進(jìn)行；3如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行?？茖W(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成a 10n的形式（其中1 a : 10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法。僅供

16、個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fuden pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO員BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHMucno員B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe員EX._以下無正文_僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlich