Cordic算法在頻偏估計(jì)及校正中的應(yīng)用

1、CORDIC 算法在頻偏估計(jì)及校正中的應(yīng)用CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computing又稱(chēng)為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算方法,是用于計(jì)算廣義矢量旋轉(zhuǎn)的一種迭代方法。由J.V older 于1959年首先提出,主要應(yīng)用于解決導(dǎo)航系統(tǒng)中三角/反三角函數(shù)和開(kāi)方等運(yùn)算的實(shí)時(shí)計(jì)算問(wèn)題。1971年, J.Walther 提出了統(tǒng)一的CORDIC 算法,引入了參數(shù)m 將CORDIC 實(shí)現(xiàn)的三種迭代模式:三角運(yùn)算、雙曲運(yùn)算和線性運(yùn)算統(tǒng)一于一個(gè)表達(dá)式下,形成目前我們所用到的CORDIC 算法最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。該算法的基本思想是通過(guò)一系列固定的、與運(yùn)算基數(shù)相關(guān)的角度不斷偏擺以逼近所

2、需的旋轉(zhuǎn)角度。CORDIC 算法在硬件電路的實(shí)現(xiàn)上只用到了加法和移位操作,這樣就大大節(jié)約了FPGA 的資源,從而可以滿足設(shè)計(jì)者的要求。1.CORDIC 算法簡(jiǎn)介 ijy +xO圖1 向量旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)圖結(jié)合圖1,簡(jiǎn)要地介紹一下CORDIC 算法基本數(shù)學(xué)思想。向量OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度角至向量OB,這個(gè)關(guān)系式可以用矩陣表示如下:c o s s i n 1t a n c o s s i n c o s t a n1j i i j i i x x x y y y -=(1 若角可有N 個(gè)n 角度疊加而得到,那么根據(jù)式(1可得出每一步的疊加操作如下:111tan cos tan 1n n n n n n n x

3、x y y +-= (2 利用式(2經(jīng)過(guò)N 步疊加可以表示由向量OA 旋轉(zhuǎn)到向量OB,如下表示:0010110101tan 1tan cos cos .cos .tan tan 11N N N N N x x y y -= (3 由于計(jì)算機(jī)計(jì)算采用二進(jìn)制形式,所以選取arctan(2n n -=,這樣選取n 方便了tan n 的計(jì)算,即tan 2n n n -=(1,1n =-,其中0,1,.,1n N =-式(3前面的cos n 可以取累乘的極限: 01cos cosarctan(0.6072532i n n n K = 如果在設(shè)計(jì)的系統(tǒng)中提前計(jì)算K ,那么當(dāng)拋開(kāi)K 不算時(shí),式(2就可以變?yōu)?/p>

4、:111221n n n n nn n n x x y y -+-+-= (4 1(1,1N n n nn -=-(5計(jì)算的精度由N 的大小決定,式(5中的n 由每一步的具體情況而定。2.求復(fù)數(shù)的相位 1i+ijy +O圖2 CORDIC 原理圖設(shè)旋轉(zhuǎn)前向量為i i x jy +,對(duì)應(yīng)的相位角為i z ,旋轉(zhuǎn)角度i 后變?yōu)?1i i x jy +,對(duì)應(yīng)的相角為1i z +,如圖2所示。則有:111cos sin (tan cos cos sin (tan cos i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i x x y x y y y x

5、 y x z z +=-=-=+=+=+ (6其中,1i =+ 當(dāng)0i x 且00y 或者0i x <且00y <時(shí)1i =- 當(dāng)0i x <且00y 或者0i x 且00y <時(shí)在式(6中,由于cos i 只是模校正因子,因此可以在旋轉(zhuǎn)公式中將其去掉,并令arctan(2i i -=,其中0,1,.,1i N =-。N 是旋轉(zhuǎn)次數(shù),這樣的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中只用到移位和加減法,便于硬件實(shí)現(xiàn)。經(jīng)過(guò)N 次迭代運(yùn)算后,00y 時(shí),N N x jy +落在正虛軸,則有:10022N N i i i z z -=<=>+=即: 1002N i i i z -=-(7 00y

6、<時(shí)N N x jy +落在負(fù)虛軸,則有:10022N N i i i z z -=-<=>+=-即: 1002N i i i z -=- (8因此,只要我們知道初始向量00x jy +,就可以由式(6經(jīng)過(guò)N 次迭代求出它的相位0z ,N 的值與計(jì)算精度有關(guān),由i 的表示位數(shù)決定。若i 用20位表示,最高為符號(hào)位,接著兩位為整數(shù)位,其余為小數(shù)位,則N =18,最后求得的相位誤差最大為0.000437。由公式(7得到的角度范圍為0,由公式(8得到的角度范圍為-0,所以可以得到的角度范圍為-。3.求相位的正弦和余弦用CORDIC 算法求相位的正弦和余弦與求相位的原則基本一致。設(shè)初

7、始相位為0z ,旋轉(zhuǎn)公式與式(6類(lèi)似:111cos sin (tan cos cos sin (tan cos i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i x x y x y y y x y x z z +=-=-=+=+-= (9其中,1i =+ 當(dāng)0i z ;1i =- 當(dāng)0i z <。此時(shí)的i z 是經(jīng)過(guò)i 次迭代后與初始相位0z 的相位差。設(shè)初始向量為00x jy K +=,K 為正實(shí)常數(shù),即位于正實(shí)軸上,則經(jīng)過(guò)N 次迭代后0N z =,由于這里求的是幅度。所以cos i 不能去掉。為了便于實(shí)現(xiàn),可以在迭代之前統(tǒng)一引入。由

8、arctan(2i i -=知:cos i = (10 經(jīng)過(guò)N =16次迭代后整個(gè)模校正因子為:15 00.6072529N i K = 故可令N K K =,這樣就得到了歸一化的正弦和余弦輸出。由于初始向量落在正實(shí)軸上的覆蓋范圍約為/2/2-。法1:為了覆蓋-的要求,可以根據(jù)初始相位0z 進(jìn)行初始化操作。當(dāng)00z 時(shí)讓初始向量落在正虛軸上。當(dāng)00z <時(shí)讓初始向量落在負(fù)虛軸上。即: 00x jy jK +=, 當(dāng)00z 時(shí) 00x jy jK +=-,當(dāng)00z <時(shí)這里的迭代次數(shù)主要由i x ,i y 的表示位數(shù)決定,經(jīng)N 次迭代后有0cos N x z = 0sin N y z

9、 =法25:由于0=(00i n i -=,初始向量落在正實(shí)軸上的覆蓋范圍約為/2/2-,為了覆蓋-的要求,可以利用下面的三角恒等式:cos(cos /2sin(sin z zz z z -=-<<-=- cos(cos /2sin(sin z zz z z+=-<<-+=- 再加上一個(gè)簡(jiǎn)單的檢測(cè)模塊來(lái)判斷輸入角是否超出/2/2-,若/2z ,首先計(jì)算z -,用CORDIC 算法來(lái)求z -的函數(shù)值,然后將得到的結(jié)果變?yōu)槠湎喾磾?shù)作為最終的結(jié)果。若/2z -,計(jì)算過(guò)程類(lèi)似于上面。4.另一種計(jì)算方法(角的范圍/2/2-11122arctan(2i i i i i ii i i i i i i i x x y y y x z z -+-+-+=-=+=- (11 寫(xiě)成矩陣形式:111221i i i i i i i i x x y y -+-+-= (121a r c t a n (2ii i i z z -+=- (13 4.1 求復(fù)數(shù)的相角(由Z 0向正實(shí)軸旋轉(zhuǎn)00z =,Z 0為所求相角的向量第i 次角度旋轉(zhuǎn)后與起始向量Z 0相角的差為i z ,當(dāng)1010i i i y y -=+<時(shí),N 次迭代的計(jì)算結(jié)果為: 000arctan(/N N Nx y z y x