大學(xué)高數(shù)期末考試題及答案

1、1/ 7第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案計(jì)算題（本題滿分 35 分，共有5 道小題,每道小題7 分），1 求極限xm0.X _X1 cosx 2.3sin x解:1 cosx limx 02X1 COSXX1 cosx2X.3sin xxm0 xm01 cosxxln-2exlnlimex 01 cosx2xln1 COSXlimX 01sin xcosx 2x2 設(shè)x0時(shí)，f解:由于當(dāng)x0時(shí),3xf tlim -x 0kAxdtxim所以，lim1k 1x06Akxk 13 .如果不定積分解:,1 cosx xln2limx,1 cosx ln22X3X是等價(jià)無(wú)窮小,dt 與 Axk等價(jià)無(wú)窮

2、小，求常數(shù)kf t dt 與 Ax 等價(jià)無(wú)窮小，所以0“ k 1Akxlimx因此,x21,limx3Xf t dt0_Axkf Vx 223X2133x2Akxk 12x3Xlimk 1x06Akxlim 77x 6Akxax2 2X 11 Xdx中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)，求常數(shù)a 與b應(yīng)滿足的條件.2/ 72 .,x ax b將2 2x 11 x化為部分分式，有2 .x ax b2x 11A B Cx D x 1 x 121 x2因此不定積分ax b121 x2dx中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)2即x axx 121 x2D1 x2所以，有 x2ax b B 1x212x22Dx

3、 B D .比較上式兩端的系數(shù)，有 1D,2D,所以，得b 1.525.計(jì)算定積分min 1,解:min 1,dx.52所以，min01,dx11dx0dx52x25 .設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為 r.3asi n -3求曲線C的全長(zhǎng).解:曲線 rasin33 一周的定義域?yàn)?，?3因此曲線C的全長(zhǎng)為s . r2r2d03:-2.62.42.、a sin a sin cos d0,3333 2 ,asin do33/ 7（本題滿分 45 分，共有 5 道小題，每道小題 9 分）,6求出函數(shù)f x lim列 爲(wèi) 的所有間斷點(diǎn)，并指出這些間斷點(diǎn)的類(lèi)型.n1 2x解:11因此 X1與 X2是函數(shù) f x

4、 的間斷點(diǎn).22lim1x2f xlim 01x20, lim1x2f xlim sin x1x21，因此 x1是函數(shù)2f x 的第一類(lèi)可去型間斷點(diǎn)limf xlim sinx 1 ,limf xlim 010 ,因此 x 是函數(shù) f x的第- 一類(lèi)可去型11112xxx 一x間斷點(diǎn).求極限limb 解:limn1sin2n2x1sin x x -211x -2211x2210 x -27.設(shè)是函數(shù) f xarcsinx 在區(qū)間 0,b 上使用 Lagrange （拉格朗日）中值定理中的 中值”,4/ 7令t arcs inb,則有arcsin x 在區(qū)間0, b 上應(yīng)用Lagrange 中值

5、定理，知存在0, b，使得所以，2arcs inb叫Hb2b叫!=barcs inb因此,arcs inbb2moHbarcs inO 1arcsinb b2b2arcs inb25/ 7令 fx0,得函數(shù) f x的駐點(diǎn) X10,x22 由于a0, 所以lim f x2xlim ax e1,xx2 x2x2x2lim f xlim ax e1 a limx1 a limx1a lim 11xxxexexe叫Hb2insImo2nsiimo2tn3ILim。2cos2t12?1 1 lim-6t 0cos2t12si n2tlim6t 02t3-b mo H.D8設(shè)1 xey0ydy，dx解:d

6、xxf1xf0 x dx在方程fxey02 ydy中，令x 1，得1 1ey 2 ydy00ey 2 ydy 00再在方程1 xey20ydy兩端對(duì) x 求導(dǎo),x21因此，0f x dxxf1xf x dx01xf0 x dx1 x2xe dx0 xex2dxx29 研究方程0 在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).解:設(shè)函數(shù) f x2 xaxe1,2axe2ax eax 26/ 7因此，得函數(shù) f x 的性態(tài)x,000, 222,f x00f x14ae211222 x若 4ae 10，即 a 時(shí)，函數(shù) f x ax e 1 在 ，0、0,2、2,4各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程 exax 在 ，內(nèi)有 3 個(gè)實(shí)根.e若

7、 4ae 1 0，即 a時(shí)，函數(shù) f4xe ax 在 ，內(nèi)有 1 個(gè)實(shí)根.10 .設(shè)函數(shù) f x 可導(dǎo)，且滿足f x x f x試求函數(shù) f x 的極值.解：在方程 f x x f x 1 中令t x，得，、十5 f x xf x x亠，口在萬(wàn)程組中消去 f x，得xf x f x x若 4ae210 ,即 a2e時(shí)，函數(shù) f x點(diǎn)，即方程 exa x2在，內(nèi)有 2 個(gè)實(shí)根2xax e1 在,0、0,內(nèi)各有一個(gè)零2 xx ax e1 在,0 有個(gè)零點(diǎn)，即方程f t t f t 1，即27/ 71x2積分，注意 f 00,得f Xxtt2dt.即8/ 7x 201ln1x2arcta nx2x

8、x牙得函數(shù) f1 x2的駐點(diǎn) Xi0,X21 .而f x2x x.所以,1x2 2所以，f 00 是函數(shù) f極小值;11 In 22是函數(shù) f4極大值.三.應(yīng)用題與證明題（本題滿分20 分，共有2 道小題,每道小題 10 分），11.求曲線 y ,x 的一條切線，使得該曲線與切線I及直線x0和x 2所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小.解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 t, t由 y1，可知曲線 y2jtt 處的切線方程為因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為12d %所以，dVdt83t212、t，或1y2d %dx2t3t0 .得駐點(diǎn) t,舍去 t .由于d2Vdt2163t2線方程為12 . 設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間0，因而函數(shù)23 處達(dá)到極小值，而且也是最小值.因此所求切0, 1 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間0, 1 內(nèi)可導(dǎo)，且1 arctan xdx29/ 7證明：至少存在一點(diǎn)0,121 arcta n解:因?yàn)?f x 在閉區(qū)間0,1 上連續(xù),所以由積分中值定理，知存在0,-，使得arcta nxdx2efarcta n由于ef0 xarctanxdx2 所以，earcta n再由 f 10,得作函數(shù) gefarcta nefarcta n