小船過河問題分析與題解

1、小船過河問題分析與題解【問題概說】（1）船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。（2） 三種速度：船相對水的速度為 v船（即船在靜水中的速度），水的流速為v水（即水對地 的速度），船的合速度為v （即船對地的速度，船的實際速度，其方向就是船的航向）。（3）三種情景： 過河時間最短：當船頭垂直河岸，渡河時間最短，且渡河時間與水的流速無關。 過河路徑最短：在 v船v水的條件下，當船的合速度垂直于河岸時，渡河位移（航程 或路徑）最小并等于河寬。在v船v水的條件下，當船頭與船的合速度垂直時，渡河位移（航程或路徑）最小。此種情況下，合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。最短航程確定如下：如圖

2、所示,以v水矢量末端為圓心，以 v船矢量的大小為半徑畫弧，從 v水矢量的始端向圓弧作切線，則 合速度沿此切線方向航程最短。（下圖中vi表船速，V2表水速）【典型題例】兩河岸平行，河寬 d=100m，水流速度 Vi=3m/s，求：（1）船在靜水中的速度是 4m/s 時，欲使船渡河時間最短，船應怎樣渡河？最短時間是多少？船的位移是多大？（2）船在靜水中的速度是 6m/s時，欲使船航行距離最短， 船應怎樣渡河？渡河時間多長？（3）船在靜水中的速度為 1.5m/s時，欲使船渡河距離最短，船應怎樣渡河？船的最小航程是多少？思路分析（1）當船頭垂直于河岸時，渡河時間最短:tmin=d/v 2 = 100/

3、4=25S合速度 v= v2 v；、32 425m/s船的位移大小 s=v tmin=125m（2）欲使船航行距離最短，需船頭向上游轉過一定角度使合速度方向垂直于河岸，設船的vd31開行速度V2與岸成B角，則cos 0=Lv262所以 0 =60 合速度 v=V2sin60°=33m/ sd 100-3 t=svv時，渡河位移最小，B,如圖所示:V2cos 3 V11.53所以3 =60最小位移Smin =cos200mcos600答案(1)船頭垂直于河岸時，渡河時間最短:t min=25S，s =125m ；(3)船在靜水中速度小于水流的速度，船頭垂直于合速度 設船頭與河岸夾角為t

4、=s ；9Smin = 200m °也是難點所在，準確理解并熟練掌 請試著完成以下幾例類似題 °(2)船頭向上游轉過一定角度,與岸成60°角航程最短, (3)船頭垂直于合速度，船頭與河岸夾角60°時航程最短,船渡河中極值問題， 是運動合成與分解中典型問題, 握上述幾條規(guī)律是解決此類問題的突破口?！揪毩暦答仭?、某河水流速度為 5m/s，一小船對靜水的速度大小是4m/s，要渡過此河，船頭垂直河岸行駛，已知河寬為120m,試分析計算： 小船能否渡河直達正對岸？ 船需多少時間才能到達對岸？ 此船登上對岸的地點離出發(fā)點的距離是多少？ 若船行至正中間 時，河水流速

5、增大到8m/s ,則船渡河需要多少時間？登岸地點如何變化？ 此船過河的最短位移是多大？2、北風速度4m/s，大河中的水流正以 3m/s的速度向東流動，船上的乘客看見輪船煙囪冒 出的煙柱是豎直的，求輪船相對于水的航行速度多大？什么方向？3、有一船正在渡河，如圖所示，在離對岸30m時，其下游40m處有一危險水域，若水流速度5m/s，為了使船在危險水域之前靠岸，那么，小船從現(xiàn)在起相對于靜水的最小速度應是危險區(qū)多大?4、玻璃生產線上，寬9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度連續(xù)不斷地向前行進，在切割工序處，金剛鉆的走刀速度為10 m/s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道應如何控制？

6、切割一次的時間多長 ？【參考答案】1、不能；30s；192m；30s,在正對岸下游195m處，登岸地點順流下移；150m。解析：由運動的獨立性可知，水流速度增大對于過河時間沒有影響，只是沿河方向位移增大。如圖，以v水的矢尖為圓心、v船為半徑畫圓，當 v 與圓相切時，a角最大。根據cos 0= V船/v水，船頭與 河岸的夾角應為 =arccosv船/v水，船漂下最短距離：Xmin = (v 水一v 船 cos 0t= L/cos 0此時渡河的最短位移：LLv水s =cos=V 船=120 X 5/4=150m2、本題研究對象有北風、水流、乘客、煙；“煙柱是豎直的“說明人感覺不到風，那么輪 船應該

7、與風同速航行。輪船的實際航向正南，大小為4m/s，由于河水流動，輪船應該有個分速度：大小與 v水相等，方向與v水相反，這樣輪船才會朝正南方向行駛，如圖所示tan 0 =水 3 貝U 0 =37,v風4即船頭應該與上游河岸成 530角航行。且v船=v水v風42 325m/s答案：5m/s，船頭方向與上游河岸成 530角航行。3、設船到達危險水域前，恰好到達對岸，則其合速度方向如圖所示，設合速度方向與河岸的夾角為a,則tan a=° 3 , a =3%船的合速度方向與合位移方向相同，根據平行四邊404形定則知：當船對于靜水的速度w垂直于合速度方向時，V1最小，w的最小值為 Wmin =

8、V2Sin a =3m/s，這時方向與河 岸的夾角 3 =90>37°=53°，即從現(xiàn)在開始，船頭指向與上游 成530角，以相對于靜水 3m/s的速度航行，在到達雷區(qū)前 恰好靠岸。答案：3m/s4、解1:根據題意，金剛鉆相對玻璃板的速度v垂應垂直于玻璃板的運動速度 v板，金剛鉆的運動可分為隨玻璃板的運動 v板和垂直于玻璃板的運動 v垂，如圖所示，由圖可知：cos 0= =0.2，貝U 0 =arccos0.2v 垂=，-m/s=m/s ,t= ' ' s 0.92 s 。1Lm解2:割刀實際的運動（相對于地面的運動）是隨玻璃板行進方向的分運動（速度的大

9、小為Vi=2 m/s ）和垂直玻璃板行進方向的分運動（割刀相對玻璃板的運動與玻璃板行進方向垂直， 設速度為V2）的合運動，割刀實際速度（相對于地面的速度）為 v=10 m/s，如圖所示。設v與Vi的夾角為a,則COS a= =0.2，所以a =78.5 ° .割刀的軌道控 制的方向（軌道相對地面的方向）就是沿速度V的方向。切割一次d _9所用的時間為t=】丄-s=0.92 s=答案：割刀軌道與玻璃行進方向的夾角為78.5。，切割一次用時0.92 s【方法提煉】在進行速度分解時， 首先要分清合速度與分速度， 合速度就是物體實際運動的速度，由物體的實際運動確定，分速度由合速度的效果利用平

10、行四邊形定則確定。如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車m沿斜面升高。問：當滑輪右側的繩與豎直方向成B角，且重物下滑的速率為時，小車的速度為多少？尋找分運動效果。重物 M的速度v的方向是合運動的 速度方向，這個 v產生兩個效果：一是使繩的這一端繞滑 輪做順時針方向的圓周運動；二是使繩系著重物的一端沿 繩拉力的方向以速率 v'運動，如圖所示，由圖可知，v=v cosQ即為小車的速度。繩拉物體或物體拉繩問題的主要思路：（1）物體的實際運動為合運動；（2）沿繩的運動為一個分運動；（3）垂直于繩的運動為另一個分運動。注意：沿同一繩（或桿）方向的分速 度大小相等。在物理學上如果一個物體實

11、際發(fā)生的運動產生的效果跟另外兩個運動共同產生的效果 相同，我們就把這一物體實際發(fā)生的運動叫那幾個運動的合運動，那幾個運動就叫做這個實際運動的分運動。重要結論：（1）各分運動之間是互不相干的，具有獨立性；（2）合運動與分運動具有等時性；（3）合運動一定是物體的實際運動。已知分運動求合運動叫運動的合成，已知合運動求分運動叫運動的分解。（通常根據或尋找分運動效果，根據運動的實際效果分解，或采取正交分解法進行分解。）運動的合成與分解， 是指位移、速度、以及加速度的合成和分解，必須遵循平行四邊形定則。在進行速度分解時， 首先要分清合速度與分速度合速度就是物體實際運動的速度，由物體的實際運動確定，分速度由合速度的效果利用平行四邊形定則確定。合運動一定是物體 參與的實際運動。處理復雜的曲線運動的常用方法是把曲線運動按實際效果分解為兩個方向 上的直線運動。運動合成分解的四個性質:運動的獨立性一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，各自產生效果運動的等效性整體的合運動是各分運動決定的總效果，它替代所有的分運動運動的等時性合運動和分運動進行的時間相同運動的矢量性加速度、速度、位移都是矢量，合成和分解都遵循平行四邊形定則進行運動的合成時，一般采用兩個觀點：所有的分運動必須轉換成對于同一個物體的，也就是說，只有同一物體同時參與幾個分運動才能合成。如果選擇運動的物體為參照物，則參照