中考高分的十八個(gè)關(guān)節(jié)+關(guān)節(jié)7+從變換視角提高圖與構(gòu)圖的眼力

1、第二篇 新視角與基本思考策略新視角易有新發(fā)現(xiàn)，幫助開(kāi)辟新途徑；基本思考策略是認(rèn)識(shí)規(guī)律的具體化，它是解數(shù)學(xué)題的“最大、最高技巧”。關(guān)節(jié)七從變換視角提高識(shí)圖與構(gòu)圖的眼力思考與解決幾何圖形的問(wèn)題，主要是借助基本圖形的性質(zhì)（定義，定理等）和圖形之間的關(guān)系。從關(guān)節(jié)四我們已經(jīng)知道，許多基本圖形的性質(zhì)都源于這個(gè)圖形本身的“變換特征”，而最為重要和最為常用的圖形關(guān)系“全等三角形”極多的情況也是同樣具有“變換”形式的聯(lián)系。本來(lái)兩個(gè)三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和相互間的位置沒(méi)有直接關(guān)系，但是，在同一個(gè)問(wèn)題中涉及到的兩個(gè)全等三角形，絕大多數(shù)都有一定的位置關(guān)系，或成軸對(duì)成關(guān)系，或成平移關(guān)系，或成旋轉(zhuǎn)的關(guān)系（

2、包括中心對(duì)稱）。這樣，在解決具體的幾何圖形問(wèn)題時(shí)，圖形本身所顯示或暗示的“變換特征”，對(duì)我們識(shí)別出、構(gòu)造出基本圖形和圖形關(guān)系（如全等三角形），有著極為重要的啟發(fā)和引導(dǎo)的作用。解決圖形問(wèn)題的能力，核心要素是善于從綜合與復(fù)雜的圖形中識(shí)別和構(gòu)造出基本圖形及基本圖形關(guān)系，而“變換視角”正好能提高我們這種識(shí)別與構(gòu)造的眼力。一、從“軸對(duì)稱”視角識(shí)別圖形與構(gòu)造圖形1、當(dāng)題目的基本背景是軸對(duì)稱圖形時(shí)（1）當(dāng)背景圖形是基本的軸對(duì)稱圖形時(shí)等腰三角形（包括等邊三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等基本圖形都是軸對(duì)稱圖形，有關(guān)這些圖形的許多問(wèn)題恰是由這種軸對(duì)稱性衍生出來(lái)的。這時(shí)，相應(yīng)的對(duì)稱性就正好昭示著問(wèn)題的實(shí)

3、質(zhì)并暗示著解決的途徑。例1 如圖，梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，P為梯形ABCD外一點(diǎn)，PA，PD分別交線段BC于點(diǎn)E，F(xiàn)且PA=PD。（1）寫出圖中三對(duì)你認(rèn)為全等的三角形（不再添加輔助線）（2）選擇你在（1）中寫出的全等三角形中的任意一對(duì)進(jìn)行證明?！居^察與思考】注意到點(diǎn)P向AD所作的垂線，既是等腰梯形ABCD的對(duì)稱軸，也是等腰三角形PAD的對(duì)稱軸，即整個(gè)圖形是該垂線為軸對(duì)稱的。因此，凡是 是此直線（雖然沒(méi)有明確地畫出來(lái)）為對(duì)稱的兩個(gè)三角形，都必然是全等的。解：（1）DABPDDCP;DABEDDCF；DBEPDCFP；DBFP（2）下面就DABPDDCP;給出證明。 CQAD/BC

4、,AB=DC,ÐBAD=ÐCDA。又QPA=PD,即DPAD為等腰三角形，ÐPAD=ÐPDA。在DABP和DDCP中，- 1 -PA=PD，AB=DC，ÐBAP=ÐBAD-ÐPAD=ÐCDA-ÐPDA=ÐCDP,所以DABPDDCP?！菊f(shuō)明】可以看出，在證明兩個(gè)軸對(duì)稱的三角形全等時(shí)，用軸對(duì)稱的方式尋找和敘述全等的理由，既規(guī)則有序，又簡(jiǎn)捷易行。（2）當(dāng)背景圖形是復(fù)合式的軸對(duì)稱圖形時(shí)有的題目，背景圖形比較復(fù)雜些，但它仍是軸對(duì)稱圖形，這時(shí)對(duì)問(wèn)題解決的思考，也要特別注意從這一軸對(duì)稱性入手。例2 已知，如

5、圖（1），RtDABCRtDADE,ÐABC=ÐADE=90°。試以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連結(jié)出兩條新的線段，如果你連結(jié)的兩條線段滿足相等、垂直或平行關(guān)系中的一種，那么請(qǐng)你把它寫出來(lái)并證明。 【觀察與思考】容易看到并推知：整個(gè)的圖形是以A，F(xiàn)兩點(diǎn)所在的直線為軸對(duì)稱的，其中，D和B，C和E分別為對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)出所有可連結(jié)的線段，如圖（1），并設(shè)AF和BD交于點(diǎn)M，和EC交于點(diǎn)N，根據(jù)軸對(duì)1）稱的性質(zhì)可知有：DC=BE;AFDB,AFCE;DB/CE E C解：如圖（1），連結(jié)DB，DC，BE，CE，連結(jié)AF交DB于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)N，有結(jié)論：DC=BE,AFD

6、B,AFCE,DB/CE。證明如下： ）C N E QRtDABCRtDADE, 在DADC和DABE中，AD=AB，AC=AE，ÐCAD=ÐCAB-ÐDAB=ÐEAD-ÐDAB=ÐBAE。DADCDABE，DC=BE，ÐACD=ÐAEB。在DDCF和DBEF中DC=BE，ÐDFC=ÐBFE，ÐDCF=ÐACB-ÐACD=ÐAED-ÐAEB=ÐBEF。DDCFDBEF，F(xiàn)D=FB，F(xiàn)C=FE。QAD=AB，F(xiàn)D=FB,AF為DB的垂直平

7、分線，當(dāng)然有AFDB，與上同理，可推得CEAN（即AFCE），DB/CE。【說(shuō)明】正是把握住了本題背景圖形的軸對(duì)稱這一核心特征，使我們對(duì)問(wèn)題有了最本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，而后的諸項(xiàng)問(wèn)題，都沿這一核心特征被發(fā)現(xiàn)和解決。（3）沿著背景圖形的軸對(duì)稱性尋找需要添加的輔助線當(dāng)題目的背景圖形是軸對(duì)稱圖形時(shí)，如果需要作輔助線才能解決，那么輔助線的作法也往往是為了更好地揭示和利用這種軸對(duì)稱性。例3 已知，如圖（1），在梯形ABCD中，AD/BC，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且有EA=ED，EB=EC。求證：四邊形ABCD是等腰梯形 【觀察與思考】根據(jù)圖形所給的條件，可以知道整個(gè)圖形應(yīng)是軸 1）對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸就是過(guò)點(diǎn)E且和AD垂直

8、的直線，因此，以 這條對(duì)稱軸為輔線，通過(guò)具有軸對(duì)稱位置的三角形全等，來(lái)推得AB=DC。 - 2 -證明：過(guò)點(diǎn)E作直線MNAD，分別交AD，BC于點(diǎn)M,N，如圖（1）。根據(jù)已知，也有MNBC。 在等腰三角形EAD中，QEMAD,ÐAEM=ÐDEM；在等腰三角形EBC中，QENBC,ÐBEN=ÐCEN. 在DAEB和DDEC中，EA=ED，EB=EC， ÐAEB=180°-ÐAEM-ÐBEN=180°-ÐDEM-ÐCEN=ÐDEC。 DAEBDDEC，AB=DC，又知AD/BC，

9、ABCD為等腰梯形。【說(shuō)明】在本題，是圖形的軸對(duì)稱性啟示我們作上述的輔助線，使得解法簡(jiǎn)單明快。2、當(dāng)題目的基本背景不是軸對(duì)稱圖形時(shí)，應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用其中的軸對(duì)稱成分有的題目，整個(gè)背景圖形不是軸對(duì)稱圖形，但某個(gè)或某些部分卻具有軸對(duì)稱性，如果我們善于并在局部恰當(dāng)運(yùn)用這一對(duì)稱性，也會(huì)幫我們更快更好地獲得解決方法。例4 將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)（如圖（1），得到兩張三角形紙片（如圖（2），再將這兩張三角形紙片擺放成如圖（3）的形式，使點(diǎn)B，F(xiàn)，C，D在同一條直線上。（1）求證：ABED；（2）若PB=BC，請(qǐng)找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并給予證明。ED B F C （1）（2） （3）【觀

10、察與思考】對(duì)于（1），很容易推得結(jié)論；對(duì)于（2），根據(jù)題目的條件和圖（3）的構(gòu)成方式，可以看出它有以下的特征：在圖（3）中，（即在題目的圖（3）中去掉EP，EF這兩條線段后剩下的部分），它是關(guān)于BN所在的直線為對(duì)稱的 （由BP=BC,ÐACB=ÐDPB=90°,ÐA=ÐD可保證），由此得到關(guān)于BN對(duì)稱的三角形全等，即有：DABCDDBP;DAPNDDCN。（E（MB （F） C （3） D B F （C） A） N） （3） D- 3 -在圖（3）中，（即是題目的圖（3）中去掉AP，AC這兩條線段后剩下的部分），它是關(guān)于直線MD為軸對(duì)稱的（由B

11、P=EF,ÐBPD=ÐEFD=90°ÐE=ÐB可保證）。由此得到關(guān)于MD對(duì)稱的三角形是全等的，即有：DDEFDDBP;DMEPDMBF。實(shí)際上，（2）的證明已包含于以上的分析之中了。解：（1）證明：QÐA+ÐB=90°,ÐA=ÐD，ÐD+ÐB=90°.ABDE。（2）若PB=PC，則有RtDABCRtDDBP，理由是QÐB=ÐB,ÐA=ÐD,BP=BC，RtDABCRtDDBP圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有以下幾對(duì)：RtDA

12、PNRtDDCN;RtDDEFRtDDBP;RtDMEPRtDMBF；【說(shuō)明】由本題可以看出，從變換的視角認(rèn)識(shí)和研究圖形，會(huì)對(duì)圖形看得更深刻、更全面、更多維、隨之，解決的辦法也就能更順利地找到。例5 如圖（1），一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD的中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。（1）如圖（2），當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)得到如圖（3）所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與A

13、B的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立；請(qǐng)證明；若不成立；請(qǐng)說(shuō)明理由。GB （E） （G） G E（1） （2） (3)【觀察與思考】實(shí)際上，問(wèn)題所涉及到的條件和結(jié)論，都與CD，CB兩邊沒(méi)有關(guān)系，原題相當(dāng)于兩個(gè)全等的等腰直角三角形，從完全重合的位置將其中一個(gè)繞“斜邊中點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)，那么，圖（2），圖（3）對(duì)應(yīng)的就是下邊的圖（2），圖（3）。圖（2）和圖（3）中，每個(gè)圖形都是以直線PO為對(duì)稱的，當(dāng)然，對(duì)稱的三角形是全等的，對(duì)應(yīng)的線段和對(duì)應(yīng)的角分別是相等的。 簡(jiǎn)解：（1）BM=FN，根據(jù)是（見(jiàn)圖（2）在DOBM和DOFN中，OB=OF,&#

14、208;B=ÐF=45°，ÐBOM=ÐFON， DOBMDOFN, B BM=FN。 E- 4 -（2）BM=FN的結(jié)論仍然成立，根據(jù)是（見(jiàn)圖（3）在DOBM和DOFN中，OB=OF,ÐOBM=ÐOFN=135°,ÐBOM=ÐFON,DOBMDOFN,BM=FN。【說(shuō)明】在本題的分析與思考中，從圖（2）到圖（2）（同樣，由圖（3圖（3論述，都變得豁然明朗，順理成章了。順便指出：對(duì)任何一個(gè) 原本的軸對(duì)稱圖形，繞其對(duì)稱軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角（0°<a<360°），那么，由旋轉(zhuǎn)前和旋轉(zhuǎn)

15、后兩圖形成的新圖形，都是一個(gè)新的軸對(duì)稱圖形。如：在圖（1）中，等腰三角形ABC繞其頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角到DAB'C'，BC與BC相交于G，則組合起的新圖形是以AG為軸的對(duì)稱圖形，在圖（2）中，等腰三角形ABC繞其底邊上的中點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角到DA'B'C'，AB與AC相交于點(diǎn)K，則組合起的新圖形是以KH為軸的對(duì)稱圖形。A' 2）C' C因此，軸對(duì)稱圖形在一些適當(dāng)?shù)牡男D(zhuǎn)下，可以產(chǎn)生新的軸對(duì)稱圖形。由以上兩例可以看出，在復(fù)合圖形中抽取出軸對(duì)稱部分，常對(duì)問(wèn)題的解決有著非常重要的作用。3、圖形的折疊與軸對(duì)稱對(duì)圖形進(jìn)行折疊，其被折疊的部分，在折疊

16、前與折疊后的圖形是關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱的。有關(guān)對(duì)圖形折疊問(wèn)題的考查，主要側(cè)重在兩個(gè)方面：一個(gè)方面是沿著折疊與展開(kāi)進(jìn)行考查，實(shí)際上是考查對(duì)“折疊”的軸對(duì)稱意義的理解；另一方面是側(cè)重于“折疊”所造成的圖形形狀關(guān)系及數(shù)量間關(guān)系的考查。（1）“折疊”與相應(yīng)的“打開(kāi)”都是軸對(duì)稱操作例6 將一張菱形紙片，按圖（1），圖（2）的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿圖（3）中的虛線剪開(kāi)，最后將圖（4）中的紙片打開(kāi)鋪平，所得的圖案應(yīng)該是（ ）- 5 -A B C D【觀察與思考】看題目所述的對(duì)圖形的操作過(guò)程：第一步兩個(gè)“折疊”過(guò)程（見(jiàn)下邊的圖）由圖（1）到圖（2）反映的是DDAB和DDCB，關(guān)于DB軸對(duì)稱；由圖（3）到

17、圖（4）反映的是DCBO和DCDO關(guān)于CO軸對(duì)稱；第二步是在“折疊”成的最后圖形（3）中剪出圖（4）第三步將原圖（4）打開(kāi)平鋪，實(shí)際上是在圖（4）的基礎(chǔ)上做與第一步相反的兩次軸對(duì)稱圖形；即由圖（4）作軸對(duì)稱到圖（2），再到由圖（2）作軸對(duì)稱到圖（1）D D C O C CB B B（1） （2） （3）（4）（1）解：應(yīng)選A【說(shuō)明】這類折疊、剪切、打開(kāi)鋪平的問(wèn)題都可如上程序式地予以解決。（2）圖形折疊造成的全等和相似更多的圖形折疊問(wèn)題，是圍繞有關(guān)圖形的形狀、位置和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究的，解決的思考要點(diǎn)，可歸為這們?nèi)齻€(gè)方面：第一方面，搞清原圖形的特征；第二方面，被折疊部分和它落下生成的部分的全等關(guān)系

18、；第三方面，由此形成的新圖形與新關(guān)系。例7如圖，矩形ABCD中，AB=16,BC=8,將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在E點(diǎn)處，且CE與AB交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)?！居^察與思考】原圖形為矩形，由折疊知RtDACERtDACD，并有RtDAFERtDCFB。這樣，在RtDAFE中，通過(guò)勾股定理構(gòu)造關(guān)于AF的方程可求得其長(zhǎng)。 解：在RtDAFE和RtDCFB。AE=AD=CB,ÐAFE=ÐCFB,E B RtDAFERtDCFBAF=CF。在RtDAFE中，AE=AD=8，EF=CE-CF=CD-AF=16-AF，- 6 -AF2=AE2+EF2，即 AF2=82+(16-AF)

19、2也即64+256-32AF=0，解得AF=10。【說(shuō)明】“折疊”問(wèn)題的解決，其要點(diǎn)是在對(duì)原圖和折疊準(zhǔn)確把握的基礎(chǔ)上，選擇并利用好所形成的新圖形的特征和數(shù)量。二、從“旋轉(zhuǎn)變換”視角識(shí)別圖形與構(gòu)造圖形要在圖形相關(guān)問(wèn)題中恰當(dāng)而及時(shí)地運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)變換”的性質(zhì)，最根本的是要搞清楚哪些基本圖形、哪些復(fù)合圖形、哪些指定條件的圖形是和“旋轉(zhuǎn)變換”相關(guān)的，又是怎樣相關(guān)的，掌握了這些內(nèi)在的特征和規(guī)律，才有利于將“旋轉(zhuǎn)變換”的性質(zhì)運(yùn)用到新的問(wèn)題情景中去。我們說(shuō)，“旋轉(zhuǎn)變換”常運(yùn)用在以下四種背景之中，它們是：、當(dāng)出現(xiàn)具有“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的基本圖形及其變形時(shí)；、當(dāng)出現(xiàn)“兩組等邊做成有公共頂點(diǎn)的等角”時(shí)；、當(dāng)出現(xiàn)“有共公頂

20、點(diǎn)的等線段”時(shí)；、當(dāng)題目條件中含有“旋轉(zhuǎn)變換”時(shí)。下邊我們分別加以研究和總結(jié)。1、當(dāng)背景出現(xiàn)具有“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的基本圖形或其變形時(shí)設(shè)O是如下正多邊形的中心（即外接圓的圓心）。ED C C D C D C正（等邊）三角形ABC繞其中心旋轉(zhuǎn)120°與其自身重合，所以正三角形是120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)90°與其自身重合，所以正方形是90°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；正五邊形是72°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，正六邊形是60°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形正n邊形是(360°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。 n我們把這些正多邊形叫做具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的基本圖形，實(shí)際

21、上，對(duì)于等邊三角形和正方形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，在關(guān)節(jié)四已做了較詳細(xì)的介紹，而這些性質(zhì)和應(yīng)用，大都可以類比地推廣到正n 例1 （1）操作與證明：如圖，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角 的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的 總長(zhǎng)度為定值； 圖 C B- 7 -（2）嘗試與思考：如圖，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在 邊長(zhǎng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度也為定值a

22、；（3）探究與引伸：一般地，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角 E 為時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值？若為定值，寫出它與正n邊形面積S 圖 之間的關(guān)系；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。 D C【觀察與思考】（1）如圖，設(shè)扇形的兩直徑分別經(jīng)過(guò)正方形的兩頂點(diǎn)，則正方形的邊被覆蓋的部分的總長(zhǎng)等于其一條邊長(zhǎng)，即a，而通過(guò)正方形的90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，可知在圖的情況下，被覆蓋的邊的總長(zhǎng)度等于 圖中被覆蓋的邊的總長(zhǎng)度。E圖 圖D C（2）由（1）的思考的類比（只需考慮扇形的直

23、徑經(jīng)過(guò)兩頂點(diǎn)），如圖，圖，即可得合理的猜想。（3）可由以上的關(guān)于（1），（2）的思考類比推想出相關(guān)的結(jié)論。解：如圖，設(shè)扇形的半徑分別與正方形的邊AB,AD交于點(diǎn)E,F，連結(jié)OA,OB。在DOEB和DOFA中，OB=OA,ÐOBE=ÐOAF=45°,ÐBOE=ÐAOF（同為ÐEOA的余角）， DOEBDOFA,，得BE=AF。AE+AF=AE+BE=AB=a即正方形ABCD被扇形覆蓋的邊的總長(zhǎng)度為定值，等于正方形一條邊的長(zhǎng)度a。（2）120°；70° 。（3）360°1；面積也為定值；這個(gè)定值為×

24、S正n邊形。 nn【說(shuō)明】本題猜想的形成和相關(guān)證明的獲得，都是正n邊形的“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”在發(fā)揮著基礎(chǔ)性和導(dǎo)向性的作用。- 8 -例2 用兩個(gè)全等的等邊三角形DABC和DACD拼成菱形ABCD，把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。E圖（1）（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC， CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖（1），通過(guò)觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖（2），你在（1）中得到

25、的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由?！居^察與思考】這里的背景圖形是特殊的菱形ABCD(ÐB=ÐD=60°)，ÐBAD=ÐBCD=120°，這立刻使我們聯(lián)想到如右下圖（）的正六邊形，菱形ABCD可以看作是它的三分之一，頂點(diǎn)A正相當(dāng)于這個(gè)正六邊形的中心，這樣一來(lái)，相應(yīng)的問(wèn)題（1）與（2）不都是這個(gè)正六邊形“60°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的具體表現(xiàn)和一種別樣的運(yùn)用形式嗎？ 繞點(diǎn)A逆時(shí)針 無(wú)論在（1）的情況，還是（2）的情況，均有 重合于DACF。 DABE 旋轉(zhuǎn)60°解：（1）有結(jié)論：BE=CF，證明如下：在DABE和DACF中，AB=

26、AC,ÐABE=ÐACF=60°, DÐBAE=ÐBAC-ÐEAC=60°-ÐEAC=ÐEAF-ÐEAC=ÐCAF，DABEDACF,BE=CF（2）仍有BE=CF，理由如下：在DABE和DACF中，AB=AC,ÐABE=ÐACF=60°, B C 圖（）ÐBAE=ÐBAC+ÐCAE=60°+ÐCAE=ÐEAF+ÐCAE=ÐCAF,DABEDACF,BE=CF【說(shuō)明】、由于將本

27、題和正六邊形的“60°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”恰當(dāng)?shù)芈?lián)系了起來(lái)，使對(duì)原問(wèn)題形成了居高臨下的認(rèn)識(shí)，思考與解決起來(lái)自然就輕松自如了。、其實(shí)，等腰直角三角形的“90°的旋轉(zhuǎn)重合性”（見(jiàn)關(guān)節(jié)四的介紹），也是由正方形的“90°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”衍生出來(lái)的，因?yàn)榈妊苯侨切慰梢钥醋魇钦叫蔚摹耙话搿薄?、?shù)學(xué)學(xué)習(xí)（包括解題）的能力，很多重要的一個(gè)方面便是善于發(fā)現(xiàn)和歸納總結(jié)出具有統(tǒng)攝作用的規(guī)律和原理，這樣的規(guī)律和原理越多，越有大的統(tǒng)攝面，便說(shuō)明知識(shí)掌握的越深刻，應(yīng)用起來(lái)便越靈活、越有效。- 9 -2、當(dāng)背景圖形出現(xiàn)“兩組等邊做成有公共頂點(diǎn)的等角”時(shí)先看例子：例3 如圖（1），DABC和DCE

28、F是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連結(jié)AF和BE。AF F F C C C B（1） 2）（3）E EE（1）線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）將圖（1）中的DCEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖（2），（1）中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說(shuō)明理由；（3）將圖（1）中的DABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，畫出變換后的圖形，（1）中的結(jié)論是否成立？（4）根據(jù)以上的活動(dòng)，歸納你的發(fā)現(xiàn)。【觀察與思考】我們將（3）所要求的圖形也畫出來(lái)，如圖（3），仔細(xì)地觀察這三個(gè)圖形容易發(fā)現(xiàn)共同的關(guān)系：繞點(diǎn)C逆時(shí)針 DACF 旋轉(zhuǎn)60°重合于DBCE。當(dāng)然這三種情況都有AF=BE。解

29、：（1）有結(jié)論：AF=BE，證明如下：在DACF和DBCE中，AC=BC,FC=EC,ÐACF=ÐBCE=60°，DACFDBCE,AF=BE（2）AF=BE這一結(jié)論仍然成立，理由是：在DACF和DBCE中，AC=BC,FC=EC，ÐACF=ÐACB-ÐFCB=60°-ÐFCB=ÐFCE-ÐFCB=ÐBCE，DACFDBCE,AF=BE（3）如圖（3），AF=BE這一結(jié)論也是成立的，（我們也寫出理由）。在DACF和DBCE中，AC=BC,FC=EC，ÐACF=ÐAC

30、B+ÐBCF=60°+ÐBCF=ÐFCE+ÐBCF=ÐBCE，DACFDBCE,AF=BE（4）只要兩個(gè)等邊三角形DABC和DCEF有公共頂點(diǎn)C，不論兩個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)至怎樣的位置，總有AF=BE。- 10 -【說(shuō)明】事實(shí)上，在本題的（1），（2），（3）這三種情況中，始終保持了CA=CB（一組等邊）CF=CE（又一組等邊）ÐACF=ÐBCE（兩組等邊構(gòu)成有公共頂點(diǎn)C的等角），這就保證了DACF和DBCE可以旋轉(zhuǎn)重合，即全等。一般地，當(dāng)像本題這樣由“兩組等邊做成有公共頂點(diǎn)的等角”，就提供了旋轉(zhuǎn)重合的基礎(chǔ)，由此可以導(dǎo)出一

31、些規(guī)律的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系。請(qǐng)你研究下題：如圖，已知ÐABC=ÐDBE=90°，DB=EB,AB=CB。 （1）求證：AD=CE,ADCE；（2）若DDBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到DABC的外部，其他條件不變， 則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。3、當(dāng)背景圖形出現(xiàn)“有公共端點(diǎn)的等線段”時(shí) 先看例子：E例4 如圖，直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC,AD=2,BC=3，作DEDC，且取DE=DC，連結(jié)AE，則DADE的面積為（ ）A、1 B、2 C、3 D、不能確定 B【觀察與思考】關(guān)鍵是求出DADE中邊AD上的高，注意到在背景圖形 中有DE=DC，它們是相等的線

32、段，且有公共頂點(diǎn)D，這就具備了旋轉(zhuǎn) 重合的前提，若作DFBC于點(diǎn)F，EGAD，交AD的延長(zhǎng)線于G，則 繞點(diǎn)D逆時(shí)針RtDDCFRtDDEG 則旋轉(zhuǎn)90°EDCEEG=CF=1,SDADE=解：應(yīng)選A。AB×EG=´2´1=1 22BGFC【說(shuō)明】由DG=DE,且ÐCDE=90°，看到RtDDCF和RtDDEG的“90°旋轉(zhuǎn)重合”關(guān)系，是本題獲解的關(guān)鍵。因此，當(dāng)圖中出現(xiàn)“有公共端點(diǎn)的等線段時(shí)”，應(yīng)聯(lián)想“旋轉(zhuǎn)變換”。- 11 -4、當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，就要考慮如何運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)問(wèn)

33、題得以更好的解決。例5 如圖，在DABC中，AB=BC,將DABC點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到DAB1C1，使點(diǎn)C1落在直線BC上，（點(diǎn)C1與點(diǎn)C不重合），判斷邊AB1和邊CB的位置關(guān)系，并給出證明?！居^察與思考】直觀感覺(jué)像是有AB1/CB，沿著這一猜想去思考。B據(jù)AB=BC,和DABC旋轉(zhuǎn)至DAB1C1，立刻有ÐB1AC1=ÐB1C1A=ÐBAC=ÐC。C1C而AC旋轉(zhuǎn)至AC1，且C1在BC上，就得到ÐAC1C=ÐC。兩者結(jié)合就有ÐB1AC1=ÐAC1C，這不就是AB1/CB的保證嗎！解：有結(jié)論AB1/CB。（證明略

34、）【說(shuō)明】在本題中，關(guān)鍵是用到DAB1C1由DABC旋轉(zhuǎn)得到，及點(diǎn)C1在BC上，且AC1由AC旋轉(zhuǎn)得到，總之，把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)當(dāng)作條件充分利用，是這類題目獲解的保證。圖形性質(zhì)與圖形間關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，既要借助于推理，但更要借助于直覺(jué)和觀察，變換的意識(shí)與變換的視角，會(huì)使這種直覺(jué)更敏銳、使這種觀察更具眼力。' A練習(xí)題 1、 已知，如圖，DABCDA'B'C',AM=A'M,BE和B'F一定相等嗎？ 對(duì)判斷說(shuō)明理由。2、已知：如圖，OP是ÐAOC和ÐBOD的平分線，OA=OC,OB=OD。 求證：AB=CD。- 12 -BB'NCC'ABDCP3、如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，以斜邊AB為一邊作等邊三角形ABD，使點(diǎn)D，C在AB的同側(cè)，再以CD為一邊作等邊三角形CDE，使E，C在AD的異側(cè)，若AE=