外測度的性質與計算

1、江西師范大學數學與信息科學學院學士學位論文外測度的性質與計算The properties and calculation of the outermeasure姓 名：學 號：學 院：數學與信息科學學院專 業(yè)：數學與應用數學 指導老師:完成時間:江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文外測度的性質與計算【摘要】Lebesgue外測度是Lebesgue積分的基礎,本論文主要論述了它的一些 性質及相關的計算首先,給出了 Lebesgue外測度的定義；接著,指出和證明了外 測度具有的非負性、單調性、次可數可加性、距離可加性、平移不變性這五大主 要性質；同時給出了外測度的介值定理和一些其他的性質，并討論了在

2、一般情況下，外測度不具備可數可加性；然后討論了可數集的外測度的性質，著重寫出可數 集的外測度具有可數可加性；最后是與外測度計算相關的一些例題【關鍵詞】Lebesgue外測度，次可數可加性，距離可加性。1江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文The properties and calculation of the outside measure【abstract 】 Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related

3、 calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distanee additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer mea

4、sure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties un der the meaning of gen eral point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of coun table set, and emphatically write that outer measure of coun ta

5、ble set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computati on.【keywords 】Lebesgue outer measure, Seco nd coun table additive property , Dista nee additive property2江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文目錄1引言 12 Lebesgue夕卜測度的定義 13 一般集的外測度的性質 23.1非負性 23.2單調性 23.3次可數可加性 23.4距離可加性 23.5平

6、移不變性 43.6對外測度有限可加性及可數可加性的研究 43.7外測度的介值定理 63.8外測度的其他性質 74可測集的外測度 85外測度的計算 106小結 11參考文獻 123江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文外測度的性質與計算1引言在19世紀時,數學家們已經認識到，僅有連續(xù)函數與Riemann積分的古典理 論已不足以解決數學分析中的許多問題，為了克服Riemann積分在理論上的局限 性,必須改造原有的積分定義，建立一種新型積分.19世紀下半葉，不少分析學家 進行一系列擴充長度和面積概念的探索,逐漸形成測度概念，1898年,Borel建立 了一維Borel點集的測度，法國數學家Lebesgu

7、e在1902年他的博士論文長度、 面積和積分中系統(tǒng)的建立了測度論，并成功的建立起新的積分理論-Lebesgue 積分（1915年,法國數學家弗雷歇提出在一般 匚代數上建立測度，開始創(chuàng)立抽象 測度理論,1918年,意大利數學家Caratheodory關于外測度的研究，對于現代形 式測度理論的形成起了關鍵作用.）.Riemann積分忽視了函數的變化而只從定義 域方面劃分小區(qū)域來構造積分和，這樣做的結果是將大量的函數排除在 Riemann 可積函數類之外；Lebesgue積分不是從分割自變量的區(qū)域而是從分割函數值域 著手構造積分和.例設f x在la,b 1上有界，滿足m ： f x : M ,作分割

8、m = y° " “2 <' 5 = M令Eixy/f x ： %,a乞xb：i =1,2/ n ，則對應于上面分割的積分和為n二：*mE ,其中mE為點集Ei的長度，這種積分的優(yōu)點在于可以取 y、- y很小,i 1使得積分和的近似程度很高，它將積分對象從Riemann可積函數類擴充到更大一 類函數一一可測函數類.積分和計算的關鍵是點集Ei的度量，對于通常的區(qū)間Ei 的度量就是區(qū)間的長度或體積，而對于一般的點集的度量就不是一件簡單的事 情，它涉及到在Rn中如何建立一般點集的一種度量方案，這就是 Lebesgue外測 度與測度理論。Lebesgue外測度是對Rn

9、中一般的點集E給出的一種度量，是長 度、面積和體積等概念的推廣，是Lebesgue積分的基石，所以對其性質和計算的 研究是非常重要的，下文即是對Lebesgue外測度的性質與計算的一些研究.2 Lebesgue外測度的定義定義1我們稱n維空間R1中的點集I = U,X2，xg ：x、：b,i =1,2/ n：為 開區(qū)間，其中aibi i =（1,2，n）為常數（因此空集也是開區(qū)間，此時需某4=6）. 當Xi滿足的條件分別改為ai Xi bi和ai : x、一 bi時，相應的點集分別稱為閉區(qū) 間和左開右閉區(qū)間.而數丨；（bi-ai）稱為這三種區(qū)間的體積，記作I .i £cQ設E Rn,

10、若I K是R1中可數個開區(qū)間，使得EI k,則稱Ik是E的一個k =1可數開覆蓋,顯然,E的每一個可數開覆蓋的體積和確定了一個非負廣義數（即可取有限數或+:）.QOIkzk =1定義2 稱inf 送lk|L 是E的可數開覆蓋？為點集E的Lebesgue外測度, 簡稱外測度,記作n*Ek.-注：上述定義中E的開覆蓋中開區(qū)間的個數可以是有限的，因為Ik可以取作 空集.3 一般集的外測度的性質3.1非負性定理1 非負性：m*E亠0, m*?=0證明由定義可直接推出.3.2單調性定理2 單調性：若E1E2,則m*Em*E2°°Ikk =1m E1nfQOkk證明 設I k是E2的可

11、數開覆蓋,則它也是E1的可數開覆蓋.因此_ I ”一 E2 = m E2J3.3次可數可加性定理3次可數可加性：QO m* （ Et）_、k =1"QOmk 二 1Ek證明對于任意；0及每一正整數k,由外測度定義,存在Ek的可數開覆蓋foOcd虹七,使得EkU U I. r Z Il =1 .,I i =1k,l< m E_k2kk =1,2,，由此得oOk/0k'lJkzk, l =1lk,lQO-x m E.； k=1 k3江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文#江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文OCOl k,lU Ek I蘭送m* Ek + e ,由名的 <k

12、=1丿 k =1是U E.的可數開覆蓋,從而有mk,l -1 k=1 kf oC、oO任意性，得m* U Ek乞無m*Ek、k#丿k =13.4距離可加性定理4 距離可加性： 設E1,E2是R1中的點集，若它們的距離? e1,e2 0，則m* E1 E2 = m*E1 m*E2分析由次可加性,對R1中任意兩個點集El和E2,總有m E1E2_ m E1 m E2因此只需證明m*E1 E2 _m*E1 m*E2由外測度定義,如果Ei E2的任意可數開覆蓋,能夠分解為Ei和E2的開覆蓋, 而且這兩個開覆蓋中沒有公共區(qū)間即可.顯然這點一般是做不到的，但是由于Ei 和E之間有正距離,所以當我們選擇Ei

13、 E2的開覆蓋,使其中的區(qū)間充分小時,分 解成Ei和E2的沒有公共開區(qū)間的開覆蓋就能做到.引理i設E Rn,對任意正數:.,令r oO00m)E =i nf *IlkU Ik二E,每個Ik的邊長仝 kAJ貝U有 m$E =m*E證明：由于邊長小于：的區(qū)間所構成的開覆蓋是E的開覆蓋的一部分，故 mE Zm* E.下證m)E v m*E.不妨設m*E £畑.由外測度定義,對任意e > 0 ,存 在E的可數開覆蓋I k 使得0遲 |lk| 蘭m*Ek壬對每個k,把Ik分割成l(k個開區(qū)間：lk,i,lk,2,，lk,i(k它們互不相交且每個開區(qū) 間的邊長都小于2.現保持每個I ki的

14、中心不動,邊長擴大 城i<扎血 倍作出新的2開區(qū)間,記為Xl k.i.顯然對每個k,有l(wèi)kki曲i Wi W易知Sk,i i=i2，l(k)k=i,2,是E的邊長小于§的可數開覆蓋,且有oCi l(k)送送九I k,ii co=lk 蘭富(m*E +k=i從而可知 mE蘭九n(m*E+名)令i,由名的任意性，得m*EEm*E因此 m：E=m*E外測度距離可加性的證明：由分析可知,只需證明m* E1 E2 _m*E1 m*E2,設m* E1 E :.對任 意；.0,由引理1,作Ei E2得可數開覆蓋 U,使得oO送 Ik £m*(EiUE2 )七k4其中每個I k的邊長

15、都小于Ei，E2 /, n .顯然可將 很分為兩組Ik1和勺k2】使得 EjuU if)E2uU l)kk由于I k的邊長都小于"E1,E2 / . n ,故I k的直徑小于! :i：E1, E2 ,因此以上兩 組開區(qū)間中的每個開區(qū)間不能同時含有 E1和E2中的點，從而mEAJEIL |lklAm*E1+m*E2kkk再由；的任意性，即得m* E1 E2 _m*E1 m*E2。距離可加性得證3.5平移不變性定理5 平移不變性：設E Rn,xRn,令E+*0X E則m* E 、Xo f 二 m*E證明：由開區(qū)間的性質可知，對任意的開區(qū)間I Rn ,有I =Xo?= I ,于是對 于E的

16、任意覆蓋k二經平移后即k 'xo X是E+ x0的一個覆蓋,從而有qQqQm(E +<Xo)蘭E I k +'xo卜送 |lkk=1k=1故m* E % ；亞m* E ，又E+xo f+L-xo上E可得m*E乞m* E g。命題得證。3.6對外測度有限可加性及可數可加性的研究有限可加性：當 A B二？時,m* A B = m*A m*B/ oO 、 cO可數可加性：當 EfEj"(iHj)時,m* U £ =H m*Ei7 =± 丿 i =±顯然，可數可加性蘊含有有限可加性.由距離可加性可以知道，如果Ei,E2是Rn中點集，若它們的

17、距離El, E2 0，則 m* EE-m*E1 m*E2對任意 Ei,Ej u Rn（i, j =1,2,，）若 皓匸）>0（i 幻）,有 m* 隠 eA£ m*Ek （kA丿 k£即當點集間滿足正距離時，它們的外測度有可加性，如果沒有正距離的條件時 外測度是否仍然有可加性呢？對于開區(qū)間（0,1）中的任意點x,令Rx=fc|<1-x有理數，由于X壬Rx, 故Rx非空.引理2對任意x,y0,1 ,或者Rx = Ry,或者RxRy =證明 設a Rx Ry,則a-x,a-y都是有理數.于是對任意匚5 Rx-y =- x 亠x - a廣a - y也是有理數，故一 Ry

18、,所以RxRy,同理可證RyRx,所以Rx = Ry命題得證.顯然，0,1 =Rx，其中有些Rx與Ry是相等的，由于每個Rx都是可數集，所以x0,1 ）0,1分解為不可數個互不相交的這樣的Rx的并,從每個Rx中選取一個元素構成集合 W.由于 Rx = i：0,1，故W 二 i0,1 .記-1,1內所有的有理數為SR,，G,.令Wn，xx 二rn,W：；n =1,2,顯然g -1,2 ,由外測度的平移不變性，m*Wn二m*W,n=1,2，引理3 對上面構造的W有以下性質（1）當 m = n 時，Wm Wn =cd（2）0,1二.Wnn j證明（1）若Wm舛=,m = n,設t Wm Wn,貝Ut

19、 = 1 * G , t = 2rn, i, W，所以' 2 = rn - G為有理數,故】和為同一個R中的元素，由W的作法知，1 =；,則rrn,與已知矛盾.（2）對任意x0,1 ,設Rx W,則，-X是有理數,且一于是存在正整數m,使rm = x - .從而X仝 Wm所以0,1WnnA定理6 Lebesgue夕卜測度不具備有限可加性和可數可加性.od證明設m*W = a _0 ,則 m*Wi 二 a,n =1,2，.若 a=0,由于 0,1 j二、.Wn,由次可n加性有 1=m*0,1乞a m*Wn=0矛盾，故a>0.如果外測度是有限可加的，則n 二/ Nm U WiNN+

20、m*Wn =Na，但Wn-1,2，所以Wn-1,2，故n =1n Tf N、Na=m* U 舛蘭 m* -1,2)=3 l心丿上式對一切N成立，矛盾.所以外測度不具有有限可加性，將上面證明中的N改為:，則可證外測度不具有可數可加性。3.7外測度的介值定理外測度的介值定理：設E為實直線的有界子集，m*E 0,則對任意小于m*E的正 數 C,均有 E1 E,使 m*E1 =C.證明：因為E為有界集，所以可以在a,bl-E上定義函數f x = m* E a,x】， 顯然，當X,y a,b|xy時，E a,xHE a,yl,依外測度的單調性，有 f x - f y ,故知f是a,b】上的單調增加函數.

21、任取x a,b與h 0 ,使x a,b 1,依外測度性質，得f x h - f x = m* E 咕,x h I - m* E b,x 】m* E a,x 丨 m* E x, x h 丨-m* E 'a,x 1=m* E I X, x h 1 乞 m* lx, x h 1 =h故f在X處右連續(xù)，類似可證f在X處左連續(xù),從而得f在a,b 1上連續(xù).由fa =0, f b = m*E, f a乞C m f b ,則依閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理， 知存在：a,b ,使fC,即m*(E 'a, he,取集合巳二E'a/ 1,則有E- E,且 m E1 = C .3.8外測度的其

22、他性質1若m* Ai；=0,則對任意點集B,有m* A Bi；=m* B .證明：因為B - i：A B，依單調性，有m* B <m* A m* A m* B 所以 m* B = m* A B。2 若 m* EE2 =m*E2巳=0,則 m*E1E2=m*E1E2=m*巳=m*E2證明：因為m*E1E2=0,E1二E2E21,故m* E1 - m* E1 E2 Lm* E2 二 m*(E2)又 m* E2E1=0,E2I E1E2E11，故 m*E2<m*E2巳 m* 巳二m*(EJ，于是證得m (EJ =m (E2)因為巳 E2 二E1E2 E2E1E1E2,則m*E1E2<

23、;m*E1E2又 E1E2 i二>：E1E2 ,有 m*E1E2<m*E1E2，所以m* E1 E2 二 m* E1 E2又E1二舊 E2 , E1 E2巳,結合上式可得m*E1<m*E1E2二 m*E1E2乞 m*E1綜上可得 m* E1 E2 二 m* 巳 E2 二 m* E1 二 m* E23 設A,B是Rn中的兩個點集，且m*A,m*B£°°證明：，m*(A)-m*(B卜m*(AB ) 其中 A. ：B 二 A B B A證明：因為A B A B 1, A I：A B，由外測度的次可加性與單調性,得m* A _ m* B i 亠 m*AB

24、 _ m*B i 亠 m* A二 B由m*B ：，故不等式兩邊同時減去m*B ,得m* A - m* B< m*A B類似可得 m* B?-m* A < m* A B ,綜合即得 m* A - m* B _ m* Al B4 設 A,B,C 是 Rn 中的點集，且 m* A，B=O,m* B，C=O,證明：m* AC =0證明：只需證明A C A B B C，即A C C A AB B A；【L：】.B C C B 1先證(A C) A B B C .當A C時，A但 xC,此時,若x B,則x 三 iA B ;若 x B,貝Vx 三 iB C ,所以 x- iA B r B C

25、,即(A C)二A B B C類似可證 C A=C B B C綜合即證A.'C二A.lBB C ,則m* A C < m* I A BB. C b m* A B m* B C AO所以 m* ACAO5 設f : R2 > R2是旋轉變換，則對-E 5 R2都有m*E =m* f E 證明見參考文獻9 4可測集的外測度定義3設E Rn,若對任意的點集T Rn,有m* T二m* T E m* T EC，則 稱E為Lebesgue可測集，簡稱可測集.可測集的外測度稱為它的Lebesgue測度, 簡稱測度,記作mE.可測集的性質:(1)(2)(3)(4)引理''為

26、可測集,m：，=0 ;若E為可測集,則EC為可測集；若E,F為可測集,則E F,E F,E F都為可測集；qQqQ若Ei i =1,2， 為可測集,則 Ej,巳也是可測集.4若對任意A,B, A B=：.：,有m* A B = m*A m*B，則對任一列互不相交 oOU Ej =送 m*Ei .丿證明：由條件易得m的尼：有m* U Ejm*Ej,k = 2,3,，由外測度的單調性,有占丿/QOu Eif k>mKJ Eik-. *二 m Eii =1/oOoC由于k是任意的，令k > :,即得m* U Ei王£ m*Ei，由外測度的次可加性得廠 QO 、 oOU Ej蘭瓦

27、 m*Ej所以 m* U Ej =送 m*Ej.72可測集的外測度具有可數可加性定理7若Ei為可測集,i =1,2/ , EiEji = j ,則有<od 、 OOm U Ej =E mEi2i4證明：不妨在 乜中取Ei,E2,由Ei為可測集可知,對任意集T,有m* T = m* T E1 m* T E1C取 T-巳E2 得m*E1E2二 m*巳E2E1m*E1E2EC即m E1 E2 = mE1 mE2 由引理4得<O0、 com U 巳=遲 mEi(y 丿14江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文#江西師范大學11屆學士學位畢業(yè)論文定理8設匕？是可測集序列，且Ei Ei 1,i =

28、1,2，.則limEi也是可測的，且m lim Ei = lim mEii 廠iqQ證明：因為lim Ej二Ei ,故lim Ej可測.若存在l,使mE| = ：,則結論顯然成立. jj 總j >：現設mEi ： =,i =1,2，.由Ei 的單調性及可測性,Ei/與Ei - Ei 4均可測且不相 交,所以有mEj m Ej -EiJAmEJ =2,3，由于mEj ：匸：,所以mEi -mE=m Ei - 昭，i =2,3,QOQO令E。，則|im Ei二Ei二 Ei - E.，由可數可加性，有<Q0'"i Ti Ti(呵上)=m U (Ej-Eg )=送 mE-

29、Eix) = lim 近(mEk-mEk/)= lim mEi_類似的性質還有：若有遞減可測集合列 巳二E2Ek,且mE_,則m lim Ek 二 lim mEk k ， k k ，k5外測度的計算例1在R1中,設E是0,1中的有理數全體，證明：m* E =0.證：依定義,m*(E)0 . v z >0,記 E= ( ng,，rn),令Ik =山 - ；/2k1,rk ；/2宀)，貝U m (IJ = ；/2k .由于 E Ik ,所以kA&m(lk)八；/2k =；.依外測度定義又有 m*(E± ；.故綜合可知m* E =0.并由 k 4k 4此得,對可列點集E,有m

30、* E =0.例2證明：0,1中的康托爾集C的外測度是零.qQ證明 因為C二Fn (由康托爾集的構造過程知，Fn是2n個長度為3的閉k 4區(qū)間之并集)，故m*(C)乞m*(Fn)乞2n3，-nN.從而得 m*(C)=0.例3若k是1與n之間的某個整數,a是某實常數，并記E -(X1,X2,.Xn): Xk =a, : x： f,i = k?,則 E 是 Rn 中的零測集.證明 對丨 N,記 E|,a =(xx2 ，xj: xk =a,-1 <:< cl,i Hk,qQ顯然，E=U Ei,a.滿足m*(E)=0的集稱Lebesgue零測集,簡稱零測集,零測l T集的子集是零測集，有限個或可列個零測集之并仍是零測集.所以只要證Ei是零 測集.-；0,取開區(qū)間I l =(X1,X2,人):_22丨7g匸：& : a2(2丨)n-l “ ：l,i ,顯然，Elll,且 m(h)二；.由；的任意性知，m*( EJ =0,故 m*( E) = 0.例4證明：0,1中無理數集的外測度為1.證明：設