待定系數(shù)法分解因式含答案

1、待定系數(shù)法分解因式待定系數(shù)法作為最常用的解題方法，可以運(yùn)用于因式分解、確定方程系數(shù)、解決應(yīng)用問(wèn)題等各種場(chǎng)合。其指導(dǎo)作用貫穿于初中、高中甚至于大學(xué)的許多課程之中，認(rèn) 真學(xué)好并掌握待定系數(shù)法，必將大有裨益。將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的方程或方程組，其后通過(guò)解方程或方程組便 可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定 系數(shù)法。本講主要介紹待定系數(shù)法在因式分解中的作用。同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)解題的技巧。這一部分中，通過(guò)一系列題目的因式分解過(guò)程，同學(xué)們要學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解時(shí)的方法，步驟，技巧

2、等。例1分解因式-十思路1因?yàn)樗栽O(shè)原式的分解式是.，1 ?'-'然后展開(kāi)，利用多項(xiàng)式的恒等，求出m,n, 的值。比較系數(shù)，得.mn=l5由、解得把'代入式也成立。+ 乂 ：，| ：;, - | -；：-*； 一 - J -':思路2前面同思路1，然后給x,y取特殊值，求出 m,n的值。解法2因?yàn)閒所以可設(shè)因?yàn)樵撌绞呛愕仁?，所以它?duì)所有使式子有意義的x,y都成立，那么無(wú)妨令1| 得迸町=-：'令.，| -一 得 一 匚逬 一 ：-：一 1 二'解、得 J ' 或 ' - _ “ - - 二把它們分別代入恒等式檢驗(yàn)，得;.；'

3、;+ 叮-!' I - '|-) + : I / +-' I說(shuō)明：本題解法中方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，必須把求得的值代入多余的方 程逐一檢驗(yàn)。若有的解對(duì)某個(gè)方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程 組無(wú)解，則說(shuō)明原式不能分解成所設(shè)形成的因式。例 2 分解因式:/ 二'- 一二:思路本題是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個(gè)二次式之 積。解設(shè)二-:Fa+ b = -1 (D由恒等式性質(zhì)有：ab+ 6=4b =由、解得1 -I代入中，式成立。說(shuō)明若設(shè)原式_I由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程組無(wú)解，故設(shè)原式-+ I -例3在關(guān)于x的二次三項(xiàng)

4、式中，當(dāng)丁 =：時(shí)，其值為0;當(dāng)? = - 時(shí)，其值為0;當(dāng)丁= I 時(shí)，其值為10，求這個(gè)二次三項(xiàng)式。思路1先設(shè)出關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的表達(dá)式，然后利用已知條件求出各項(xiàng)的系數(shù)?？?考慮利用恒待式的性質(zhì)。解法1設(shè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式為“匸 .把已知條件分別代入，得a-i- b+ c = 0(D?a+3b+ c = 04a + 2b + c- 0故所求的二次三項(xiàng)為丄，:思路2根據(jù)已知亠一時(shí)，其值0這一條件可設(shè)二次三項(xiàng)式為- -:-1然后 再求出a的值。解法2由已知條件知當(dāng) -I 時(shí)，這個(gè)二次三項(xiàng)式的值都為0,故可設(shè)這個(gè)二次三項(xiàng)式為"-.；把工=二代入上式，得：1解得=:故所求的二次三項(xiàng)式為

5、-人-即廣說(shuō)明要注意利用已知條件，巧設(shè)二次三項(xiàng)式的表達(dá)式。例4已知多項(xiàng)式二一:/ 昭7的系數(shù)都是整數(shù)。若 門(mén)十是奇數(shù)，證明這個(gè)多項(xiàng)式 不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。思路先設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，然后利用已知條件及其 他知識(shí)推出這種分解是不可能的。證明：設(shè)：一 +-+；. -】< -'-:- J-（ m, n,r 都是整數(shù)）。比較系數(shù)，得因?yàn)?:.是奇數(shù)，則匚-二與d都為奇數(shù)，那么 mr也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得出m,r也都是奇數(shù)。在式中令丁 =：，得 |一.|由-,一是奇數(shù)，得.： .L是奇數(shù)。而 m為奇數(shù)，故：-翼是偶數(shù)，所以是偶數(shù)。這樣的左邊是奇數(shù)，右邊

6、是偶數(shù)。這是不可能的。因此，題中的多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。說(shuō)明：所要證的命題涉及到“不能”時(shí)，常?？紤]用反證法來(lái)證明。例5已知- j - ' .-能被t 一整除，求證：/-1思路：可用待定系數(shù)法來(lái)求展開(kāi)前后系數(shù)之間的關(guān)系。證明：設(shè).展開(kāi)，比較系數(shù)，得C由、，得，代入、得匸-1例6若a是自然數(shù)，且 _；的值是一個(gè)質(zhì)數(shù)，求這個(gè)質(zhì)數(shù)思路：因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只能分解為1和它本身，故可用待定系數(shù)法將多項(xiàng)式分解因式，且使得因式中值較小的為1，即可求a的值。進(jìn)而解決問(wèn)題。解：由待定系數(shù)法可解得由于a是自然數(shù)，且L/-.- L.;'-是一個(gè)質(zhì)數(shù)， 顯二.丄 .i| J 一解得'二

7、當(dāng)八：時(shí)，、-）”不是質(zhì)數(shù)。當(dāng)一、.二:時(shí)，- -是質(zhì)數(shù)。_/ d 1亠汀 j. =11.練習(xí)A級(jí)1、分解因式宀測(cè)二.2、若多項(xiàng)式 女丄心-幻'+工+" I能被3-y +4整除，貝U n=.3、 二次三項(xiàng)式當(dāng)二=1時(shí)其值為-3，當(dāng)工=時(shí)其值為2,當(dāng) f 時(shí)其值為5,這個(gè)二次三項(xiàng)式是.4、m,n是什么數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式.Y1'譏.能被寸 二-整除？B級(jí)5、 多項(xiàng)式 加+2貯_,斗女-弘從能分解為兩個(gè)一次因式的積，貝Uk=.6、若多項(xiàng)式 瀘-5護(hù)T1X *也* 5能被（x-1）3整除，貝U朋+甸=.7、 若多項(xiàng)式當(dāng)兀1,2時(shí)的值均為0,則當(dāng)x=時(shí)，多項(xiàng)式的值也是0。8、 求證：

8、-廠-不能分解為兩個(gè)一次因式的積。 參考答案或提示：1. . -'： ' /提示：設(shè)原式.1 '： . 比較兩邊系數(shù)，得fat = 4,由、解得將丄'代入式成立。原式-. 1 11 -12、-4提示：設(shè)原式 I 4 :- 1 ? 1 .比較系數(shù)，得由、解得- i代入得：?=-3、二 7 j提示：設(shè)二次三項(xiàng)式為： '!'把已知條件代入，得。=3,解得ib-4.e = -2,kI所求二次三項(xiàng)式為-人 二J4. 快 一11/ 4比較系數(shù)，得.當(dāng)m=-11, n=4已知多項(xiàng)式能被 f 整除。5. -2提示：設(shè)原式=3 + 2xy-y2 + （必 4 3m）x + （遇一疏）_y + 腴何.比較系數(shù)，得6. -7提示：設(shè)原式 -f - I： ' -比較系數(shù)，得 -11, 解得