新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座第33講_圓錐曲線方程及性質(zhì)222

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué) 人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(講座33圓錐曲線方程及性質(zhì)一.課標(biāo)要求:1.了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用;2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程,掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì);3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。二.命題走向本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容,也是高考重點考查的內(nèi)容,在每年的高考試卷中一般有23道客觀題,難度上易、中、難三檔題都有,主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì),從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例

2、,且選擇題、填空題和解答題都涉及到,客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法。對于本講內(nèi)容來講,預(yù)測07年:(11至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題,主要是求值問題;(2可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應(yīng)用,結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。三.要點精講1.橢圓(1橢圓概念 平面內(nèi)與兩個定點1F 、2F 的距離的和等于常數(shù)(大于21|F F 的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若M 為橢圓上任意一點,則有21|2MF MF a+=。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:22221x y a b +=(0a b >>

3、;(焦點在x 軸上或12222=+b x a y (0a b >>(焦點在y 軸上。注:以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222c a b =-;在22221x y a b +=和22221y x a b +=兩個方程中都有0a b >>的條件,要分清焦點的位置,只要看2x 和2y 的分母的大小。例如橢圓221x y m n +=(0m >,0n >,m n 當(dāng)m n >時表示焦點在x 軸上的橢圓;當(dāng)m n <時表示焦點在y 軸上的橢圓。(2橢圓的性質(zhì)范圍:由標(biāo)準(zhǔn)方程22221x y a b +=知|x a ,|y b ,

4、說明橢圓位于直線x a =±,y b=±所圍成的矩形里;對稱性:在曲線方程里,若以y -代替y 方程不變,所以若點(,x y 在曲線上時,點(,x y -也在曲線上,所以曲線關(guān)于x 軸對稱,同理,以x -代替x 方程不變,則曲線關(guān)于y 軸對稱。若同時以x -代替x ,y -代替y 方程也不變,則曲線關(guān)于原點對稱。所以,橢圓關(guān)于x 軸、y 軸和原點對稱。這時,坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸,原點是對稱中心,橢圓的對稱中心叫橢圓的中心;頂點:確定曲線在坐標(biāo)系中的位置,常需要求出曲線與x 軸、y 軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令0x =,得y b =±,則1(0,B b -,

5、2(0,B b 是橢圓與y 軸的兩個交點。同理令0y =得x a =±,即1(,0A a -,2(,0A a 是橢圓與x 軸的兩個交點。 所以,橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個,這四個交點叫做橢圓的頂點。同時,線段21A A、21B B分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別為2a 和2b ,a 和b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知:橢圓的短軸端點到焦點的距離為a ;在22Rt OB F 中,2|OB b =,2|OF c =,22|B F a =,且2222222|OF B F OB =-,即222c a c =-;離心率:橢圓的焦距與長軸的比c e a =叫橢圓的離心率

6、。0a c >>,01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,從而b 就越小,對應(yīng)的橢圓越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,從而b 越接近于a ,這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b =時,0c =,兩焦點重合,圖形變?yōu)閳A,方程為222x y a +=。2.雙曲線(1雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線(12|2PF PF a -=。 注意:(*式中是差的絕對值,在1202|a F F <<條件下;12|2PF PF a -=時為雙曲線的一支(含2F 的一支;21|2PF PF a -=時為雙曲線的另一支(含1F

7、的一支;當(dāng)122|a F F =時,12|2PF PF a -=表示兩條射線;當(dāng)122|a F F >時,12|2PF PF a-=不表示任何圖形;兩定點12,F F 叫做雙曲線的焦點,12|F F 叫做焦距。 范圍:從標(biāo)準(zhǔn)方程12222=-b y a x ,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍:雙曲線在兩條直線ax ±=的外側(cè)。即22a x ,ax 即雙曲線在兩條直線a x ±=的外側(cè)。對稱性:雙曲線12222=-b y a x 關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的,這時,坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸,原點是雙曲線12222=-b y a x 的對稱中心,雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。

8、頂點:雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線12222=-b y a x 的方程里,對稱軸是,x y 軸,所以令0=y 得a x ±=,因此雙曲線和x 軸有兩個交點0,(0,(2a A a A -,他們是雙曲線12222=-b y a x 的頂點。令0=x ,沒有實根,因此雙曲線和y 軸沒有交點。1注意:雙曲線的頂點只有兩個,這是與橢圓不同的(橢圓有四個頂點,雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2實軸:線段2A A 叫做雙曲線的實軸,它的長等于2,a a 叫做雙曲線的實半軸長。虛軸:線段2B B 叫做雙曲線的虛軸,它的長等于2,b b 叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線:注意到開課之

9、初所畫的矩形,矩形確定了兩條對角線,這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看,雙曲線12222=-b y a x 的各支向外延伸時,與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線:1定義:實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式:a b =;2等軸雙曲線的性質(zhì):(1漸近線方程為:x y ±= ;(2漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一,即可推知雙曲線為等軸雙曲線,同時其他幾個亦成立。3注意到等軸雙曲線的特征a b =,則等軸雙曲線可以設(shè)為:0(22=-y x ,當(dāng)0>時交點在x 軸,當(dāng)0<時焦點在y 軸上。注意191622=-y x 與2219

10、16y x -=的區(qū)別:三個量,a b c 中,a b 不同(互換c 相同,還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。3.拋物線(1拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F 和一條定直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F 不在定直線l 上。定點F 叫做拋物線的焦點,定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程(022>=p px y 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意:它表示的拋物線的焦點在x 軸的正半軸上,焦點坐標(biāo)是F (2p,0,它的準(zhǔn)線方程是2p x -= ;(2拋物線的性質(zhì)一條拋物線,由于它在坐標(biāo)系的位置不同,方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式:px y 22-=,py x 22=,p

11、y x 22-=.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表: 的特點:有一個頂點,一個焦點,一條準(zhǔn)線,一條對稱軸,無對稱中心,沒有漸近線;(3注意強(qiáng)調(diào)p 的幾何意義:是焦點到準(zhǔn)線的距離。四.典例解析題型1:橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程例1.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1兩個焦點的坐標(biāo)分別是(4,0-、(4,0,橢圓上一點P 到兩焦點距離的和等于10;(2兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0,2-、(0,2,并且橢圓經(jīng)過點35(,22-;(3焦點在x 軸上,:2:1a b =,c = (4焦點在y 軸上,225a b +=,且過點(; (5焦距為b ,1a b -=;(6橢圓經(jīng)過兩點35(,2

12、2-,。 解析:(1橢圓的焦點在x 軸上,故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221x y a b +=(0a b >>,210a =,4c =,2229b a c =-=,所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為221259x y +=。(2橢圓焦點在y 軸上,故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221y x a b +=(0a b >>,由橢圓的定義知, 2a =, 10a =,又2c =,2221046b a c =-=-=,所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為221106y x +=。(3c =2226a b c -=, 又由:2:1a b =代入得2246b b -=, 22b =,28a =,又焦點在x 軸上,所

13、以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22182x y +=。 (4設(shè)橢圓方程為22221y x a b +=,221b =,22b =,又225a b +=,23a =,所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22132y x +=.(5焦距為6,3c =,2229a b c -=,又1a b -=,5a =,4b =,所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2212516x y +=或2212516y x +=.(6設(shè)橢圓方程為221x y m n +=(,0m n >,由2235(221351m n m n -+=+=得6,10m n =,所以,橢圓方程為221106y x +=.點評:求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義,還要知道橢圓中一

14、些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。例2.(1(06山東已知橢圓中心在原點,一個焦點為F (-23,0,且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。(2(06天津理,8橢圓的中心為點(10E -,它的一個焦點為(30F -,相應(yīng)于焦點F 的準(zhǔn)線方程為72x =-,則這個橢圓的方程是( A.222(121213x y -+= B.222(121213x y +=C.22(115x y -+=D.22(115x y += 解析:(1已知222222242,161164(b a b c y x a a b cF =+=-=-為所求; (2橢圓的中心為點(1,0,E -它的一個焦點為(3,0,F - 半

15、焦距2c =,相應(yīng)于焦點F 的準(zhǔn)線方程為7.2x =- 252a c =,225,1a b =,則這個橢圓的方程是22(115x y +=,選D 。點評:求橢圓方程的題目屬于中低檔題目,掌握好基礎(chǔ)知識就可以。題型2:橢圓的性質(zhì)例3.(1(06山東理,7在給定橢圓中,過焦點且垂直于長軸的弦長為2,焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為( (A2 (B22 (C 21(D42(2(1999全國,15設(shè)橢圓2222b y ax +=1(a >b >0的右焦點為F 1,右準(zhǔn)線為l 1,若過F 1且垂直于x 軸的弦的長等于點F 1到l 1的距離,則橢圓的離心率是 。解析:(1不妨設(shè)橢圓

16、方程為22221x y a b +=(a >b >0,則有2221b a c a c =-=,據(jù)此 求出e =22,選B 。(221;解析:由題意知過F 1且垂直于x 軸的弦長為a b 22, c c a a b -=222,c a 12=,21=a c ,即e =21。點評:本題重點考查了橢圓的基本性質(zhì)。例4.(1(2000京皖春,9橢圓短軸長是2,長軸是短軸的2倍,則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是( A.43B.554C.358D.334(2(1998全國理,2橢圓31222y x +=1的焦點為F 1和F 2,點P 在橢圓上.如果線段PF 1的中點在y 軸上,那么|PF 1|是|PF

17、 2|的( A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析:(1D ;由題意知a =2,b =1,c =3,準(zhǔn)線方程為x =±c a 2,橢圓中心到準(zhǔn)線距離為334.(2A ;不妨設(shè)F 1(-3,0,F 2(3,0由條件得P (3,±23,即|PF 2|=23,|PF 1|=2147,因此|PF 1|=7|PF 2|,故選A 。點評:本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想,具有較強(qiáng)的思辨性,是高考命題的方向。 題型3:雙曲線的方程例5.(1已知焦點12(5,0,(5,0F F -,雙曲線上的一點P 到12,F F 的距離差的絕對值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2求與橢圓221255x

18、y +=共焦點且過點的雙曲線的方程; (3已知雙曲線的焦點在y 軸上,并且雙曲線上兩點12,P P 坐標(biāo)分別為9(3,2,(,54-,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析:(1因為雙曲線的焦點在x 軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221x y a b-=(0,0a b >>, 26,210a c =,3,5a c =,2225316b =-=。所以所求雙曲線的方程為221916x y -=;(2橢圓221255x y +=的焦點為-,可以設(shè)雙曲線的方程為22221x y a b -=, 則2220a b +=。又過點,221821a b -=。 綜上得,2220a b =-=22 1=。 點評:

19、雙曲線的定義;方程確定焦點的方法;基本量,a b c 之間的關(guān)系。(3因為雙曲線的焦點在y 軸上,所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0,0y x a b ab -=>>點12,P P 在雙曲線上,點12,P P 的坐標(biāo)適合方程。 將9(3,54- 分別代入方程中,得方程組:2222222(319(2541ab a b -=-=將21a 和21b 看著整體,解得221116119a b=, 22169a b =即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為221169y x -=。點評:本題只要解得22,a b 即可得到雙曲線的方程,沒有必要求出,a b 的值;在求解的過程中也可以用換元思想,可能會看的

20、更清楚。例6.(06上海卷已知雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標(biāo)為(3,0,且焦距與虛軸長之比為5:4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解析:雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標(biāo)為(3,0,則焦點在x 軸上,且a=3,焦距與虛軸長之比為5:4,即:5:4c b =,解得5,4c b =,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是221916x y -=;點評:本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識以及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,更為直觀簡捷。 題型4:雙曲線的性質(zhì)例7.(1(06福建卷已知雙曲線12222=-b y a x (a >0,b <0的右焦點為F ,若過點F 且傾斜角為60°

21、;的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是( A.( 1,2B. (1,2C.2,+D.(2,+(2(06湖南卷過雙曲線M:2221y x b -=的左頂點A 作斜率為1的直線l ,若l 與雙曲線M 的兩條漸近線分別相交于B 、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M 的離心率是 ( C.3 D.2(3(06陜西卷已知雙曲線 - =1(a>的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為( A.2 B. C. D.解析:(1雙曲線22221(0,0x y a b a b -=>>的右焦點為F ,若過點F 且傾斜角為60o 的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則

22、該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率ba ,ba3,離心率e2=22222c a ba a+=4,e2,選C。(2過雙曲線1:222=-byxM的左頂點A(1,0作斜率為1的直線l:y=x-1, 若l與雙曲線M的兩條漸近線222yxb-=分別相交于點1122(,(,B x yC x y, 聯(lián)立方程組代入消元得22(1210b x x-+-=,1221222111x xbx xb+=-=-,x1+x2=2x1x2,又|BCAB=,則B為AC中點,2x1=1+x2,代入解得121412xx=-,b2=9,雙曲線M的離心率 e=ca=,選A。(3雙曲線22212x ya-=(a> 的兩條漸

23、近線的夾角為,則2tan6a=,a2=6,雙曲線的離心率為,選D。點評:高考題以離心率為考察點的題目較多,主要實現(xiàn)cba,三元素之間的關(guān)系。例8.(1(06江西卷P是雙曲線22x y1916-=的右支上一點,M、N分別是圓(x+52+y2=4和(x-52+y2=1上的點,則|PM|-|PN|的最大值為(A. 6B.7C.8D.9(2(06全國卷I雙曲線221mx y+=的虛軸長是實軸長的2倍,則m=A.14-B.4-C.4D.14(3(06天津卷如果雙曲線的兩個焦點分別為0,3(1-F、0,3(2F,一條漸近線方程為xy2=,那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是(A.36B.4C.2D.1解析:(1設(shè)雙

24、曲線的兩個焦點分別是F1(-5,0與F2(5,0,則這兩點正好是兩圓的圓心,當(dāng)且僅當(dāng)點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大,此時|PM|-|PN| =(|PF1|-2-(|PF2|-1=10-1=9故選B。(2雙曲線221mx y+=的虛軸長是實軸長的2倍,m<0,且雙曲線方程為2214x y -+=, m=14-,選A 。(3如果雙曲線的兩個焦點分別為0,3(1-F 、0,3(2F ,一條漸近線方程為x y 2=,229a b b a +=,解得2236a b =,所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是222a c =,選C 。 點評:關(guān)于雙曲線漸近線、準(zhǔn)線及許多距離問題也是

25、考察的重點。題型5:拋物線方程例9.(1焦點到準(zhǔn)線的距離是2;(2已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F(0,-2,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析:(1y 2=4x ,y 2=-4x ,x 2=4y ,x 2=-4y ;方程是x 2=-8y 。點評:由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,且每一種形式中都只含一個系數(shù)p ,因此只要給出確定p 的一個條件,就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后,它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了;若拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定,則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會有多解。題型6:拋物線的性質(zhì)例10.(1(06安徽卷若拋物線22y px =的焦點與橢圓22162x y +=的右焦點重合,則

26、p的值為( A .2-B .2C .4-D .4(2(浙江卷拋物線28y x =的準(zhǔn)線方程是( (A 2x =- (B 4x =- (C 2y =- (D 4y =-(3(06上海春拋物線x y 42=的焦點坐標(biāo)為( (A 1,0(. (B 0,1(. (C 2,0(. (D 0,2(解析:(1橢圓22162x y +=的右焦點為(2,0,所以拋物線22y px =的焦點為(2,0,則4p =,故選D ;(22p =8,p =4,故準(zhǔn)線方程為x =-2,選A ; (3(直接計算法因為p=2 ,所以拋物線y 2=4x 的焦點坐標(biāo)為 。應(yīng)選B 。點評:考察拋物線幾何要素如焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的題目根據(jù)定義直接計算機(jī)即可。例11.(1(全國卷I 拋物線2y x =-上的點到直線4380x y +-=距離的最小值是( A .43B .75C .85 D .3(2(2002全國文,16對于頂點在原點的拋物線,給出下列條件: 焦點在y 軸上; 焦點在x 軸上;拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6;拋物線的通徑的長為5； 由原點向過焦點的