數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座 第10講 應(yīng)用問題選講

1、數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座第10講 應(yīng)用問題選講我們知道，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科。我們在學(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識打下一個基礎(chǔ)，更重要的是為了現(xiàn)在和將來運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決一些日常生活、科學(xué)實驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟活動中所遇到的實際問題。運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本思路是：先將這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題（我們稱之為建立數(shù)學(xué)模型），然后解答這個數(shù)學(xué)問題，從而解決這個實際問題。即：這里，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步。也就是說，要通過審題，將實際問題與自己學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來，將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學(xué)問題，然后解答這個數(shù)學(xué)問題。下面介紹一些典型的數(shù)學(xué)模型

2、。一、兩個量變化時，和一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，和始終保持不變，那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當它們相等時，積最大。這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的。例1 農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應(yīng)是多少？解：如上圖，設(shè)長方形的長和寬分別為x米和y米，則有x2y1.2×2024。長方形的面積為因為x和

3、2y的和等于24是一個定值，故它們的乘積當它們相等時最大，此時長方形面積S也最大。于是有x=12， y6。例2 如果將進貨單價為40元的商品按50元售出，那么每個的利潤是10元，但只能賣出500個。當這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤，售價應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個商品售價為（50+x）元，則銷量為（500-10X）個。總共可以獲利（50x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60為一定值，故當10+X=50X即X=20時，它們的積最大。此時，每個的銷售價為5020=70（元）。

4、例3 若一個長方體的表面積為54厘米2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應(yīng)為多少厘米？解：設(shè)長、寬、高分別為x，y，z厘米，體積為V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因為V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故當 xy=yz=zx即 x=y=z=3時，V2有最大值，從而V也有最大值。例4 有一塊長24厘米的正方形厚紙片，在它的四個角各剪去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應(yīng)為幾厘米？解：如上圖，設(shè)剪去的小正方形的邊長為x厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x）（24-2x） =2×2x（

5、12-x）（12-x）。因為2x+（12-x）+（12-x）=24是一個定值，故當2x=12-x12-x，即x=4時，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。二、兩個量變化時，積一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當它們相等時，和最小。例5 長方形的面積為 144 cm2，當它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？解：設(shè)長方形的長和寬分別為 xcm和 ycm，則有xy144。故當x=y=12時，x+

6、y有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值。例6 用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm3，長方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則有xyz216。鐵絲長度的和為 4（x y z），故當 xy=z6時，所用鐵絲最短。例7 農(nóng)場計劃挖一個面積為432 m2的長方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側(cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應(yīng)為多少？解：如圖所示，設(shè)水池的長和寬分別為xm和ym，則有xy432。占地總面積為 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+4

7、80。我們知道6y ×8X=48×432為一定值，故當6y=8X時，S最小，此時有6y=8X=144，故y=24，x=18。例8 某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名學(xué)生，老師打算組織學(xué)生集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名學(xué)生，每次的包車費均為40元。若要使每個同學(xué)游8次，每人最少交多少錢？解：設(shè)一共買了X張卡，一共去游泳y次，則共有Xy=48×8=384（人次），總用費為（240x40y）元。因為 240x ×40y=240×40

8、15;384是一定值，故當 240x=40y，即y=6x時，和最小。易求得x=8，y=48。此時總用費為240×840×48=3840（元），平均每人最少交 3840÷48=80（元）。三、利用不等關(guān)系來解答的應(yīng)用題例9 某公司在A，B兩地分別庫存有某機器16臺和12臺，現(xiàn)要運往甲、乙兩家客戶的所在地，其中甲方15臺，乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運費為500元，到乙方的運費為400元，從B地運一臺到甲方的運費為300元，到乙方的運費為600元。已知運費由公司承擔(dān)，公司應(yīng)設(shè)計怎樣的調(diào)運方案，才能使這些機器的總運費最?。拷猓涸O(shè)由A地運往甲方x臺，則A地運往乙方

9、（16-x）臺，B地運往甲方（15-x）臺，B地運往乙方（x3）臺。于是總運價為：S=500x+400（16-x）300（15-x）+600（x-3） 400x+9100。顯然，x要滿足不等式3x15，于是當x=3時，總運價最省，為 400× 3 9100=10300（元）。調(diào)運方案為：由A地運往甲方3臺，A地運往乙方13臺，B地運往甲方12臺，B地運往乙方0臺。例10 某校決定出版“作文集”，費用是30冊以內(nèi)為80元，超過30冊的每冊增加1.20元。當印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50元以內(nèi)？解：顯然印刷的冊數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了（30x）冊，于是總用費為（80+1.2x）元。

10、故有80+1.2x1.5 ×（30+x），以內(nèi)。例11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳40；第二種含錳10，含鎳90；第三種含銅20，含錳50，含鎳30?，F(xiàn)各取適當數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳45的新合金，重量為1千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設(shè)第一種合金用量為x千克，第二種合金用量為y千克，第三種合金用量為z千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到

11、0.5克。（2）由可得z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40（2y-0.5）10y50（1.5-3y）0.55-0.6y。因為0.25y0.5，所以0.25S0.4，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個，每個由三根長為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求（不計損耗）？解：每根原材料的切割有下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1

12、.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 4214291=86（根）。練習(xí)10 1銷售某種西服，當每件售價為100元時可售出1000件。如果定價每下降1，那么銷售量將提高0.5，又知道這批西服是每件80元成本購進的。問：應(yīng)如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為4m2的窗戶，當ab的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最?。?有一個長為 80cm、寬為40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為64000m3。在建造時，槽底的造價是四壁的2倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時，造價

13、最?。?A城有化肥 200噸，B城有化肥 300噸，現(xiàn)要將化肥運往C，D兩村。已知從A城運往C，D兩村的運價分別是每噸20元和25元，從B城運往C，D兩村的運價分別是每噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務(wù)，請你幫他算一算，如何調(diào)運才能使運費最??？6有兩個學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分數(shù)都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分（滿分為100分）。7某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?，F(xiàn)在做100套鋼筋架子，至少要用去長為7300毫米的鋼筋多少根

14、？8下表所示為X，Y，Z三種食品原料的維生素含量（單位：單位/千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克，那么請定出X，y，Z的值，使得成本為最少。練習(xí)101.91元。解：設(shè)定價為每件（100-x）元，則銷售量為1000（1+0.5x）件。利潤為（100-x-80）×1000（1+0.5x）=500×（20-x）（2+x）。因為（20-x）+（2+x）=22為一定值，故當20-x=2+x即x=9時利潤最高。此時每件定價為100-9=

15、91（元）。2.23。解：窗戶的框架長為 3a+2b，而 ab=4是一個定值，從而3a×2b=6ab=24也是一個定值，故當3a=2b即ab=23時窗戶框架所用材料最省。3.32000cm3解：設(shè)木盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則它的容積為V=xyzcm3。因為xy+2xz+2yz=40×80=3200為一定值，故它們的積xy×2xz×2yz=4（xyz）2=4V2，在xy=2xz=2yz時最大，從而V也最大，此時有x=y=2z。經(jīng)計算得x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作為木盒

16、的底面，再將剩下的一半分成 20 cm×40 cm大小的四等份，每份作為木盒的一個側(cè)面就可以了。4.11。解：設(shè)四壁的造價是a元/m2，則底面造價為2a元/m2。又設(shè)其底面邊長為xm，高為ym，則有x2y=64000。總造價為a×4xy+2a×x2 =2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因為xy×xy×x2=（x2y）2=640002為一定值，故當xy=xy=x2即xy=11時，總造價最省。5.解：設(shè)A城化肥運往C村x噸，則運往D村（200-x）噸；B城化肥運往C村（220-x）噸，運往D村（80+x）噸，總運費y元，則y=20x+

17、25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0x200，故當x=0時，運費最省，為10060元。運輸方案如下：A城化肥運往C村0噸，運往D村200噸；B城化肥運往C村220噸，運往D村80噸。6.98，94。解：設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y=5×90=450。于是y=450-4x。顯然90y100，故90450-4x100，解得87.5x90。于是兩個學(xué)生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分）。7.90根。解：每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法：290×2+150×1=7300， 210×2+150×2=7200， 210×2+290×2=7100。 設(shè)按方案截得的鋼筋有x根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z根，則長為290，210，150毫