數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座 第10講 應(yīng)用問題選講_第1頁
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文檔簡介

1、數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座第10講 應(yīng)用問題選講我們知道,數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科。我們在學(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的,一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識打下一個基礎(chǔ),更重要的是為了現(xiàn)在和將來運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決一些日常生活、科學(xué)實驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟活動中所遇到的實際問題。運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本思路是:先將這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題(我們稱之為建立數(shù)學(xué)模型),然后解答這個數(shù)學(xué)問題,從而解決這個實際問題。即:這里,建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步。也就是說,要通過審題,將實際問題與自己學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來,將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學(xué)問題,然后解答這個數(shù)學(xué)問題。下面介紹一些典型的數(shù)學(xué)模型

2、。一、兩個量變化時,和一定的問題兩個變化著的量,如果在變化的過程中,它們的和始終保持不變,那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢?觀察下面的表:我們不難得出如下的規(guī)律:兩個變化著的量,如果在變化的過程中,和始終保持不變,那么它們的差越小,積就越大。若它們能夠相等,則當它們相等時,積最大。這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的。例1 農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出,所建雞窩的高度不得低于2米,要使雞窩面積最大,長方形的長和寬分別應(yīng)是多少?解:如上圖,設(shè)長方形的長和寬分別為x米和y米,則有x2y1.2×2024。長方形的面積為因為x和

3、2y的和等于24是一個定值,故它們的乘積當它們相等時最大,此時長方形面積S也最大。于是有x=12, y6。例2 如果將進貨單價為40元的商品按50元售出,那么每個的利潤是10元,但只能賣出500個。當這種商品每個漲價1元時,其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤,售價應(yīng)定為多少?解:設(shè)每個商品售價為(50+x)元,則銷量為(500-10X)個。總共可以獲利(50x-40)×(500-10x)=10×(10+X)×(50-X)(元)。因(10+x)+(50x)=60為一定值,故當10+X=50X即X=20時,它們的積最大。此時,每個的銷售價為5020=70(元)。

4、例3 若一個長方體的表面積為54厘米2,為了使長方體的體積最大,長方體的長、寬、高各應(yīng)為多少厘米?解:設(shè)長、寬、高分別為x,y,z厘米,體積為V厘米3。2(xyyz+zx)=54,xyyz+zx=27。因為V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),故當 xy=yz=zx即 x=y=z=3時,V2有最大值,從而V也有最大值。例4 有一塊長24厘米的正方形厚紙片,在它的四個角各剪去一個小正方形,就可以做成一個無蓋的紙盒,現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大,剪去的小正方形的邊長應(yīng)為幾厘米?解:如上圖,設(shè)剪去的小正方形的邊長為x厘米,則紙盒的容積為V=x(24-2x)(24-2x) =2×2x(

5、12-x)(12-x)。因為2x+(12-x)+(12-x)=24是一個定值,故當2x=12-x12-x,即x=4時,其乘積最大,從而紙盒的容積也最大。二、兩個量變化時,積一定的問題兩個變化著的量,如果在變化的過程中,它們的乘積始終保持不變,那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢?觀察下面的表:我們不難得出如下的規(guī)律:兩個變化著的量,如果在變化的過程中,乘積始終保持不變,那么它們的差越小,和就越小。若它們能夠相等,則當它們相等時,和最小。例5 長方形的面積為 144 cm2,當它的長和寬分別為多少時,它的周長最短?解:設(shè)長方形的長和寬分別為 xcm和 ycm,則有xy144。故當x=y=12時,x+

6、y有最小值,從而長方形周長2(xy)也有最小值。例6 用鐵絲扎一個空心的長方體,為了使長方體的體積恰好是216cm3,長方體的長、寬、高各是多少厘米時,所用的鐵絲長度最短?解:設(shè)長方體的長、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則有xyz216。鐵絲長度的和為 4(x y z),故當 xy=z6時,所用鐵絲最短。例7 農(nóng)場計劃挖一個面積為432 m2的長方形養(yǎng)魚池,魚池周圍兩側(cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示,要想占地總面積最小,水池的長和寬應(yīng)為多少?解:如圖所示,設(shè)水池的長和寬分別為xm和ym,則有xy432。占地總面積為 S=(x6)(y8)cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+4

7、80。我們知道6y ×8X=48×432為一定值,故當6y=8X時,S最小,此時有6y=8X=144,故y=24,x=18。例8 某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡,每張240元,使用規(guī)定:不記名,每卡每次只限一人,每人只限一次。某班有48名學(xué)生,老師打算組織學(xué)生集體去游泳,除需購買若干張游泳卡外,每次游泳還需包一輛汽車,無論乘坐多少名學(xué)生,每次的包車費均為40元。若要使每個同學(xué)游8次,每人最少交多少錢?解:設(shè)一共買了X張卡,一共去游泳y次,則共有Xy=48×8=384(人次),總用費為(240x40y)元。因為 240x ×40y=240×40

8、15;384是一定值,故當 240x=40y,即y=6x時,和最小。易求得x=8,y=48。此時總用費為240×840×48=3840(元),平均每人最少交 3840÷48=80(元)。三、利用不等關(guān)系來解答的應(yīng)用題例9 某公司在A,B兩地分別庫存有某機器16臺和12臺,現(xiàn)要運往甲、乙兩家客戶的所在地,其中甲方15臺,乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運費為500元,到乙方的運費為400元,從B地運一臺到甲方的運費為300元,到乙方的運費為600元。已知運費由公司承擔(dān),公司應(yīng)設(shè)計怎樣的調(diào)運方案,才能使這些機器的總運費最?。拷猓涸O(shè)由A地運往甲方x臺,則A地運往乙方

9、(16-x)臺,B地運往甲方(15-x)臺,B地運往乙方(x3)臺。于是總運價為:S=500x+400(16-x)300(15-x)+600(x-3) 400x+9100。顯然,x要滿足不等式3x15,于是當x=3時,總運價最省,為 400× 3 9100=10300(元)。調(diào)運方案為:由A地運往甲方3臺,A地運往乙方13臺,B地運往甲方12臺,B地運往乙方0臺。例10 某校決定出版“作文集”,費用是30冊以內(nèi)為80元,超過30冊的每冊增加1.20元。當印刷多少冊以上時,每冊費用在1.50元以內(nèi)?解:顯然印刷的冊數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了(30x)冊,于是總用費為(80+1.2x)元。

10、故有80+1.2x1.5 ×(30+x),以內(nèi)。例11 現(xiàn)有三種合金:第一種含銅60,含錳40;第二種含錳10,含鎳90;第三種含銅20,含錳50,含鎳30?,F(xiàn)各取適當數(shù)量的這三種合金,組成一塊含鎳45的新合金,重量為1千克。(1)求新合金中第二種合金的重量的范圍;(2)求新合金中含錳的重量的范圍。解:設(shè)第一種合金用量為x千克,第二種合金用量為y千克,第三種合金用量為z千克,依題意有(1)如果不取第一種合金,即x=0,那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金,即z=0,那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到

11、0.5克。(2)由可得z1.5-3y,x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40(2y-0.5)10y50(1.5-3y)0.55-0.6y。因為0.25y0.5,所以0.25S0.4,即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個,每個由三根長為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3米。問:至少要買回多少根原材料,才能滿足要求(不計損耗)?解:每根原材料的切割有下表的七種情況:顯然,三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根,可得2.3米、1

12、.7米、1.3米的材料各100根,共用原材料 4214291=86(根)。練習(xí)10 1銷售某種西服,當每件售價為100元時可售出1000件。如果定價每下降1,那么銷售量將提高0.5,又知道這批西服是每件80元成本購進的。問:應(yīng)如何定價才能使獲利最大?2下圖是一個面積為4m2的窗戶,當ab的值是多少時,窗戶的框架所用的材料最?。?有一個長為 80cm、寬為40cm的木板,要以它為原材料做一個無蓋的木盒,應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大?最大的容積是多少?4某廠要建造一個無蓋的露天水槽,其底為正方形,容量為64000m3。在建造時,槽底的造價是四壁的2倍,這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時,造價

13、最?。?A城有化肥 200噸,B城有化肥 300噸,現(xiàn)要將化肥運往C,D兩村。已知從A城運往C,D兩村的運價分別是每噸20元和25元,從B城運往C,D兩村的運價分別是每噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務(wù),請你幫他算一算,如何調(diào)運才能使運費最???6有兩個學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測驗,他們的平均分數(shù)不同,但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測驗,這樣5次的平均分數(shù)都提高到了90分,求第5次測驗二人的得分(滿分為100分)。7某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?,F(xiàn)在做100套鋼筋架子,至少要用去長為7300毫米的鋼筋多少根

14、?8下表所示為X,Y,Z三種食品原料的維生素含量(單位:單位/千克)及成本:現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物,要求混合物至少需含44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克,那么請定出X,y,Z的值,使得成本為最少。練習(xí)101.91元。解:設(shè)定價為每件(100-x)元,則銷售量為1000(1+0.5x)件。利潤為(100-x-80)×1000(1+0.5x)=500×(20-x)(2+x)。因為(20-x)+(2+x)=22為一定值,故當20-x=2+x即x=9時利潤最高。此時每件定價為100-9=

15、91(元)。2.23。解:窗戶的框架長為 3a+2b,而 ab=4是一個定值,從而3a×2b=6ab=24也是一個定值,故當3a=2b即ab=23時窗戶框架所用材料最省。3.32000cm3解:設(shè)木盒的長、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則它的容積為V=xyzcm3。因為xy+2xz+2yz=40×80=3200為一定值,故它們的積xy×2xz×2yz=4(xyz)2=4V2,在xy=2xz=2yz時最大,從而V也最大,此時有x=y=2z。經(jīng)計算得x=40,y=40,z=20。具體制作方式如下:先取原木板的一半(40cm×40cm)作為木盒

16、的底面,再將剩下的一半分成 20 cm×40 cm大小的四等份,每份作為木盒的一個側(cè)面就可以了。4.11。解:設(shè)四壁的造價是a元/m2,則底面造價為2a元/m2。又設(shè)其底面邊長為xm,高為ym,則有x2y=64000。總造價為a×4xy+2a×x2 =2a(2xy+x2)=2a(xy+xy+x2)。因為xy×xy×x2=(x2y)2=640002為一定值,故當xy=xy=x2即xy=11時,總造價最省。5.解:設(shè)A城化肥運往C村x噸,則運往D村(200-x)噸;B城化肥運往C村(220-x)噸,運往D村(80+x)噸,總運費y元,則y=20x+

17、25(200-x)+15(220-x)+22(80+x)=2x+10060。又易知0x200,故當x=0時,運費最省,為10060元。運輸方案如下:A城化肥運往C村0噸,運往D村200噸;B城化肥運往C村220噸,運往D村80噸。6.98,94。解:設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分,第5次的得分為y分,則其5次總分為4x+y=5×90=450。于是y=450-4x。顯然90y100,故90450-4x100,解得87.5x90。于是兩個學(xué)生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-4×88=98(分)和450-4×89=94(分)。7.90根。解:每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法:290×2+150×1=7300, 210×2+150×2=7200, 210×2+290×2=7100。 設(shè)按方案截得的鋼筋有x根,按方案截得的鋼筋有y 根,按方案截得的鋼筋有z根,則長為290,210,150毫

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