彈性力學試卷2007(答案)

1、 六、試用最小勢能原理推導平面應力問題的位移形式的平衡方程和相應的靜力邊界 條件。 （設該平面的厚度為 1 單位，不考慮體力） （15 分） 解：在平面應力狀態(tài)中，s t t 0 ，應力應變關系為： z = zy = zx = E E E sx = e n e ,s e n e ,t g x + y ) y = y + x ) xy = 2 ( 2 ( 1- n 1- n 2( 1+ n) xy 1 1 1 單位體積應變能為：W = se g x x + s ye y + t 2 2 2 xy xy 整個彈性體的應變能為： U =ò W dV ò ò 總勢能為：

2、P =U -L =ò W dV -L ò ò 最小勢能原理（設該平面的厚度為 1 單位，不考慮體力） ： E é 1- n ù d P =ò e n e d e e n e d e g g dxdy ( ( x + y ) x + y + x ) y + xyd xy ú ò 2 ê 1 - n 2 ë û A -ò Xd u+ Yd v) ds =0 ( Ss 考慮到 ¶ u ¶ ¶ ¶ ¶ d e d = d u,d e

3、d v ,d g d v+ d u x = y = xy = ¶ x ¶ x ¶ y ¶ x ¶ y 代入最小勢能原理并進行分部積分，利用格林公式，得： E ¶ ¶ 1- n¶ 1- n¶ d P =ò é ( e n e d uù + é ( e n e d vù + g v+ g u dxdy x + y ) y + x ) xyd xy d 2 ë û ë û ò 1- n ¶ x 

4、2; y 2 ¶ x 2 ¶ y A g g E ì ¶ ¶ 1- n ¶ 1- n ¶ xy xy ü -ò d u ( e n e +d v ( e n e + d v + d u dxdy x + y ) y + x ) ý ò 2 í 1- nî ¶ x ¶ y 2 ¶ x 2 ¶ y þ A -ò Xd u+ Yd v) ds ( Ss g E ì 1- n¶ é&#

5、182; xy =-ò e n e + ( x + y ) ò 2 í ê 1- nî ¶ x 2 ¶ y ë A g 1- n¶ ù é¶ xy ù ü d u +ê ( e n e + d vý dxdy y + x ) ú ¶ y 2 ¶ x ú û ë û þ 1- n 1- n æ E é ù ö æ

6、; E é ù ö +ò e n e l+ g -X ÷ d u +ç e n e m+ g - Y÷ d v ds ( ( ç x + y ) xy m ú y + x ) xy l ú 2 ê 2 ê 2 2 1- në 1- në û ø è û ø Ss è =0 由于 d u, d v 的任意性，有： 1+ n ¶æ ¶ u ¶ vö 1

7、+ n ¶æ ¶ u ¶ vö 2 平衡方程： Ñ u+ =0 ,Ñ2 v + =0 ç + ÷ ç + ÷ 1- n¶ xè ¶ x ¶ yø 1- n¶ yè ¶ x ¶ yø ¶ u ¶ v ¶ v ¶ u E æ ¶ v ¶ u ¶ v ¶ u 邊界條件： E 2 æ + n &#

8、246; l+ Gæ + ö m =X , + n ö m+ Gæ + ö l= Y ç ÷ ç ÷ ÷ ç 2 ç ¶ x ¶ y ¶ x ¶ y ¶ y ¶ x ¶ x ¶ y÷ 1- nè 1- nè ø è ø ø è ø 6 七、設sx =- px , s - 0.5n x ,t 0 ，式中 p、為

9、已知常數。試證明此解能滿足協(xié) y = xy = 調方程，并求出圖 3 所示矩形板內的體力及邊界上的面力（畫圖） 。 （15 分） 解： （1）應力需滿足應力協(xié)調方程： o Ñ2 sx + sy = 0 Ñ2 ( - px - 0.5n x) = 0 應力滿足應力協(xié)調方程。 （2）求板內體力：由平衡方程 0.5 l l ( ) A B y C h/2 h/2 D 圖3 -0.5 l t ¶ sx ¶ + yx +X =0 ¶ x ¶ y ¶ t ¶ s xy + y + Y =0 ¶ x ¶ y

10、æ t ö ¶ sx ¶ X =- + yx ÷ =p ç x ¶ y ø è¶ æ ¶ t ¶ s ö xy Y =- + y÷ =0 ç¶ ¶ y ø è x x -pl （3）求邊界上的面力：由邊界條件 sx l + t yx m =X t s Y xy l + ym = h AC 邊： y =- ,l =0 ,m =- 1 X =0 ,Y =0.5nx 2 h BD 邊： y = ,l =

11、0,m =1 X =0 ,Y =- 0.5n x 2 AB 邊： x =0 ,l =- 1,m =0 X =0 ,Y =0 CD 邊： x =l ,l =1,m =0 X =- pl ,Y =0 7 八、在平面應變問題中，以極坐標表示的應變分量與位移分量的關系為： ¶ ur 1¶ uq ur ¶ uq uq 1 ¶ ur e ,e + ,g - + ，試導出平面應變軸對稱情況 r = q= rq = ¶ r r ¶ q r ¶ r r r ¶ q 下的變形協(xié)調條件。 （15 分） 解：解法一： 對幾何方程求導，得變形協(xié)調條件： 2 2 2 ¶ e ¶ g ¶ e g ¶ e ¶ e ¶ q r rq r r + 2r q - r r - rq = 0 2 + 2 - ¶ r ¶ q ¶¶ r q ¶ r ¶ r ¶ q 2 對于軸對稱情況， g 0 ，應變分量與 無關，協(xié)調條件變?yōu)椋?rq = r2 d 2e de de q 2r q - r r = 0 2 + dr dr