《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§導(dǎo)集,閉集,閉包

1、§2.4 導(dǎo)集，閉集，閉包本節(jié)重點(diǎn)：熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同； 掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件.如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于 這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對(duì)它們進(jìn)行分類處理.定義2.4.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.如果點(diǎn)xX的每一個(gè)鄰域U中 都有A中異于x的點(diǎn)，即Un（ A-x）工二，則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn) 或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 A的導(dǎo)集，記作d（A） 如果xA 并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)

2、鄰域U使得Un（A-x）=匚，則稱x 為A的一個(gè)孤立點(diǎn).即:（牢記）疋/ 0¥卩芒乞刀仃（/ 町）=0在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無(wú)一例外地都依賴于它 所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)?因此，當(dāng)你在討論問(wèn)題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠?又談到某個(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對(duì)于哪個(gè)拓?fù)涠?，不容許產(chǎn)生任何混淆.由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)?的，因此類似于這里談到的問(wèn)題今后幾乎時(shí)時(shí)都會(huì)發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請(qǐng)讀者自己留心.某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過(guò)剛剛定義的這些概念， 但絕不要 以為對(duì)歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚

3、點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)一般的拓?fù)淇臻g 都有效以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象.例241 離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集.設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集.由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集 都是開(kāi)集，因此如果xX,則X有一個(gè)鄰域X，使得 匚二匸.-門4，以上論證說(shuō)明，集合A沒(méi)有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，從 而A的導(dǎo)集是空集，即d (A)二二.例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集.設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集.我們分三種情形討論：第1種情形：A二二.這時(shí)A顯然沒(méi)有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即d (A)二二.(可以參見(jiàn)定理中第(I )條的證明.)第2種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令A(yù) =如果x X，

4、點(diǎn)x只有惟 一的一個(gè)鄰域X,這時(shí)-:, 所以;因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即x d ( A).然而對(duì)于T的惟一鄰域X有： 二所以d (A) =X-A.第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè).請(qǐng)讀者自己證明這時(shí) X中的每一個(gè)點(diǎn)都是A的凝聚點(diǎn)，即d (A)= X.定理2.4.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.貝U(I ) d (二)=二;(2) A B 蘊(yùn)涵 d (A) d (B);(3) d (AU B)= d (A)U d ( B);(4) d (d (A) _ AU d ( A).證明 (1)由于對(duì)于任何一點(diǎn)x X和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U,有 un '、門 -'(2) 設(shè)A_B.如果，二廠:一謂&

5、#39; -：-''二-門這證明了 d( A) _ d( B).(3) 根據(jù)(2),因?yàn)?A, B_AU B,所以有 d (A), d (B) _ d (AU B),從而 d (A)U d ( B) _ d (AU B)另一方面，如果3UU,3UnA-(x) = 0?rn(5-x) = 0=>Dm Dn(Zu-«) = De(蟲(chóng)-u (B -(x)= (Z?n僅")u(D -(x)y)c (y n(-4- 對(duì))仏)-0.Z)n(j4u5 - x) = 0 n x毎= d(j4uE) <zd(A)<jd(B)綜上所述，可見(jiàn)(3)成立.(這是證

6、明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一方 法:要證_一，只要證即可.)(4) 設(shè)：X任 Mu吐& =卩隹 A3UeU. ? ynt-U) = 01兀丸WeU. yeT孑卩匚27=產(chǎn)門(衛(wèi)一") = 0丫石年盤(pán)= 0=5>VyerXn(J -(y) = 0 ve ?/'. VeVy ：.y dA),=薩門出(/) = 0；.Fn(rf(4) -(i) = 0：d(dA) n d(df) cAjd(A)即(4)成立.定義2.4.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于 A, 即d (A) _A,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集.例如，根據(jù)例241和例中的討

7、論可見(jiàn)，離散空間中的任何一個(gè)子集 都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集.定理242 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的 補(bǔ)集二是一個(gè)開(kāi)集.證明必要性：設(shè) A是一 一個(gè)閉集川,今開(kāi)蒞c AAx(3E/et/E/n(J4-U) = 0.UcyA = 0tU QAAfeT充分性：設(shè)：A e Tf¥x 隹耳 x e A,A q A = 0,An(A -x) = 0今 xg d(4)即A是一個(gè)閉集.例243 實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間.設(shè)a, b R, avb.閉區(qū)間a , b是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)閍 , b 的補(bǔ)集庇討二( -X, a)A( b

8、,x)是一個(gè)開(kāi)集.同理，(-x, a , b , X)都是閉集，(-x, x) = r顯然更是一個(gè)閉集.然 而開(kāi)區(qū)間(a, b)卻不是閉集，因?yàn)閍是(a, b)的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但a- (a, b).同 理區(qū)間(a, b , a , b),( - x, &)和(b,x)都不是閉集.定理2.4.3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.記F為所有閉集構(gòu)成的族.貝U:(1) X,二 F(2) 如果 A, B F,則 AUBE F(從而如果- -1 -1 -三-)(3) 如果:-：乞八在此定理的第(3)條中，我們特別要求二工：的原因在于當(dāng)二='-時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒(méi)有定義.證明 根據(jù)定理，我們有T=|U F

9、其中，T為X的拓?fù)?(1)v X,二 T,a -' ' -二；八(2) 若 A、B F,則(3) 令:T,=(AAe瑋二T、cTf=>仏AfeT.=門金"門屆昇'(u&討y e f定理證明完成.總結(jié)：(i)有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集，任意個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集其余情形不一 疋.(2)有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集其余情形不一定.定義2.4.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A X,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并AU d(A)稱為集合A的閉包,記作一或亠容易看出* ' ：'(注意：與x d(A)的區(qū)別)定理244拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件

10、是A= <證明：定理成立是因?yàn)椋杭螦為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A) _ A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=AJ d(A)定理2.4.5 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對(duì)于任意A,B X,有:(1) 0=0；蟲(chóng)c A:(3) A u B = ZuSs(4) 7 = A.證明(1)成立是由于二是閉集(2) 成立是根據(jù)閉包的定義.(3) 成立是因?yàn)?AuBud(A)ud(_B)= (Aud(A)u(B=AuB(4) 成立是因?yàn)? =AU d (A)U d (d (A)=AU d (A) =J在第(3)條和第(4)條的證明過(guò)程中我們分別用到了定理241中的第(3)條和第(4)條.定理2.4.6拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉

11、包都是閉集證明根據(jù)定理和定理2.4.5 (4)直接推得.定理2.4.7設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族,則對(duì)于X的每一個(gè)子集A,有久叩ieFJb顯即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交.證明 因?yàn)锳包含于- '',而后者是一個(gè)閉集，由定理245(4)與定理 有另一方面，由于是一個(gè)閉集，并且-，所以-'=-'-(“交”包含于形成交的任一個(gè)成員)綜合這兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式.由定理247可見(jiàn)，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含 A 的閉集之中，在這種意義下我們說(shuō)：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最 小的閉集.在度量空間中，集

12、合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過(guò)度量來(lái)刻畫(huà).定義245 設(shè)（X，p ） 一個(gè)度量空間.X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的距 離p （x, A）定義為p （x，A）= inf p （x，y） |y A根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見(jiàn)：p （x，A）二0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)& >0,存在yA使得p （x，y）< £，換言之即是：對(duì)于任意B （x，£ ） 有B （x， £ ） A Am ，而這又等價(jià)于：對(duì)于 x的任何一個(gè)鄰域 U有UP Am -， 應(yīng)用以上討論立即得到.定理249 設(shè)A是度量空間（X, p ）中的一個(gè)非空子集則（1） x d （A）當(dāng)且僅

13、當(dāng) p （x，A-x ） =0;（2）x當(dāng)且僅當(dāng)p （x，A）= 0.以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了 另外的手段.定理2.4.10 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X -Y則以下條件等價(jià)：（I ） f是一個(gè)連續(xù)映射；（2）丫中的任何一個(gè)閉集B的原象/（B）是一個(gè)閉集；（3）對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 對(duì)于丫中的任何一個(gè)子集B, B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 0盼麗.證明 （1）蘊(yùn)涵（2）.設(shè)B_Y是一個(gè)閉集則:是一個(gè)開(kāi)集，因此根 據(jù)（1）, 心）5冊(cè) 是X中的一個(gè)開(kāi)集，因此"（B）是X中的一個(gè)閉集.（2）蘊(yùn)涵（3）設(shè)A_X.由于f（A）'