物理競賽輔導(dǎo)力學(xué)講座ppt課件

1、二體問題二體問題 兩物體僅在內(nèi)力作用下運(yùn)動，稱為二體問題。二體問題又兩物體僅在內(nèi)力作用下運(yùn)動，稱為二體問題。二體問題又分為束縛問題與散射問題兩大類。這里先介紹二體散射問題，分為束縛問題與散射問題兩大類。這里先介紹二體散射問題，包括碰撞、合并和分裂問題。包括碰撞、合并和分裂問題。 在這些問題中，我們僅限于討論直線運(yùn)動。在這些問題中，我們僅限于討論直線運(yùn)動。彈性碰撞非彈性碰撞合并非彈性碰撞分裂處理這類問題的思路如下：1.在碰撞、合并和分裂問題中，內(nèi)力起作用的時間很短：不外是瞬間碰撞、瞬間爆炸分裂或瞬間碰撞后合并。在所考慮的短暫瞬間內(nèi)，即使有外力如重力），其作用也可忽略，因而系統(tǒng)動量守恒。即系統(tǒng)質(zhì)心

2、的速度、動量和動能守恒；2.機(jī)械能是否守恒問題，應(yīng)作如下考慮： （1作用力是瞬間起作用的，不是保守力，沒有勢。機(jī)械能就是動能。 （2按科尼希定理，系統(tǒng)動能Ek=系統(tǒng)質(zhì)心動能EC+系統(tǒng)相對于其質(zhì)心的動能。由于EC是守恒量，問題化為系統(tǒng)在質(zhì)心系內(nèi)動能是否守恒的問題。二體直線運(yùn)動系統(tǒng)在C系中的動能表示式在在C系中，系中，C點(diǎn)的坐標(biāo)恒為零：點(diǎn)的坐標(biāo)恒為零：L系C系m1, m2 在兩個坐標(biāo)在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：系中的坐標(biāo)：L系：系：x1 , x2C系：系： 1 ， 2 m2相對于相對于m1的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：m2相對于相對于m1的速度：的速度：1212xxr(1)1212xxrvr(2)0212211mmm

3、mC(3)C210 xm2x1x2xCrm1即即(3(3式的分子為零：式的分子為零：02211mm（4）其時間導(dǎo)數(shù)也為零：其時間導(dǎo)數(shù)也為零：02211mm（5）C21L系C系0 xm2x1x2xCrm1在在L L系中，質(zhì)心坐標(biāo)為：系中，質(zhì)心坐標(biāo)為：質(zhì)心速度為：質(zhì)心速度為：212211mmxmxmxC（6）212211mmxmxmxvCC（7）由由2 2式式 和和(5)(5)式聯(lián)立解出兩物體在式聯(lián)立解出兩物體在C C系中系中的速度：的速度：12 rv引入折合質(zhì)量引入折合質(zhì)量: :rvm22（10）rrvmmmmmvmmm221212112)()(rrvmmmmmvmmmmm12121212212

4、1)(2121mmmm（8）rvm11（9）兩物體在兩物體在C系中的速度簡化為：系中的速度簡化為：系統(tǒng)在系統(tǒng)在C C系中的動能便是：系中的動能便是：2221222222122212112rrr2r121C,kvvmmvm2mvm2m2m2mE系（1111）重要結(jié)論：二體系統(tǒng)在C系中的動能，等于一個等價質(zhì)點(diǎn)的動能該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為折合質(zhì)量，速率為二體相對速度 。(11)在二體問題中應(yīng)用甚廣。rv將將1111代入柯尼希定理，即得二體系統(tǒng)動能的一般表示式：代入柯尼希定理，即得二體系統(tǒng)動能的一般表示式：1.1.相對運(yùn)動速率相對運(yùn)動速率 不變者，機(jī)械能守恒。此稱完全彈性碰撞；不變者，機(jī)械能守恒。此稱完全彈性碰

5、撞； 變小但尚未減為零者，機(jī)械能減小。此稱非彈性碰撞；變小但尚未減為零者，機(jī)械能減小。此稱非彈性碰撞；在合并問題中，在合并問題中， 減為零，機(jī)械能損失最大。此稱完全非彈性減為零，機(jī)械能損失最大。此稱完全非彈性碰撞；碰撞；4.4.在分裂問題中，機(jī)械能增加。其增量即質(zhì)心動能；在分裂問題中，機(jī)械能增加。其增量即質(zhì)心動能；rvrvrv質(zhì)心在L系中的動能,守恒部分系統(tǒng)在C系中的動能,可變部分系統(tǒng)在L系中的動能（12）222122rCC,kCL ,kvvmmEEE系系例題例題2.0vmM質(zhì)量為質(zhì)量為m的子彈以速度的子彈以速度 沿水平方向射入靜止懸沿水平方向射入靜止懸掛的沙袋，并與沙袋一起運(yùn)動。沙袋質(zhì)量為掛

6、的沙袋，并與沙袋一起運(yùn)動。沙袋質(zhì)量為M. 求求系統(tǒng)的機(jī)械能變量系統(tǒng)的機(jī)械能變量E.0vvm+M解解. 這是合并問題。子彈鉆這是合并問題。子彈鉆入沙袋前瞬間，系統(tǒng)動能為入沙袋前瞬間，系統(tǒng)動能為20222vvMmECL ,k系子彈鉆入沙袋后瞬間，系統(tǒng)子彈鉆入沙袋后瞬間，系統(tǒng)動能為動能為22CL ,kvMmE系機(jī)械能變量機(jī)械能變量202vE在合并過程中，系統(tǒng)機(jī)械能變小。損失部分轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能。在合并過程中，系統(tǒng)機(jī)械能變小。損失部分轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能。0vmMvm+M機(jī)械能變量機(jī)械能變量20202020202221222vMmMmvMmmmvmvMmvmEEE初碰后驗(yàn)證：系統(tǒng)初始動能：驗(yàn)證：系統(tǒng)初始動能：

7、202vmE初子彈鉆入后系統(tǒng)速度：子彈鉆入后系統(tǒng)速度：Mmmvv0系統(tǒng)碰后動能：系統(tǒng)碰后動能：MmvmMmmvMmvMmE222202202碰后證畢證畢李長江：p23，1.3.5由動量守恒知：由動量守恒知：0人車vNmvM（1）已知人對車相對速度已知人對車相對速度車人vvvr（2）（2 2代入代入1 1）：）：0(）車車vvNmvMr解得：解得：rvNmMNmv車（3）Mm0 xmm解解(1). 若若N個人同時跳下個人同時跳下 v人人相對于地面的速度v車車相對于地面的速度已知人對車的跳下速度 沿鐵軌向左。rv第第k k個人跳車時他對地面速度為個人跳車時他對地面速度為 解(2). 若N個人逐個跳

8、下M0 x(N-k+1)人krvvv人1kv設(shè)第設(shè)第k-1個人跳車后車速為個人跳車后車速為kv第第k個人跳車后車速為個人跳車后車速為1kv第 k - 1 個人跳車后的車速第k個人跳車后的瞬間第k個人跳 車 后的車速M(fèi)0 x(N-k)人kv人vrkkkrkvmvmkNMvmkNMvvmvmkNM) 1()()() 1(1由動量守恒知：由動量守恒知：（k=1,2,3N）mkNMmvvvrkk) 1(1設(shè)定設(shè)定 的正方向都是由左向右（的正方向都是由左向右（ 的投影應(yīng)為負(fù)的投影應(yīng)為負(fù)值：值： ）, ,由上式解出遞推關(guān)系：由上式解出遞推關(guān)系： rkkvvv，1,rv0rv遞推關(guān)系使我們得以從前一個遞推關(guān)

9、系使我們得以從前一個vk-1值推得后一個值推得后一個vk值?，F(xiàn)值?，F(xiàn)在我們來用它推得所求結(jié)果：在我們來用它推得所求結(jié)果：第第k個人跳車前的動量個人跳車前的動量第第k個人跳車后的動量個人跳車后的動量k=1:NmMmvvr 01k=2:mNMmvvvr) 1(12k=3:mNMmvvvr) 2(23k=4:mNMmvvvr) 3(34k=N:mMmvvvrNN1k=N-1:mMmvvvrNN221將以上將以上N個等式相加，個等式相加，左邊給出左邊給出vN，即第，即第N個個人跳車后的車速；右邊人跳車后的車速；右邊是一個有限項(xiàng)級數(shù)和：是一個有限項(xiàng)級數(shù)和：NprNpmMmvvv1車負(fù)號表示負(fù)號表示v車與

10、車與vr反向。反向。本題結(jié)束關(guān)鍵：設(shè)所有關(guān)鍵：設(shè)所有速度沿速度沿x正向?yàn)檎驗(yàn)檎齧kNMmvvvrkk) 1(1第第20屆：一、屆：一、2填空）填空）三體完全彈性碰撞問題三體完全彈性碰撞問題過程：過程：1球撞擊球撞擊2球后靜止，球后靜止，2球以速度球以速度v0 向右行進(jìn)，向右行進(jìn)，然后撞擊然后撞擊3，4球球0v123423410v23410v問題：撞擊完問題：撞擊完3，4球后，球后，2球是否回球是否回彈？彈？2342v3v4v3030 xy解：解：在在xoy平面上，碰撞前后動平面上，碰撞前后動量守恒量守恒xxmvmvmvmv4320 x方向方向y方向方向yymvmv430碰撞為完全彈性，前后

11、機(jī)械能守恒碰撞為完全彈性，前后機(jī)械能守恒2423222021212121mvmvmvmv3323vvx幾何關(guān)系幾何關(guān)系7個方程，個方程，7個未知數(shù)，問題可解個未知數(shù)，問題可解4423vvx3321vvy4421vvy結(jié)果：結(jié)果：5/02vv方向向左。方向向左。本題結(jié)束則則2球與球與1球再次碰撞，最后停下。球再次碰撞，最后停下。1球獲得球獲得5/0v速度后，向左飛去。速度后，向左飛去。李長江：p6，1.1.131.1.解解: : 取小球取小球a,ba,b和地球組成的系統(tǒng)。繩中張力不作功，系和地球組成的系統(tǒng)。繩中張力不作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取統(tǒng)機(jī)械能守恒。取O O點(diǎn)為勢能零點(diǎn)點(diǎn)為勢能零點(diǎn) ，則有：

12、，則有： mmL1L2abO初態(tài)mmL1L2abTmgO瞬態(tài)v02cos021EmvmgLE初始能量運(yùn)動瞬態(tài)機(jī)械能(1)由由1 1解出速度與位置的關(guān)系：解出速度與位置的關(guān)系：隨著隨著 變小，變小，v和和T將變大，當(dāng)將變大，當(dāng)T=mg時，時，a球開始離地。球開始離地。b球的繩張力滿足：球的繩張力滿足：12cosLmvmgT將將(2)和和T=mg代入上式，解出：代入上式，解出：31arccos本題結(jié)束cos21gLv （2）mmL1L2abTmgO瞬態(tài)程度Tmgb球的向心力第第29屆：屆：15題題解解軌道無摩擦，繩拉直前兩小球均軌道無摩擦，繩拉直前兩小球均不損耗機(jī)械能，保持勻速沿軌道不損耗機(jī)械能，

13、保持勻速沿軌道運(yùn)動。繩拉直的瞬間兩小球繞圓運(yùn)動。繩拉直的瞬間兩小球繞圓心的角動量守恒心的角動量守恒RmvRvmRmvRvm120022v0v0m2mR繩拉直瞬間（1）v1, v2為繩作用力消失后兩球的切向速度。為繩作用力消失后兩球的切向速度。另一方面，機(jī)械能不受損失，則有：另一方面，機(jī)械能不受損失，則有：212220202122121221mvvmmvvm（2）解解（1），（），（2聯(lián)立求出兩套解聯(lián)立求出兩套解01vv 繩作用后02vv 0135vv0231vv舍去第一套解初態(tài)），第二套舍去第一套解初態(tài)），第二套解代表兩球速度都改變了方向解代表兩球速度都改變了方向m2m035v031vR解解繩

14、提供的沖量為前后動量差，繩繩提供的沖量為前后動量差，繩給給1的沖量的切向分量為：的沖量的切向分量為：00013835mvmvvmI切繩給繩給2的沖量的切向分量為：的沖量的切向分量為：（3）0002382312mvvmvmI切（4）兩沖量分別以所對應(yīng)球的初始切向速度分量為參考正向兩沖量分別以所對應(yīng)球的初始切向速度分量為參考正向繩作用后m2m035v031vR解解30cos/11切II繩給繩給2的沖量的切向分量為：的沖量的切向分量為：30cos/22切II這兩個量只是兩個沖量的切向分這兩個量只是兩個沖量的切向分量，它們對應(yīng)的總沖量分別為量，它們對應(yīng)的總沖量分別為03316mv03316mv繩作用后

15、m2m035v031vR（1答案答案解解繩改成彈性繩后，繩可伸長，兩球的運(yùn)動狀態(tài)改變并不在一瞬間完成。因繩改成彈性繩后，繩可伸長，兩球的運(yùn)動狀態(tài)改變并不在一瞬間完成。因此，繩拉直后，在球繼續(xù)沿圓軌道運(yùn)動時，繩保持對兩球的拉力。此，繩拉直后，在球繼續(xù)沿圓軌道運(yùn)動時，繩保持對兩球的拉力。v0v0m2mR繩拉直瞬間v2v1=0m2mR球1停止時解解繩拉伸過程中，機(jī)械能守恒繩拉伸過程中，機(jī)械能守恒2020202212223212212121221mvmvvmRlkmvvm（5）繩拉伸過程中，角動量也守恒繩拉伸過程中，角動量也守恒RmvRmvRvmRmvRvm0001222（6）（5）、（）、（6兩式消

16、去兩式消去v2，再令，再令01vRl2得得22025Rmvk （2.1答案答案v2v1=0m2m球1停止時解解兩球在距離兩球在距離2R以后，球以后，球1停止后開始加速，球停止后開始加速，球2沿軌道繼續(xù)向沿軌道繼續(xù)向前運(yùn)動。兩球碰撞發(fā)生在軌道的下半部前運(yùn)動。兩球碰撞發(fā)生在軌道的下半部v2v1=0m2m球1停止時m2m兩球碰撞解解v2v1=0m2m球1停止時Rdtvdtvtttt32212112從題圖開始到繩長為從題圖開始到繩長為R所經(jīng)過的時間為所經(jīng)過的時間為001623vRvRt（7）從繩長為從繩長為R到到2R的過程中兩球走過路程為的過程中兩球走過路程為RRR323，設(shè)這過程結(jié)束時時刻為，設(shè)這過

17、程結(jié)束時時刻為t2，它滿足，它滿足（8）由題意，上式可寫成由題意，上式可寫成Rdtvtt321212（9）解解v2v1=0m2m球1停止時1202319221ttvRdtvtt（10）v1、v2必須滿足角動量守恒方程必須滿足角動量守恒方程6），把），把6代入代入8式，又得到：式，又得到：RmvRmvRvm0122（6）由由9）、（）、（10消去消去212ttdtv得得0121324vRtt（11）解解v2v1=0m2m球1停止時由繩長為由繩長為2R到兩球碰撞的過程中，整個過程到兩球碰撞的過程中，整個過程為繩長由為繩長由0到到2R過程的逆過程，經(jīng)歷時間與正過程的逆過程，經(jīng)歷時間與正過程相同，因此

18、，利用過程相同，因此，利用7和和11式得：式得：碰撞時刻為碰撞時刻為1212tttte（11）013vR016vRt（7）0121324vRtt（2.2答案答案非慣性系非慣性系慣性力慣性力慣性系：牛頓運(yùn)動定律成立的參考系慣性系：牛頓運(yùn)動定律成立的參考系0amFi非慣性系相非慣性系相對慣性系的對慣性系的加速度加速度非慣性系：牛頓運(yùn)動定律不成立的參考系非慣性系：牛頓運(yùn)動定律不成立的參考系凡是牛頓定律成立的參照系稱為慣性系凡是牛頓定律成立的參照系稱為慣性系,相對慣相對慣性系作勻速直線運(yùn)動的參照系也是慣性系性系作勻速直線運(yùn)動的參照系也是慣性系 牛頓定律不成立的參照系稱為非慣性系牛頓定律不成立的參照系稱

19、為非慣性系, 相對于慣相對于慣性系作加速運(yùn)動的參照系是非慣性系性系作加速運(yùn)動的參照系是非慣性系慣性力：在牛頓定律中加入附加項(xiàng)，使之仍可慣性力：在牛頓定律中加入附加項(xiàng)，使之仍可以求解非慣性系問題以求解非慣性系問題質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體在非慣性的物體在非慣性系中受到的慣性力系中受到的慣性力amFFi物體實(shí)際受物體實(shí)際受到的力到的力非慣性系中牛頓運(yùn)動定律寫成：非慣性系中牛頓運(yùn)動定律寫成：這時物體相對參考系向參考系加速度的反方向加速，例這時物體相對參考系向參考系加速度的反方向加速，例如加速的汽車中的乘客。如加速的汽車中的乘客。物體相對非慣物體相對非慣性系的加速度性系的加速度慣性力慣性力0amFi1. 當(dāng)

20、物體不受任何力時：當(dāng)物體不受任何力時：0F上式成為：上式成為：amFi0aaamFFi2. 當(dāng)物體受力恰好為：當(dāng)物體受力恰好為：0amFFi上式成為：上式成為：0a表明物體如果保持相對參考系不動，需要一個力表明物體如果保持相對參考系不動，需要一個力 ，例如乘客要站穩(wěn)需要一個指向汽車加速方向的力。例如乘客要站穩(wěn)需要一個指向汽車加速方向的力。0am第25屆，3解解(1). 系統(tǒng)處處無摩擦，車廂加速度豎直向上系統(tǒng)處處無摩擦，車廂加速度豎直向上 此時車廂加速度只對此時車廂加速度只對B有影響有影響ATBTgmBx對對A滑塊有：滑塊有：amTA對對B滑塊有：滑塊有：amamTgmBBB0設(shè)設(shè)B運(yùn)動的正方向

21、沿運(yùn)動的正方向沿+x，那，那么么i gg重力加速度重力加速度車廂加速度車廂加速度iaa00繩對繩對A的拉力的拉力iTT慣性力慣性力兩滑塊加速度相等x繩對繩對B的拉力的拉力iTT對對A滑塊有：滑塊有：amTA對對B滑塊有：滑塊有：amamTgmBBB0的表達(dá)式帶入方程得的表達(dá)式帶入方程得g把把0aTTBTgmBxATx消去消去T 得：得：BABBmmamgma0（1答案答案結(jié)論：當(dāng)車廂向上加速結(jié)論：當(dāng)車廂向上加速時，時，B相對車廂的加速相對車廂的加速度比車廂靜止時要大度比車廂靜止時要大解解(2). B與桌的側(cè)面有摩擦，車廂加速度水平向右與桌的側(cè)面有摩擦，車廂加速度水平向右 此時車廂加速度對此時車

22、廂加速度對A和和B都有影響都有影響ATBTgmB對對A滑塊有：滑塊有：00amTA慣性力，其中慣性力，其中x其中其中iTT由上面各式得由上面各式得A滑塊滿足：滑塊滿足：00amTA（1）兩物靜止：兩物靜止：0BAaaiaa00 xyBTgmB對對B滑塊有：滑塊有：00amfNTgmBB慣性力，其中慣性力，其中ATx桌側(cè)面對桌側(cè)面對B的推力的推力桌側(cè)面對桌側(cè)面對B的摩擦力的摩擦力其中其中iTTi ggjNN由上面各由上面各式得式得B滑滑塊滿足：塊滿足：0fTgmBx方向：方向：（2）00amNBy方向：方向：（3）jaa00 xyATBTgmBx由由1）、（）、（2可得：可得：0amgmfAB（

23、4）由由3可得：可得：0amNB（5）（4式中式中f 是使是使B與桌面?zhèn)让娌话l(fā)生滑動所需的靜摩擦力，與桌面?zhèn)让娌话l(fā)生滑動所需的靜摩擦力，對于正壓力對于正壓力N，f 的上限為的上限為N，當(dāng)所需的摩擦力超過，當(dāng)所需的摩擦力超過N時，時， B與桌面?zhèn)让鎸l(fā)生滑動。即：與桌面?zhèn)让鎸l(fā)生滑動。即：Nf把把4）、（）、（5代入上式解得：代入上式解得：BABmmgma0本題結(jié)束火箭問題火箭問題變質(zhì)量變質(zhì)量+動量守恒動量守恒1.噴射燃料使質(zhì)量不斷減少噴射燃料使質(zhì)量不斷減少-質(zhì)量不守恒質(zhì)量不守恒火箭：火箭：v2.燃料相對火箭以恒速率噴出燃料相對火箭以恒速率噴出設(shè)火箭在某時刻：設(shè)火箭在某時刻：M下一時刻：下一時刻

24、：vvmMmu（相對火箭）前一時刻動量：前一時刻動量：vmvvmmmu（相對火箭）Mvp 后一時刻動量：后一時刻動量：uvmvvmMp前后動量增量：前后動量增量：pppmuvM牛頓定律：牛頓定律：tpFtmutvMdtdmudtdvMdtdmudtdvMFF是火箭飛行時受到的總外力。例如是火箭飛行時受到的總外力。例如地球引力。如果地球引力。如果F可忽略，方程變?yōu)榭珊雎?，方程變?yōu)?dtdmudtdvM火箭單位時間內(nèi)噴出的燃料vmvvmmmu（相對火箭）dtdMudtdvMF燃料噴射時，火箭質(zhì)量減少，因此燃料噴射時，火箭質(zhì)量減少，因此0dtdMudtdvM方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閐Mdm有外力時有外力時無

25、外力時無外力時火箭方程火箭方程第26屆：15題意：題意：vmvvmmmu（相對火箭）RtMMm00uu 無外力：無外力：0mdtdm0dtdmudtdvM解解uMmdtdva0uMMmaR00minuMma00max飛船啟動時飛船啟動時燃料用盡時燃料用盡時（1飛船加速度的最小和最大值飛船加速度的最小和最大值由火箭方程：由火箭方程：0dtdMudtdvM兩邊積分兩邊積分（2飛船末速度飛船末速度MdMudv000MMMvReMdMudv00lnMMMuvRe（3初始時刻發(fā)動機(jī)提供的功率，和整個過程的平均功率初始時刻發(fā)動機(jī)提供的功率，和整個過程的平均功率t時刻時刻 221MvtEk20202121u

26、vdtmdvvdtmMdttEkt+dt時辰時辰發(fā)動機(jī)在發(fā)動機(jī)在dt時間內(nèi)使火箭時間內(nèi)使火箭+噴出的燃料的動能帶來的變化噴出的燃料的動能帶來的變化發(fā)動機(jī)提供的能量轉(zhuǎn)化為飛船的動能發(fā)動機(jī)提供的能量轉(zhuǎn)化為飛船的動能+燃料的動能！燃料的動能！二者相減二者相減 tEdttEdEkkkdtumudtmMdvv20021dtdEPk功率功率20021umumdtdvMv0火箭方程火箭方程2021um（4發(fā)射效率發(fā)射效率兩邊積分兩邊積分由由2），），飛船的末飛船的末動能動能20,21eekvME20021umdMdEmdtdMdMdEdtdEPdMudE22122212100uMdMuERMMMR此為燃料全

27、部耗此為燃料全部耗盡所做的總功盡所做的總功20020ln21MMMuMR發(fā)射效率發(fā)射效率2000,lnMMMMMEERRek由前面的結(jié)果由前面的結(jié)果發(fā)動機(jī)提供的功率只有一部分由火箭獲得，另一部分由噴出發(fā)動機(jī)提供的功率只有一部分由火箭獲得，另一部分由噴出的燃料獲得。的燃料獲得。（5）=MR/M0為何值時，為何值時，最大最大求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)21ln11ln121ln122dd令導(dǎo)數(shù)為零令導(dǎo)數(shù)為零得得滿足滿足121ln1ln12465%本題結(jié)束連續(xù)體引力問題：連續(xù)體引力問題：萬有引力為平方反比力，與靜電力極其類似，在很多方面滿足同樣規(guī)律。引力勢：萬有引力的勢能表達(dá)引力勢：萬有引力的勢能表達(dá)式為：式為：若

28、討論若討論m在在M勢場中的運(yùn)動，勢場中的運(yùn)動，可定義引力勢：可定義引力勢：則則m在在M引力勢場中所具有的引力勢場中所具有的勢能為：勢能為：rMmGrEP)(（1）rMGrV)(（2）mV(r)EP該式立即變回該式立即變回1）。）。類似地，可定義引力場強(qiáng)度：類似地，可定義引力場強(qiáng)度：)(r該式立即變回萬有引力定律的該式立即變回萬有引力定律的原始形式：原始形式：（3）rerMG2mF（4）rerMmG2式中式中 是由是由M指向指向m方向的單方向的單位矢量。則位矢量。則m在該勢場中受力在該勢場中受力為：為：re與靜電場中的高斯定理類似，與靜電場中的高斯定理類似，把把3對同心球面對同心球面S作積分：作積分：MRSM為高斯面中的總質(zhì)量。該公式完全可推廣到多為高斯面中的總質(zhì)量。該公式完全可推廣到多個質(zhì)量個質(zhì)量M1、 M2、和任意曲面以及連續(xù)體情形和任意曲面以及連續(xù)體情形GMSdS4（5）例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為M的氣體均勻分布于半的氣體均勻分布于半徑為徑為R的球形空間中。求質(zhì)點(diǎn)的球形空間中。求質(zhì)點(diǎn)m在球在球體內(nèi)