高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題第⑩季數(shù)列概念及等差數(shù)列：第5節(jié)等差數(shù)列概念

1、第5節(jié) 等差數(shù)列概念【基礎(chǔ)知識(shí)】 等差數(shù)列的有關(guān)概念1.定義:等差數(shù)列定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d 表示.用遞推公式表示為1(2n n a a d n -=或1(1n n a a d n +-=.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:1(1n a a n d =+-;說(shuō)明:等差數(shù)列(通?？煞Q為A P 數(shù)列的單調(diào)性:d 0>為遞增數(shù)列,0d =為常數(shù)列,0d < 為遞減數(shù)列.3.等差中項(xiàng)的概念:定義:如果a ,A ,b 成等差數(shù)列,那么A 叫做a 與b 的等差中項(xiàng),其中2a bA

2、+=. a ,A ,b 成等差數(shù)列2a bA +=. 4.等差數(shù)列的前n 和的求和公式:11(122n n n a a n n S na d +-=+.5.要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”.如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起,而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù),那么此數(shù)列不是等差數(shù)列.6.注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別.【規(guī)律技巧】1.等差數(shù)列的四種判斷方法(1 定義法:對(duì)于數(shù)列n a ,若d a a n n =-+1(n N *(常數(shù),則數(shù)列n a 是等差數(shù)列; (2 等差中項(xiàng):對(duì)于數(shù)列n a ,若212+=n n n a a a (n N *,則數(shù)列n a 是等差數(shù)

3、列; (3通項(xiàng)公式:n a pn q =+(,p q 為常數(shù),n N *n a 是等差數(shù)列;(4前n 項(xiàng)和公式:2n S An Bn =+(,A B 為常數(shù), n N * n a 是等差數(shù)列;(5n a 是等差數(shù)列n S n 是等差數(shù)列. 2.活用方程思想和化歸思想在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為1a 和d 等基本量,通過(guò)建立方程(組獲得解.即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1(1n a a n d =+-及前n 項(xiàng)和公式11(122n n n a a n n S na d +-=+,共涉及五個(gè)量1,n n a d n a S ,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二,多利用方程組的思想,體現(xiàn)了用方程的

4、思想解決問(wèn)題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見(jiàn)題型,解決此類問(wèn)題需要抓住基本量1a 、d ,掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié),常通過(guò)“設(shè)而不求,整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算. 3.特殊設(shè)法:三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,一般設(shè)為,a d a a d -+; 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,一般設(shè)為3,3a d a d a d a d -+. 這對(duì)已知和,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.4.若判斷一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列,只需用123,a a a 驗(yàn)證即可.5.等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)1a 和末項(xiàng)n a ,則1(2n n n a a S +=,或等差數(shù)列a n 的首項(xiàng)是1a ,公差是d ,

5、則其前n 項(xiàng)和公式為1(12n n n S na d -=+.【典例講解】【例1】若數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和為S n ,且滿足a n +2S n S n -1=0(n 2,a 1=12.(1求證:1S n 成等差數(shù)列;(2求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式.(1證明 當(dāng)n 2時(shí),由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2,故1S n 是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列. (2解 由(1可得1S n =2n ,S n =12n .當(dāng)n 2時(shí),a n =S n -S n -1=12n -12(n -1

6、=n -1-n 2n (n -1=-12n (n -1.當(dāng)n =1時(shí),a 1=12不適合上式.故a n=12,n =1,-12n (n -1,n 2.規(guī)律方法 證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種:一是定義法,證明a n -a n -1=d (n 2,d 為常數(shù);二是等差中項(xiàng)法,證明2a n +1=a n +a n +2.若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需舉出反例即可,也可以用反證法.【變式探究】已知公差大于零的等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和為S n ,且滿足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式;(2若數(shù)列b n 滿足b n =S n n +

7、c ,是否存在非零實(shí)數(shù)c 使得b n 為等差數(shù)列?若存在,求出c 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:由b n =S nn +c =n (1+4n -32n +c =2n n -12n +c ,c 0,可令c =-12,得到b n =2n .b n +1-b n =2(n +1-2n =2(n N *, 數(shù)列b n 是公差為2的等差數(shù)列. 即存在一個(gè)非零常數(shù)c =-12,使數(shù)列b n 也為等差數(shù)列. 【針對(duì)訓(xùn)練】1、已知n a 為等差數(shù)列,其前n 項(xiàng)和為n S .若11a =,35a =,64n S =,則n = . 【答案】82、在數(shù)列n a 中,11a =,(211nn n a a +-=,

8、記n S 是數(shù)列n a 的前n 項(xiàng)和,則60S = . 【答案】480【解析】(211nn n a a +-=,311a a -=,531a a -=,751a a -=,且421a a +=,641a a +=,861a a +=,21n a -為等差數(shù)列,且211(11n a n n -=+-=,即11a =,32a =,53a =,74a =,412341124S a a a a =+=+=,8456783418S S a a a a -=+=+=,128910111256112S S a a a a -=+=+=,60151441544802S =+=. 3、已知數(shù)列n a ,若點(diǎn)(,

9、n n a *(n N 均在直線2(5y k x -=-上,則數(shù)列n a 的前9項(xiàng)和9S 等于( A .18B .20C .22D .24 【答案】A綜合點(diǎn)評(píng):前四個(gè)題是等差數(shù)列的判斷,第五個(gè)題是等差數(shù)列5個(gè)基本量問(wèn)題, 在判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列時(shí),應(yīng)該根據(jù)已知條件靈活選用不同的方法,一般是先建立1n a -與n a 的關(guān)系式或遞推關(guān)系式,表示出1n n a a -,然后驗(yàn)證其是否為一個(gè)與n 無(wú)關(guān)的常數(shù), 基本量的計(jì)算:即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于1a 和d 的方程組來(lái)處理.4、數(shù)列n a 中,11a =,1334(,2n n n a a n N n *-=+,若存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列3n n a +

10、為等差數(shù)列,則=_. 【答案】25、正項(xiàng)等差數(shù)列n a 中的1a 、4029a 是函數(shù)2(ln 81f x x x x =+-的極值點(diǎn),則22015log a =( A . B . C . D .1 【答案】D【練習(xí)鞏固】1.記S n 為等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和,若S 33-S 22=1,則其公差d =( A.12B .2C .3D .4【解析】由S 33-S 22=1,得a 1+a 2+a 33-a 1+a 22=1,即a 1+d -a 1+d2=1,d =2. 【答案】B2.設(shè)a n 是首項(xiàng)為a 1,公差為-1的等差數(shù)列,S n 為其前n 項(xiàng)和.若S 1,S 2,S 4成等比數(shù)列,則a

11、 1=( A .2B .-2C.12D .-12【解析】由題意知S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6,因?yàn)镾 1,S 2,S 4成等比數(shù)列,所以S 22=S 1·S 4, 即(2a 1-12=a 1(4a 1-6,解得a 1=-12,故選D.【答案】D3.已知等差數(shù)列a n ,且3(a 3+a 5+2(a 7+a 10+a 13=48,則數(shù)列a n 的前13項(xiàng)之和為( A .24B .39C .104D .52【解析】因?yàn)閍 n 是等差數(shù)列,所以3(a 3+a 5+2(a 7+a 10+a 13=6a 4+6a 10=48,所以a 4+a 10=8,其前13項(xiàng)的

12、和為13(a 1+a 132=13(a 4+a 102=13×82=52,故選D.【答案】D4.設(shè)S n 是等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和,公差d 0,若S 11=132,a 3+a k =24,則正整數(shù)k 的值為 ( A .9B .10C .11D .12【解析】依題意得S 11=11(a 1+a 112=11a 6=132,a 6=12,于是有a 3+a k =24=2a 6,因此3+k =2×6=12,k =9,故選A.【答案】A15.設(shè)等差數(shù)列a n 的前n 項(xiàng)和為S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,則m =( A .3 B .4 C .5 D .6 【答案】C6.在等差數(shù)列a n 中,已知a 3+a 8=10,則3a 5+a 7=_.【答案】20【解析】方法一:a 3+a 8=2a 1+9d =10,而3a 5+a 7=3(a 1+4d+a 1+6d =2(2a 1+9d=20.方法二:3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7=2a 5+2a 6=2(a 5+a 6=2(a 3+a 8=20.7.等差數(shù)列a n 前n 項(xiàng)和為S n .已知S 3=a 22,且S 1