平面向量角形心(有詳解)

1、平面向量與三角形“四心”的應(yīng)用問(wèn)題湖南省箴言中學(xué) 劉光明三角形的外心，內(nèi)心，重心及垂心，在高考中的考查是比較棘手的問(wèn)題，先課程教材中 所加的內(nèi)容，更加引起我們的重視，尤其與平面向量結(jié)合在一起，那就更加難于掌握了。本 文擬對(duì)與三角形的“四心”相關(guān)的平面向量問(wèn)題加以歸納，供學(xué)習(xí)時(shí)參考.1課本原題例1、已知向量 opi, Of2,op3滿(mǎn)足條件 op oP2 oP3=q , iOpi=iOP2i=iOpj=i，求證: RP2P3是正三角形.-1 _ -j分析 對(duì)于本題中的條件|0P |=|0PH=|0F3|=1，容易想到，點(diǎn)O是厶PP2R的外心，而另 一個(gè)條件 鼎+靈+0=0表明，點(diǎn)o是厶PP2F3

2、的重心.故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角 形.在1951年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外接圓圓心重合，貝吐匕三角 形為何種三角形？與本題實(shí)質(zhì)是相同的.T t TT 1 I顯然，本題中的條件 QR冃OR|=|OP |=1可改為|0R|=|0Pb=|0P3 |.2高考原題例2、0是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿(mǎn)足0P二"0a+C).川0產(chǎn)貝貝.P的軌跡一定通過(guò)厶ABC的( ).|AB| |AC|A .外心B.內(nèi)心C.重心D .垂心分析已知等式即心(琵爲(wèi)AF佬，顯然A”都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平

3、行四邊形，則結(jié)果為菱形，故AP為.ABC的平分線(xiàn)，選B .例3 ABC的外接圓的圓心為 0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H， 0H = m(0A 0B 0C)，則實(shí)數(shù)m =分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識(shí)推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀(guān).解法如下，由已知，有向量等式 "AHJBCO，將其中的向量分解,向已知等式形式靠攏，有(OH OA)L(OCOB)=O ,將已知代入，有 m(OA OB OCOAkOC OB) = O ,即 m(OC一OB)+(m 1)OABC=O ,由 O 是外心，得 (m -1)OA_Bc =0 ,由于 ABC是任意三角形，則'

4、2OABC不恒為0,故只有m=1恒成立.1 -或者，過(guò)點(diǎn)O作OM_BC與M，則M是BC的中點(diǎn)，有OM (OB OC) ; H是垂心，2貝U AH _ BC , 故 與OM共線(xiàn)，設(shè) 7H=kOM，貝u OH=OA+AH=OA+f(OB+OC), 又2>T T TT k T k TkOH 二 m(OA OB OC)，故可得(m - 1)OA (m )OB (m )OC = 0 ,有 m-1=m 0 ,2 2 2根據(jù)已知式子 OH =m(OA+OB+OC)中的oA+oB+oC部分，很容易想到三角形的重心坐標(biāo)公式，設(shè)三角形的重心為G , O是平面內(nèi)任一點(diǎn)，均 t T T T有oG=oa ob &

5、#176;C，由題意，題目顯然敘述的是3般的結(jié)論，先作圖使問(wèn)題直觀(guān)化，如圖1,由圖上觀(guān)察,很容易猜想到HG =2G0，至少有兩個(gè)產(chǎn)生猜想的誘因,其一是，BF,OT均與三角形的邊AC垂直，則BF/OT ;是,其二，點(diǎn)G是三角形的中線(xiàn)BT的三等分點(diǎn)此時(shí)，會(huì)先猜想 BHG TOG，但現(xiàn)在缺少一個(gè)關(guān)鍵的條件，即BH =20T，這樣由兩個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，同 時(shí)，夾角對(duì)應(yīng)相等可得相似當(dāng)然，在考試時(shí)，只需大膽 使用，也可利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行證明.圖1本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè) O G H分別是 ABC的外心、重心和垂心, 則O G H三點(diǎn)共線(xiàn)，且OG： G* 1 : 2,利用向量表示就是

6、 OH =3OG .例4、點(diǎn)o是三角形abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足OABB=OB_OC =OC_jOA ,則點(diǎn)0是 AABC 的().A三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)B 三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)C 三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D 三條高的交點(diǎn)】(a b)2 .31 當(dāng) x = (a -3的重心.分析移項(xiàng)后不難得出，OBCA nOCLAB =OAEB =0，點(diǎn) O 是：ABC 的垂心，3推廣應(yīng)用題例5 在厶ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使AP2 BP2 CP2最小.分析如圖2,構(gòu)造向量解決.取CA=a,CB=b為基向量，A P二 x ,a B P x. b于是，AP2 BP2 CP2"* gb)2 心尹 b)2 a

7、b -1 -b)時(shí)，AP2 BP2 CP2最小，此時(shí)，即 OP (OA OB OC)，則點(diǎn) P 為 ABC已知 O 為 ABC所在平面內(nèi)例 6|OA|2 |BC|2=|OB|2 |CA|2=|OC|2 |AB，貝U OABC的分析 將|BC|2 = (OC-OB)2 =Oc2 Ob2OB，|CA|2,|AB|2也類(lèi)似展開(kāi)代入，已知心.點(diǎn)，滿(mǎn)足y3x （達(dá)-、X d 2X3,由于點(diǎn)A與點(diǎn)O必在直BC 的同側(cè)，且-X2Y3 ：0，Xoy3- X3 y。X2-y。0x2 得因此有等式與例4的條件一樣.也可移項(xiàng)后，分解因式合并化簡(jiǎn)，O為垂心.例7 已知 O 為厶 ABC的 外心，求證：OAsi nBOC OBs in AOC OCs in AOB=0 .分析 構(gòu)造坐標(biāo)系證明.如圖3,以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B在x軸的正半軸，C在x軸的上1Saa°b二1X2y。，直線(xiàn)BC的方程是2iSa Boe石（約0卷比）.直線(xiàn)AC的方程是y3x - x3y = 0 ，由于點(diǎn)（1, 0與點(diǎn)O必在直線(xiàn)AC的同側(cè)，且y31 -X3 0 0，因此有 Xoy3-X3y°0，得 SaAOC<(X0y3X3y0).于是，容易驗(yàn)證OA S