彈性力學(xué)基本概念和考點(diǎn)匯編

1、彈性力學(xué)基本概念和考占P 八、基本概念：（1）面力、體力與應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念及正負(fù)號(hào)規(guī)定（2）切應(yīng)力互等定理：作用在兩個(gè)互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應(yīng)力是互等的（大小相等，正負(fù)號(hào)也相同）。（3）彈性力學(xué)的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。（4）平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的 面力或約束。同時(shí)，體力也平行與板面并且不沿厚度方向變化。這時(shí)，z 0, zx 0, zy 0，由切應(yīng)力互等，z 0, xz 0, yz 0，這樣只剩下平行 于xy面的三個(gè)平面應(yīng)力分量，即 x, y, xy yx，所以這種問題稱為平面應(yīng)

2、力 問題。設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，它的橫截面不沿長(zhǎng)度變化，在柱面上受有平行于橫截 面且不沿長(zhǎng)度變化的面力或約束，同時(shí)，體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變 化，由對(duì)稱性可知，zx 0, zy 0，根據(jù)切應(yīng)力互等，xz 0, yz 0。由胡克 定律，zx 0, zy 0,又由于z方向的位移W處處為零，即z 0。因此，只 剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)變分量，即x, y, xy，所以這種問題習(xí)慣上稱為平面 應(yīng)變問題。（5）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；過一個(gè)點(diǎn)所有平面上應(yīng)力情況的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（6）圣維南原理；（提邊界條件）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么

3、，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn) 處所受到的影響可以忽略不計(jì)。（7）軸對(duì)稱；在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都 是對(duì)稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、變形和 位移也就對(duì)稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對(duì)稱問題。、平衡微分方程：(1)平面問題的平衡微分方程;xyx0xxyX0(記)yyy（2）平面問題的平衡微分方程（極坐標(biāo)）；1、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當(dāng)應(yīng)力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是 平衡的。2、平衡方程也反映了應(yīng)力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。二、幾何方程；（1）平面問題的幾何方程；uxxy-（記）yv uxy -x

4、 y（2）平面問題的幾何方程（極坐標(biāo)）；12uu 1 v12v u v1 2 1、幾何方程反映了位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。2、當(dāng)位移完全確定時(shí)，應(yīng)變也確定；反之，當(dāng)應(yīng)變完全確定時(shí)，位移并不能確 定。（剛體位移）三、物理方程；（1）平面應(yīng)力的物理方程；xy（記）xy（2）平面應(yīng)變的物理方程;xyxy（3）極坐標(biāo)的物理方程（平面應(yīng)力）；光滑接觸:n為接觸面的法線方向非光滑接觸:UnnUnn為接觸面的法線方向)2(1 )E(4)極坐標(biāo)的物理方程(平面應(yīng)變)；2(1 )E四、邊界條件;(1) 幾何邊界條件；u s us 亠平面問題： S在Su 上;Vs v v(2) 應(yīng)力邊界條件；xyx s x平面問題：

5、_ (記)1 xy m y s fy(3) 接觸條件;(4) 位移單值條件;UU 2(5)對(duì)稱性條件:在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作 用，都是對(duì)稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、 變形和位移也就對(duì)稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對(duì)稱問題。一、概念1 彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支。2固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動(dòng)理論、斷裂 力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。4研究對(duì)象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，

6、比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛5.彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)法 .6彈性力學(xué)研究問題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；7. 彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假8. 幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9. 物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。10平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完 全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。12.邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力

7、與面力之間的關(guān)系式。它可以分 為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系， 變換為分布不同但靜力等效的力系(主失量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同)， 那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其 影響可以忽略不計(jì)。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系(主失 量和主矩都等于零)，那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處 的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇Я亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪?，與無面力狀態(tài)是靜 力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。15. 求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)

8、力法。16. 彈性力學(xué)的基本原理：解的唯一性原理、解的疊加原理、圣維南原理。 會(huì)推導(dǎo)兩種平衡微分方程17. 逆解法步驟：(1)先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù)(2) 由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(3) 在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分 邊界條件,分析這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力， 從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問題。(或 者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定 系數(shù)18. 半逆解法步驟：對(duì)于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的

9、一些簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式(2)按式(2-24),由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的一般形式(含待定函數(shù)項(xiàng))；(3) 將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá)形式；(4) 將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(5) 根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全(x1xym)sfx(S)填空5平面問題的應(yīng)力邊界條件為(xyiym)sfy(s)h/2h/2 (x )xidy 1h/2h/2 fx(y)dy 1計(jì)h/2h/2-算h/2 (x )xi ydy 1h/2 fx(y)ydy 1理h/2h/2-h/2

10、(xy )xidy 1h/2 fy(y)dy 1解7.圣維南原理的三個(gè)積分式h/2h/2( x)x idy 1 Fnh/2如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，則三個(gè)積分邊界條件變?yōu)閔/2( x)x丨ydy 1 Mh/2h/2( xy)x l dy 1 F8.艾里應(yīng)力函數(shù)x2 (x,y)fxX,2 (x, y)fy y,xy(x,y)計(jì)算一、單項(xiàng)選擇題（按題意將正確答案的編號(hào)填在括弧中，每小題 2分，共10分）1、彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（ C ）求解 這些微分方程，以求得具體問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A 相容方程B 近似方法C邊界條件 D 附加假定2、 根據(jù)圣維南原理，

11、作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（B ） 的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠(yuǎn)處所受的影響可以 不計(jì)。A. 幾何上等效B.靜力上等效C.平衡 D .任意3、彈性力學(xué)平面問題的求解中，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（B ）。A. 平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同C. 平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同D. 平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同在研究方法方面：材力考慮有限體 人/的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微 分體dV的平，結(jié)果比較精確。4不4干4干4、常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為

12、63; 2二£ 0，x x y y6設(shè)有函數(shù)2qx3y 123qy 2 y y235 h3 h（1）判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？（3 分）(2)選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時(shí)，考察其在圖中所示的矩形板和坐標(biāo)系(見題九圖)中能解決什么問題(解:4吊(1)將©代入相容方程-4x4不篤0,顯然滿足。因此，該函數(shù)可以y作為應(yīng)力函數(shù)。0 ,h/21h/2/(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式:6qx 2y4qy3h3h33qy3h34y3yhxy考察邊界條件:qy h22xyy h2在次要邊界6qxh24y2在主要邊界4y34y3h36qx h2h34y=±h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件3yh

13、3yhqh2y h20y h2應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2 xxody：呼那dy° (奇函數(shù))3h/2h/2 4qy33qyx ydy ydy 0h/2 x x 0h/2 h33hh/2h/2 Xy x 0dy在次要邊界x= l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2xxldyh/26ql2y4qy33qy dy 0（奇函數(shù)）3hh/2h/2h3h3h/2xxiydyh/26ql2y4qy33qyqlh/2h/2h3h3ydy3h2h/2h/2xy xidyh/2h/26ql h2 盲T2yql對(duì)于如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系，結(jié)合邊界上面力

14、與應(yīng)力的關(guān)系，當(dāng)板 內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無 面力；而上邊界上受有向下的均布?jí)毫?；右邊界上有按線性變化的水平面力合 成為一力偶和鉛直面力。所以，能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載 q的問題2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A ）卷名詞解釋（共10分，每小題5分）1. 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng) 變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力 等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布 將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以

15、不計(jì)。應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定為：正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù)。4.彈性力學(xué)中，正面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸正向的面，負(fù)面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向 的面。1.（8分）彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性體？?jī)深惼矫鎲栴}各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題 分別對(duì)應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量X, y, xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力 的作用面平行于xy平面，外力

16、沿z軸無變化，只有平面應(yīng)變分量 X , y , xy存 在，且僅為x,y的函數(shù)。2.（ 8分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程:xy sfx（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，s s ）:yx s（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。問答題（36）1. （ 12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理 列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚 1）圖5-1解：在主要邊界y h 2上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:y y h2qx 1 ，yx y h 20 ；y y h 20，yx y h 2Q1在次

17、要邊界x0 上,應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚1時(shí)，h 2h 2h 2h2xx°dyF N ，h2 x x°ydy m，h2 xyx0dyFs在次要邊界xl 上,有位移邊界條件：Uxl0， v x i 0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替:h 2h2 xx0dyh 2Fn qii， h2x oydy M Fslql2 qlh 62 ，h 2 xy x 0dy2. （ 10分）試考察應(yīng)力函數(shù)cxy3， c 0，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊解:cxy3代入相容方程2 2x y4x4（1）相容條件：將

18、0，顯然y分量（不計(jì)體力），畫出圖 界上表示出面力的主矢和主矩。滿足(2)應(yīng)力分量表達(dá)式:6cxy， yxy3cy2(3)邊界條件：在主要邊界2上，即上下邊,面力為3chx，xy y h 2在次要邊界3 h2 ch40,xl上，面力的主失和主矩為h 2h 2h2h 2h 2h 2h 2h 2h 2h 2h 2h 2odyoydyxyxyidy°dyi ydy°dyh23cy2dyCh3h 24h 2h 26clydy 0h 22h26c|y dyh 223cy dy h 2clh32ch34彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界 x 0,x l上面力的主失量和主矩如解圖 所示。

19、3. （14分）設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖5-3所示，試求應(yīng)力分量。（提示：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎 曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn)單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的 縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量x 0）解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn) 單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力 分量x 0，（1）假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。X 0推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力分量為2有y0, fy g。將 x代入應(yīng)力公式0對(duì)x積分，得f x ，y(a)yf xfi x。（ b）其中f X， fi x都是x的待定函

20、數(shù)。（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式（b）代入相容方程 40，得d4f xdx4d4右xdx4這是y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根（全部豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。吐占0，dxd4 f1 x dx40,兩個(gè)方程要求32f x Ax Bx Cx，32f1 x Dx Ex(C)f x中的常數(shù)項(xiàng)，f1 x中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在 的表達(dá)式中成為y的一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)A 3232y Ax Bx Cx Dx Ex(d)（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。xfx0 ,(e)2y不yfyx6Axy 2By6Dx 2E gy，(f)xy23

21、Ax 2Bx C .(g)（5）考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)先來考慮左右兩邊x b 2的主要邊界條件:0 ， xyxy x b 2 q 0將應(yīng)力分量式（e）和（g）代入,這些邊界條件要求:xx b2 0，自然滿足xy X b 2-Ab2 Bb4(h)xy x冷Bb(i)由（h）（ i）(j)考察次要邊界 邊界條件為0的邊界條件,應(yīng)用圣維南原理,三個(gè)積分的應(yīng)力(k)b2b 26b 2b 2ydxy 0b2b 2xdxb 2yy 0b 2b 2b 2dxb2xyy 0b 26Dx23Ax22E dx 2Eb 0 ；2E xdxDb32由（h）（j）（k）得將所得A、B、C、D、 E代入式

22、(e)dx(f)(g)Ab34bC得應(yīng)力分量為:qqq 2 qqx 0 , y 62 xyy gy , xy 32 XXbbbb4填空題（每個(gè)1分，共10X1=10分）。1 彈性力學(xué)的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面建立三套方程，即方程、方程以及方程；在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件，即邊界條件和邊界條件。2 彈性力學(xué)基本假定包括假定、假定、 假定、假定和假定。1 平衡微分 幾何物理應(yīng)力位移2連續(xù) 均勻 各向同性 完全彈性 小變形、單項(xiàng)選擇題（每個(gè)2分，共5X2=10分）。1. 關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識(shí)是 A_。A. 彈性力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的作用日益重要。B. 彈性力

23、學(xué)從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，不需要對(duì)問題作假設(shè)。C. 任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對(duì)象。D. 彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分 析。2. 所謂完全彈性體”是指B。A. 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間歷史無關(guān)。C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系。D. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。3. 所謂 應(yīng)力狀態(tài)”是指_B_0A. 斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同。B. 一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變。C. 3個(gè)主應(yīng)力作用平面相互垂直。D. 不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的4 彈性力學(xué)的基本未知量沒有 C。A. 應(yīng)變分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 應(yīng)力分量。5.下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是 D。A. 邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。B. 等效力系替換將不影響彈性體的變形C. 圣維南原理說明彈性體的作用載荷可以任意平移。D. 等效力系