建筑力學(xué)3軸向拉伸和壓縮.

1、第3章軸向拉伸和壓縮一、基本要求1熟練掌握截面法求軸力，繪軸力圖。2 掌握軸向拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算。3 .熟練掌握軸向拉、壓時(shí)的胡克定律及變形、位移計(jì)算。4了解彈性模量E、泊松系數(shù)卩。5 了解材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)。6 熟練掌握一次超靜定桿系的求解。7掌握“用切線代替圓弧”法求簡(jiǎn)單珩架節(jié)點(diǎn)位移的方法。二、內(nèi)容提要1 軸向拉伸（壓縮） 的力學(xué)模型（圖1）受力特點(diǎn) 作用于桿件 上的外力合力的作用線與桿 件軸線重合。變形特點(diǎn) 桿件產(chǎn)生沿 軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。2 內(nèi)力定義 在外力作用下，桿件內(nèi)部各部分之間的相互作用力。根據(jù)連續(xù) 性假設(shè)，內(nèi)力是連續(xù)分布于截面上的分布力系。分布力系的合力（或合力 偶）簡(jiǎn)稱

2、為內(nèi)力。軸力 軸向拉壓時(shí)，桿件橫截面上分布力系的合力的作用線與桿件軸 線重合，故稱為軸力。用符號(hào) N表示，單位為牛頓（N）。拉力為正，壓力 為負(fù)。軸力圖 表示軸力沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。3 .應(yīng)力定義桿件截面上某點(diǎn)處分布內(nèi)力的集度稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力P。正應(yīng)力 垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)b表示。剪應(yīng)力 切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)T表示。1）拉壓桿橫截面上的應(yīng)力拉壓桿橫截面上只有正應(yīng)力b,且為均勻分布，其計(jì)算公式為NA式中N為該截面的軸力，A為橫截面的面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。2）拉壓桿斜截面上的應(yīng)力（如圖2）拉壓桿任意斜截面（a面）上的應(yīng)力為均勻分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力P a

3、= T COS a正應(yīng)力T a =T COS2 a剪應(yīng)力Ta =一- 1PmPmnPTa axs廠圖2T a n負(fù)。正負(fù)號(hào)規(guī)定：a 由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄槔瓚?yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。4、材料的力學(xué)性能1）胡克定律：（r=Es 2）彈性極限（T e比例極限p、屈服極限（T s和強(qiáng)度極限（T b。3）延伸率3、斷面伸縮率。5、拉壓桿的強(qiáng)度條件NASnsbnb式中T 為桿件材料的許用應(yīng)力, 塑性材料:脆性材料:其中ns, nb稱為安全系數(shù)。6、拉壓桿件的變形計(jì)算1）變形桿件受到軸向拉力時(shí)， 軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短（如圖3）;受到

4、軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。NIEA軸向絕對(duì)變形： I hl軸向線應(yīng)變：II橫向絕對(duì)變形：b b1 b橫向線應(yīng)變：b2)胡克定律的第二種形式：EA稱為桿件的抗拉壓剛度。對(duì)于N或A沿桿軸線x變化的拉壓桿件，其軸向變形應(yīng)分段計(jì)算后再 求代數(shù)和，或按積分計(jì)算(當(dāng)N與A隨軸線x連續(xù)變化時(shí))：N x dx1 EA x7、軸向拉伸或壓縮的變形能桿件在外力作用下因變形而存儲(chǔ)的能量，稱為變形能。 在線彈性范圍內(nèi)，桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能為:N2|2EA變形比能 桿件單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的變形能。 軸向拉壓時(shí)的彈性變形比能為：8、拉壓超靜定問(wèn)題在拉壓桿件結(jié)構(gòu)中，當(dāng)未知約束力數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，稱為 超靜

5、定問(wèn)題。求解超靜定問(wèn)題需要綜合靜力平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物理方程。 一般步驟如下：(1) 分析結(jié)構(gòu)的約束力數(shù)和獨(dú)立平衡方程數(shù)，確定超靜定次數(shù)；(2) 根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件作出變形位移圖，建立變形協(xié)調(diào)方程；(3) 根據(jù)物理?xiàng)l件，即變形與力的關(guān)系，將桿件變形用載荷及未知 約束力表示，并代入變形協(xié)調(diào)方程，得到補(bǔ)充方程，與靜力平衡方程聯(lián)立解之。三、典型例題分析例1如圖所示，一變截面圓鋼桿ABCD。已知Pi=20kN , P2=35kN ,P3=35kN， Li=L3=300mm， L2=400mm， di=12mm， d2=16mm， d3=24mm， 彈性模量E=210GPa。試求：1.1-1 ,1

6、1-11，及III-III截面上的軸力，并作 AD桿的軸力圖;2. 桿的最大正應(yīng)力cmax；3. B截面的軸向位移 ub及AD桿的伸長(zhǎng) ALad ;C1IIRT-d2JrpiII一 Pl-PPIIBAfe-3hrP解：1.求軸力及畫軸力圖保留右邊部分,用截面法分別在1-1、11-11及III-III截面處將桿件截開(kāi),截面處都加正方向的軸力N1-1、N2-2及N3-3。圖b分別表示三個(gè)保留部分的 受力圖。由軸向靜力平衡條件，分別可求得:N1 1P120kNN2 2P1F215kNN33巳P2 P350kN其中“一”號(hào)的軸力表示壓力。顯然N1-1、N2-2、N3-3分別表示了 AB、C所示。BC、

7、CD段桿內(nèi)任意截面上的軸力，因此其軸力圖如圖2 .求最大正應(yīng)力CmaxAB段:ABNi iAAB20 103歹丁 176.8(12 10 )106Pa176 .8MPaCD段:CDAcd350 10戸110.5(24 10 )610 Pa110.5MPa可見(jiàn)最大正應(yīng)力發(fā)生在4AB段，即max 176.8MPa3. B截面的軸向位移Ub及AD桿的伸長(zhǎng)ADAB段:BC段:CD段:Bl ADl ABl BClCDl BCl AB2 兒20 103 0.3210 109(12 10 亍4N2 2I2 15 103 0.4EAbc210 何 (16 10 3)24N3 3I350 103 0.3耳 21

8、0 109(24 10亍42.53 10 4m1.42 10 4m1.58 10 4mlCD ( 1.42 1.58) 10 43.0 10 4m 0.3mm4l BC l CD 0.4710 m例2岡性梁ABC由圓桿CD懸掛在C點(diǎn)，B端作用集中載荷 P =25kN，已知CD桿的直徑d= 20mm許用應(yīng)力(r = D桿的強(qiáng)度，并求：1 結(jié)構(gòu)的許用載荷P;2 .若P = 50kN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑d。160MPa試校核C解：1 .作AB桿的部分 受力圖如圖b所示，其平衡條 件為：mA02aNCD3aP 0Ncd3p2CD桿的應(yīng)力:CDN CDA33-25 1032r 119.4 106Pa 11

9、9.4MPa(20 10 3)24因?yàn)閎 CD b，所以CD桿安全。2.許用載荷CPCDNcdAP3.d2633.5kN 若 P = 50kN,3p亍4(20 10 3)2 160 10633.5 103N33.5kNCDNcdAd6P取 d 25mm設(shè)計(jì)CD桿的直徑d6P6 50 103160 1062.44 10 3m 24.4mm由剛性桿AB及兩彈性桿EC及FD組成的結(jié)構(gòu)，在B端受到力F作用。兩彈性桿的抗拉壓剛度分別為E1A1和E2A2。試求桿 EC和FD的內(nèi)力。解：該結(jié)構(gòu)為一次超靜定，需要一個(gè)補(bǔ)充方程。為此，從下列三方面 來(lái)分析。EZ/ZEhE2A2CDFN2FHaFni和Fn2。由A

10、B桿的平衡方程mA 0，得（1）靜力方面 取脫離體如圖 b所示，設(shè)兩桿的軸力分別為FN1(h)-Fn2F L 033（2）幾何方面 由于AB桿是剛性桿，在力F的作用下繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng), 桿EC和FD產(chǎn)生伸長(zhǎng)。由于是小變形，可認(rèn)為 C、D兩點(diǎn)鉛垂向下移動(dòng)到 C和 D點(diǎn)。設(shè) CC1, DD2。它們應(yīng)滿足以下關(guān)系:(i )這就是變形協(xié)調(diào)方程。（3）物理方面 根據(jù)胡克定律，有:FniNE1A1Fn 2aE2 A2將式（j ）代入式（m）得:FN1aE1A1FN2aE2A2(j)由（h）、（j ）兩式解出F N13EiAF，F(xiàn) N26E2A2FE1 A 4 E2 A2例4 如圖（a）所示，為埋入土中深度為 部

11、承受載荷P。這載荷完全由沿著木樁的摩擦力 如圖（b）所示。試確定木樁的總縮短，以P，E1A1 4E2 A2l的一根等截面木樁，在頂f所平衡，f按拋物線變化, l， E， A表示。1f=ky 20(b)例4圖 解：（1）求常數(shù)k。 木樁微段dy上的摩擦力：dF2fdy ky dy整個(gè)木樁的摩擦力:dF0ky2dy由平衡條件可知:即:3Pl3（2）確定木樁的總縮短量。由圖（b）可知，木樁任意截面上的軸力為：k 3y3N(y)y 20 ky2dyy 3(j)3P桿中微段dy的縮短量為:d( l)N（y）dyEA所以木樁的總縮短量為:l1 d（ l）0lN(y)dy0 EAy3dy 旦0 EAl34EA例5 如圖所示三角架，AB桿和AC桿的抗拉壓剛度分別為 EiAi和E2 A 2，試求A點(diǎn)的鉛垂位移A。彳A2ABl I P A3 A4a AA4 AD DA41 ABcos451 AC2、2PIE1A1PIE2 A2(a)例5圖(b)解：（1）圖解法。由節(jié)點(diǎn)A的平衡方程x0N AC N AB cos 450y0N AB sin 45P 0得：N AB2P（拉力）;NacP（壓力）由此可求得各桿的變形：1N Ab1AB,