基本不等式專題---完整版

1、基本不等式專題輔導一、知識點總結(jié)1、基本不等式原始形式二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式1)若 a,b R ，則 a 2b22ab2 b222、基本不等式一般形式（均值不等式）2)若 a,b R ，則 ab21、設 a,b均為正數(shù)，證明不等式 : ab 11b若 a,b R* ，則 a b 2 ab3、基本不等式的兩個重要變形（1）若 a,b R* ，則 a b ab222)若 a,b R* ，則 ab a b2總結(jié)：當兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值； 當兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值； 特別說明：以上不等式中， 當且僅當 a b時取“=”4、求最值的條件： “一正，

2、二定，三相等”5、常用結(jié)論1（1）若 x 0 ，則 x2（ 當且僅當x1時取“ =”）x1（2）若 x 0，則 x 12（ 當且僅當x1時取“=”）x（3）若ab 0，則 a b2（ 當且僅當ab 時取“ =”）ba22（ 4）若 a,b R ，則 ab(ab)2 ab2 ) 2（5）若 a,b R* ，則 1ab aba2 b21122ab特別說明：以上不等式中，當且僅當 a b時取“ =” 6、柯西不等式（1）若 a,b,c,d R，則 （a2 b2）（c2 d2） （ac bd）2(2)若 a1,a2,a3,b1,b2 ,b3 R ，則有：2 2 2 2 2 2 2 (a1a2a3)(1

3、b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)(3)設 a1,a2, , an與b1 ,b2, ,bn 是兩組實數(shù)，則有2 2 2 2 222(a1 a2an )(b1 b2bn ) (a1b1 a2b2anbn )22、3、4、(15、已知b2已知 a已知a)(1已知a,b,c 為兩兩不 相等 的實數(shù)，abbcca求證：bca,b,c1，求證：，且b)(1 c) 8abca,b,c R求證：求證：111111abc1) y 3x2 21x22) y x(4 x)6、（2013 年新課標卷數(shù)學（理） 選修 4 5：不等式選講 設均為正數(shù) , 且,證明 :（ ）; （ ）.13) y x (x 0)

4、x14) y x (x 0)x題型三：利用不等式求最值1、已知 x 2 ，求函數(shù) y 2x一）（湊項）42x 4的最小值；7、（ 2013 年江蘇卷（數(shù)學） 選修 4 5：不等式選講已知 a b 0 ，求證 : 2a3 b3 2ab2 a 2b變式 1：已知 x 2 ，求函數(shù) y2x42x 4的最小值；變式 2：已知 x 2 ，求函數(shù) y2x42x 4的最大值；練習： 1、已知 x題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域5，求函數(shù) y 4x 2 1 的最小值；4 4x 52、已知 x，求函數(shù) y 4 x 2 1 的最大值；4 4 x 5變式 ：若 0 x 4 ，求 y x(8 2x)

5、的最大值；題型四：利用不等式求最值 (二)(湊系數(shù))1、當時，求 y x(8 2x) 的最大值；3、求函數(shù) y 2x 1 5 2x(1 x 5) 的最大值；22提示：平方，利用基本不等式)變式 1：當時，求 y 4x(8 2x) 的最大值；變式： 求函數(shù) y 4x 3 11 4x( 3 x 11)的最大值；443變式 2：設 0 x ，求函數(shù) y 4x(3 2x)的最大值。22、若 0 x 2 ，求 y x(6 3x) 的最大值；題型五：巧用“ 1”的代換求最值問題111、已知 a,b 0, a 2b 1，求 t的最小值；ab法一：xy變式 5：（1）若 x,y 0且 2x y1 1 11，求

6、xy的最小值；（2）若a,b,x, y R 且a xb 1 ，求 x yy 的最小值；19變式 4：已知 x,y 0，且4，求 x y的最小值；11變式 1：已知 a,b 0,a 2b 2，求 t 的最小值； ab變式 2：已知 x, y280,1，求 xy 的最小值；xy變式 3：已知 x, y110 ，且9 ，求 x y 的最小值。xy變式 6：已知正項等比數(shù)列 an 滿足： a7 a6 2a5 ，若14存在兩項 am, an ，使得 aman 4a1 ，求的最小值；mn題型六：分離換元法求最值（了解）題型七：基本不等式的綜合應用1）的值域；ab1、已知 log2a log2b 1，求 3

7、a 9b的最小值1、求函數(shù) y7x 10(xx1變式： 求函數(shù) yx2 8(xx11） 的值域；2、（2009天津）已知 a,b 0，求 1 1 2 ab的最小值；ab2、 求函數(shù) yx22xx 52 的最大值；提示：換元法）變式 1：（2010 四川）如果 a b 0 ，求關于 a,b 的表達2 1 1式 a 的最小值； ab a( a b)變式：求函數(shù) y 4xx 91的最大值；變式 2：（2012 湖北武漢診斷）已知，當 a 0,a 1 時，函數(shù) y loga （x 1） 1的圖像恒過定點 A，若點 A在直線 mx y n 0 上，求 4m 2n 的最小值；4 、（ 2013 年 山 東

8、 （ 理 ） 設 正 實 數(shù) x,y,z 滿 足2 x3xy24y2 z 0 , 則 當xy z取得最大值時,212 的最大值為（）xyzA0B1 C 9D343、已知 x,y 0， x 2y 2xy 8，求 x 2y 最小值；提示：代入換元 , 利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式 1：已知 a,b 0 ，滿足 aba b 3，求ab范圍；變式 2：（2010 山東） 已知 x,y0，2x12y求 xy 最大值；（提示：通分或三角換元）2 變式： 設 x,y,z 是正數(shù)，滿足 x 2y 3z 0，求 y 的 xz 最小值；變式 3：（2011浙江） 已知 x,y 0， x2 y2 xy 1，

9、求 xy 最大值；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1a1、(2012 沈陽檢測) 已知 x, y 0，且(x y)( ) 9 xy恒成立，求正實數(shù) a 的最小值；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式 ab(a,b,c,d R ,當且僅當 a b；即ad bc時等號成立 )cd若 a,b,c,d R ，則 (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二維形式的柯西不等式的變式(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd(a,b,c,d R ,當且僅當 a b；即ad bc時等號成立 )cd( 2) a2 b2 c2 d 2 ac bd11n2、已知 x y z 0 且 1 1 n

10、 恒成立， x y y z x z如果 n N ，求 n 的最大值；(參考： 4)(提示：分離參數(shù)，換元法)(a,b,c,d R ,當且僅當 a b；即ad bc時等號成立 )cd(3)(a b)(c d) ( acbd )2(a,b,c,d 0,當且僅當 a b；即ad bc時等號成立)cd3、二維形式的柯西不等式的向量形式(當且僅當0,或存在實數(shù) k,使 a k 時,等號成立 )4、三維柯西不等式若 a1,a2, a3,b1,b2,b3 R，則有：14變式：已知 a,b 0 滿則ab求 c 的取值范圍；2 ，若 a b c 恒成立，22( a1 a2a32)(1b12b22 b32 ) (

11、a1b1 a2b2 a3b3) 2(ai,bi R, 當且僅當 a1 a2 a3時等號成立 )i ib1 b2 b35、一般 n 維柯西不等式設 a1,a2, ,an與b1,b2, ,bn 是兩組實數(shù)，則有 :2 2 2 2 2 2 2 (a1 a2an )( b1 b2bn ) (a1b1 a2b2anbn)2(ai,bi R, 當且僅當 a1 a2an時等號成立 )i i b1 b2bn題型分析 題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設 x, y,z R ，若 x2 y2 z2 4，則 x 2y 2z 的4、（ 2013 年湖南卷（理） ）已知 a,b,c ,a 2b 3c 6, 則 a2 4b2 9c2的最小值是（ Ans:12 ）最小值為時，(x, y,z)析： （x2y2z)2 (x222yz)12 (2)2 224936 x 2y2z 最小值為6x 此時yz6212212( 2)2 22324，4x，yz3332、設 x,y,zR，2xy 2z 6，求x222y2 z2 的最小值 m ，并求此時x,y,z之值。Ans：m4244;(x,y,z)(3, 3,43)5 、( 2013 年 湖 北 卷 ( 理 ) 設 x,y,z R , 且 滿 足: x2 y2 z2 1, x 2y 3z 14 , 求 x y z 的 值；3