5、4年級奧數(shù)_等差數(shù)列求和（課堂PPT）

1、1四年級競賽班奧數(shù)四年級競賽班奧數(shù)等差數(shù)列求和2一、等差數(shù)列的基本知識一、等差數(shù)列的基本知識3什么是數(shù)列？什么是數(shù)列？按一定規(guī)律排列的數(shù)是一列數(shù)，可以有限，可以無限1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、30304認識數(shù)列 觀察：1，3，5，7，9，19第一項第二項第四項第三項第五項第十項首項末項項數(shù)5（二）等差數(shù)列的基本知識（二）等差數(shù)列的基本知識（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=

2、1）（公差（公差=2）（公差（公差=5） 通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個數(shù)列中，從第一項開始，后項與前項個數(shù)列中，從第一項開始，后項與前項的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為為等差數(shù)列等差數(shù)列，這個差稱為這個數(shù)列的，這個差稱為這個數(shù)列的公公差差。6二、等差數(shù)列的項二、等差數(shù)列的項7數(shù)列：數(shù)列：1、3、5、7、9、11第第2項：項： 3=1+2 首項首項+公差公差1（2-1）第第3項：項： 5=1+2 2 首項首項+公差公差2（3-1）第第4項：項： 7=1+2 3 首項首項+公差公差3（4-1）第第5項：項： 9=1+2 4

3、 首項首項+公差公差4（5-1）第第6項：項： 11=1+2 5 首項首項+公差公差5（6-1） 等差數(shù)列的通項公式：等差數(shù)列的通項公式：等差數(shù)列的某一項等差數(shù)列的某一項= =首項首項+ +公差公差（項數(shù)（項數(shù)-1 1）等差數(shù)列的末項等差數(shù)列的末項= =首項首項+ +公差公差（項數(shù)（項數(shù)-1 1）等差數(shù)列的首項等差數(shù)列的首項=末項末項-公差公差（項數(shù)（項數(shù)-1）適用條件：適用條件：該數(shù)列一定要為等差數(shù)列該數(shù)列一定要為等差數(shù)列8等差數(shù)列的某一項等差數(shù)列的某一項=首項首項+公差公差（項數(shù)（項數(shù)-1）例例1 已知數(shù)列已知數(shù)列2、5、8、11、14求：（求：（1）它的第）它的第10項是多少？項是多少？

4、 （2）它的第）它的第98項是多少？項是多少？ （3）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？分析：首項分析：首項=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10項：項： 2+3 （10-1）=29 （2）第）第98項：項： 2+3 （98-1）=293 9等差數(shù)列的某一項等差數(shù)列的某一項=首項首項+公差公差（項數(shù)（項數(shù)-1）例例1 已知數(shù)列已知數(shù)列2、5、8、11、14求：（求：（3）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？ 分析：分析： 被除數(shù)被除數(shù)=余數(shù)余數(shù)+除數(shù)除數(shù)商商 等差數(shù)列的某一項等差數(shù)列的某一項= 2+ 3（項數(shù)（項數(shù)-1） 規(guī)律

5、：規(guī)律： 等差數(shù)列的某一項與被除數(shù)相對應(yīng)，首項與余數(shù)相等差數(shù)列的某一項與被除數(shù)相對應(yīng)，首項與余數(shù)相對應(yīng)，公差與除數(shù)相對應(yīng)，（項數(shù)對應(yīng)，公差與除數(shù)相對應(yīng)，（項數(shù)-1）與商相對應(yīng)。）與商相對應(yīng)。 這個數(shù)列每這個數(shù)列每1項除以項除以3都余都余2。 等差數(shù)列的每等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。項除以它的公差，余數(shù)相同。答：這個數(shù)列第答：這個數(shù)列第10項是項是29；第；第98項是項是293；這個數(shù)列；這個數(shù)列各項除以各項除以3余數(shù)相同。余數(shù)相同。 10例例2 已知數(shù)列已知數(shù)列2、5、8、11、14、17302，這個，這個數(shù)列有多少項。數(shù)列有多少項。分析：第分析：第2項比首項多項比首項多1個公差，

6、第個公差，第3項比首項多項比首項多2個個公差，第公差，第4項比首項多項比首項多3個公差個公差，那第，那第n項比首項項比首項多（多（n-1)個公差。個公差。規(guī)律：規(guī)律：末項比首項多的公差的個數(shù)，再加上末項比首項多的公差的個數(shù)，再加上1，就得到，就得到這個數(shù)列的項數(shù)。這個數(shù)列的項數(shù)。 等差數(shù)列的項數(shù)等差數(shù)列的項數(shù)= 公差個數(shù)公差個數(shù) + 1 =（末項（末項-首項）首項）公差公差 + 1這個數(shù)列的項數(shù)這個數(shù)列的項數(shù)= （302-2）3+1=10111小結(jié)：小結(jié)：等差數(shù)列項的有關(guān)規(guī)律等差數(shù)列項的有關(guān)規(guī)律等差數(shù)列的某一項等差數(shù)列的某一項=首項首項+公差公差（項數(shù)（項數(shù)-1）等差數(shù)列的每等差數(shù)列的每1項除

7、以它的公差，余數(shù)相同。項除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的項數(shù)等差數(shù)列的項數(shù)=（末項（末項-首項）首項）公差公差+112練習(xí)練習(xí)1、一串數(shù)：、一串數(shù)：1、3、5、7、9、49。（。（1）它的第）它的第21項是多少項是多少?（2）這串數(shù)共有多少個？）這串數(shù)共有多少個？2、一串數(shù)：、一串數(shù)：2、4、6、8、2008。（。（1）它的第）它的第25項是多少項是多少?（2）這串數(shù)共有多少個？）這串數(shù)共有多少個？3、一串數(shù)：、一串數(shù)：101、102、103、104、199。（。（1）它的第它的第30項是多少項是多少?（2）這串數(shù)共有多少個？）這串數(shù)共有多少個？4、一串數(shù)：、一串數(shù)：7、12、17、22。（

8、。（1）它的第）它的第60項項是多少是多少?（2）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？13練習(xí)答案：練習(xí)答案：1、它的第、它的第21項項=1+2（21-1）=41； 這個數(shù)列的項數(shù)這個數(shù)列的項數(shù)= （49-1）2+1=25；2、它的第、它的第25項項=2+2（25-1）=50； 這個數(shù)列的項數(shù)這個數(shù)列的項數(shù)= （2008-2）2+1=1004；3、它的第、它的第30項項=101+1（30-1）=130； 這個數(shù)列的項數(shù)這個數(shù)列的項數(shù)= （199-101）1+1=994、它的第、它的第60項項=7+5（60-1）=302； 這個數(shù)列各項被這個數(shù)列各項被5除有相同的余

9、數(shù)。除有相同的余數(shù)。（提示：等差數(shù)列的每（提示：等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相項除以它的公差，余數(shù)相同。）同。）14二、等差數(shù)列的和二、等差數(shù)列的和15例：例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38分析：這是一個等差數(shù)列；首項分析：這是一個等差數(shù)列；首項=6，末項，末項=38，公差，公差=4原數(shù)列的和：原數(shù)列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38倒過來的和：倒過來的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44

10、44兩數(shù)列之和兩數(shù)列之和=（6+38）9解：原數(shù)列之和解：原數(shù)列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差數(shù)列的和等差數(shù)列的和=（首項（首項+末項）末項）項數(shù)項數(shù)216例：計算例：計算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 276分析：這是一個等差數(shù)列；首項分析：這是一個等差數(shù)列；首項=1，末項，末項=276，公差，公差=5 等差數(shù)列的和等差數(shù)列的和=（首項（首項+末項）末項）項數(shù)項數(shù)2 ？ 等差數(shù)列的項數(shù)等差數(shù)列的項數(shù)=（末項（末項-首項）首項）公差公差+1解：等差數(shù)列的項數(shù)：解：等差數(shù)列的項數(shù)：（276-1）5+1=56（項）（項） 原數(shù)列之和原數(shù)列之和=（1+27

11、6）562 = 27728 =775617練習(xí)練習(xí)1、計算、計算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+9918練習(xí)答案：練習(xí)答案：解：（解：（1）這是一個等差數(shù)列；首項）這是一個等差數(shù)列；首項=7，末項，末項=37，公差，公差=3, 項數(shù)項數(shù)=（37-7）3+1=11 和和=（7+37）112=242（2）這是一個等差數(shù)列；首項）這是一個等差數(shù)列；首項=7，末項，末項=403，公差，公差=4， 項數(shù)項數(shù)=（403-7）4+1=100 和和=（7+403）1002=20500（3）這是一個等差數(shù)列；首項）這是一個等差數(shù)列；首項=9，末項，末項=99，公差，公差=10， 項數(shù)項數(shù)=（99-9）10+1=10 和和=（9+99）102=540（4）這是一個等差數(shù)列；首項）這是一個等差數(shù)列；首項=1，末項，末項=99，公差，公差=2， 項數(shù)項數(shù)=（99-1）2+1=50 和和=（1+99）502=25