3.2g狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算ppt課件

1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算(1/1)3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算 在狀態(tài)方程求解中,關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計算。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算。上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他3種常用方法。級數(shù)求和法約旦規(guī)范形法 化eAt為A的有限多項式矩陣函數(shù)法級數(shù)求和法級數(shù)求和法(1/3)3.2.1 級數(shù)求和法 由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知:.!.! 222ktAtAAtIkkAte 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算可由上述定義式直接計算。 由于上述定義式是一個無窮級數(shù),故在用此方法計算eAt時必須考

2、慮級數(shù)收斂性條件和計算收斂速度問題。 類似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)eat,對所有有限的常數(shù)矩陣A和有限的時間t來說,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt這個無窮級數(shù)表示收斂。級數(shù)求和法級數(shù)求和法(2/3)q 顯然顯然,用此方法計算用此方法計算eAt一般不能寫成封閉的、簡潔的解析一般不能寫成封閉的、簡潔的解析形式形式,只能得到數(shù)值計算的近似計算結(jié)果。只能得到數(shù)值計算的近似計算結(jié)果。q 其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)的多少。的多少。q 如果級數(shù)收斂較慢如果級數(shù)收斂較慢,則需計算的級數(shù)項數(shù)多則需計算的級數(shù)項數(shù)多,人工計算是非常人工計算是非常麻煩的麻煩的,一般

3、只適用于計算機計算。一般只適用于計算機計算。q 因此因此,該方法的缺點該方法的缺點:q 計算量大計算量大q 精度低精度低q 非解析方法非解析方法,難以得到計算結(jié)果的簡潔的解析表達(dá)式難以得到計算結(jié)果的簡潔的解析表達(dá)式 。級數(shù)求和法級數(shù)求和法(3/3)例例3-4q 例3-4 用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):.31.32.23.1.! 2321032101001.!.! 22222222ttttttttktAtAAtIkkAte3210Aq 解 按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計算如下:約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法 (1/8)3.2.2 約旦規(guī)范形法 上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣

4、的矩陣指數(shù)函數(shù)。由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣,再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速計算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)。下面討論之。約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(2/8)q 下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì):q 對矩陣A,經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有q 則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系PPPPAttAtAAteeee111AP APq 根據(jù)上述性質(zhì)根據(jù)上述性質(zhì),對矩陣對矩陣A,可通過線性變換方法得到對角線矩可通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)然后利用該類特殊矩陣的矩

5、陣指數(shù)函數(shù),由矩由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)。的矩陣指數(shù)函數(shù)。約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(4/8)例例3-5q 例例3-5 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)51166116110Aq 解解 1. 先求先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為的特征值。由特征方程可求得特征值為q1=-1 2=-2 3=-3q 2. 求特征值所對應(yīng)的特征向量。由前述的方法可求得特征值求特征值所對應(yīng)的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和和3所對應(yīng)的特征向量分別為所對應(yīng)的特征向量分別為q p1=1 0 1 p2=1 2 4 p3=1 6

6、 9約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法例例3-5q 故將故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣及其逆陣P-1為為12/ 3134322/ 539416201111PP3. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有分別有ttttAAPPA321e000e000ee300020001約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法例例3-62/e27e16-2/5ee9e12-e3e9e8-e6e6-2/e3e4-2/5eee3-e3ee3232323232321tttttttttttttttttAAtPPtttttttt323232e9-e122e-e6-6ee-

7、e3e2-q 例例3-6 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)032100010A約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(7/8)例例3-6q 解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為q1=2 2=3=-1q 2. 由于矩陣A為友矩陣,故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P-1分別為136128121912141120111PPtttttAtAPPAe00ee000ee100110002213. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有分別有約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(8/8)-例例3-6tttttttttttttttttttAAttt

8、tttttttPPe )3-5(4ee )32- (2ee )3-1- (ee )38- (8ee )64- (4ee )3-5(4ee )62(-2ee )32- (2ee )68(e91ee2222222221塞爾維斯特內(nèi)插法塞爾維斯特內(nèi)插法(1/1)3.2.3 塞爾維斯特內(nèi)插法在討論塞爾維斯特(Sylvester)內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt時,需要用到關(guān)于矩陣特征多項式的凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理以及最小多項式的概念。因此,首先給出凱萊-哈密頓定理及最小多項式的概念,再討論塞爾維斯特內(nèi)插法。下面依次介紹:凱萊-哈密頓定理最小多項式塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)

9、凱萊-哈密頓定理(1/4)1. 凱萊-哈密頓定理凱萊-哈密頓定理是矩陣方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和證明如下。定理3-1(凱萊-哈密頓定理) 設(shè)nn矩陣A的特征多項式為f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an則矩陣A必使由上述特征多項式?jīng)Q定的矩陣多項式函數(shù)f(A)=An+a1An-1+an-1A+anI=0上述特征多項式亦稱為矩陣A的零化特征多項式。 凱萊-哈密頓定理(2/4)q 證明證明 由于由于q I=(I-A)-1(I-A)=adj(I-A)/|I-A|(I-A)q 故故q |I-A|I=adj(I-A)(I-A)q 由伴隨矩陣的定義可知由伴隨矩陣的定義可知,伴隨矩陣

10、伴隨矩陣adj(I-A)可表示為如下多可表示為如下多項式矩陣函數(shù)項式矩陣函數(shù):q adj(I-A)=n-1I+n-2B2+Bn-1+Bnq 其中矩陣其中矩陣B2,B3,Bn為為nn維的常數(shù)矩陣。維的常數(shù)矩陣。凱萊-哈密頓定理(3/4) 因此由前面兩式因此由前面兩式,有有 (n+a1n-1+an-1+an)I=(n-1I+n-2B2+Bn-1+Bn)(I-A) 整理得整理得 (n+a1n-1+an-1+an)I =nI+(B2-A)n-1+(Bn-Bn-1A)-BnA凱萊-哈密頓定理(4/4) 上式中上式中,令等號兩邊令等號兩邊的同冪次項的系數(shù)相等的同冪次項的系數(shù)相等,則有則有 a1I-B2+A

11、=0 a2I-B3+AB2=0 an-1I-Bn+ABn-1=0 anI+ABn=0 因此因此,將上述各等式從上至下依次右乘以將上述各等式從上至下依次右乘以An-1,A,I,然然后將各等式相加后將各等式相加,即得即得 An+a1An-1+an-1A+anI=0 故矩陣故矩陣A滿足其本身的零化特征多項式。滿足其本身的零化特征多項式。 最小多項式最小多項式 (1/3)2. 最小多項式 根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理,任一nn維矩陣A滿足其自身的特征方程,即特征多項式為A的一個零化多項式。然而特征多項式不一定是A的最小階次的零化多項式。將矩陣A滿足的最小階次的首一零化多項式稱為最小多項式,也就是說,定義nn

12、維矩陣A的最小多項式為滿足(A)=Am+1Am-1+m-1A+mI=0, mn的階次最低的首一多項式()=m+1m-1+m-1+m最小多項式最小多項式(2/3)q 最小多項式在矩陣多項式的分析與計算中起著重要作用。最小多項式在矩陣多項式的分析與計算中起著重要作用。q 定理定理3-2給出了特征多項式與最小多項式的關(guān)系。給出了特征多項式與最小多項式的關(guān)系。q 定理定理3-2 設(shè)首一多項式設(shè)首一多項式d()是是I-A的伴隨矩陣的伴隨矩陣adj(I-A)的的所有元素的最高公約式所有元素的最高公約式,則最小多項式為則最小多項式為)()(dAI 最小多項式最小多項式(3/3)q 證明 由假設(shè)知,矩陣adj

13、(I-A)的最高公約式為d(),故q adj(I-A)=d()B(),q 式中,B()的n2個元素(為的函數(shù))的最高公約式為1。q 由于q (I-A)adj(I-A)=|I-A|Iq 可得q d()(I-A)B()=|I-A|Iq 由上式可知,特征多項式|I-A|可被整除d()。q 因此設(shè)d()整除|I-A|得到的因式記為(),故有q|I-A|=d()(),最小多項式最小多項式(4/3)q 由于首一多項式由于首一多項式d()的最高階次的系數(shù)為的最高階次的系數(shù)為1,所以所以()的最的最高階次的系數(shù)也應(yīng)為高階次的系數(shù)也應(yīng)為1。q 因此因此,綜合上兩式綜合上兩式,可得可得q (I-A)B()=()I

14、q 因此因此q(A)=0q 即即()亦為亦為A的零化多項式。的零化多項式。q 設(shè)設(shè)()為為A的最小多項式的最小多項式,因此零化多項式因此零化多項式()可寫為可寫為q()=g()()+e()q 其中其中g(shù)()和和e()分別是多項式分別是多項式()除以除以()的商和余項的商和余項,且且e()的階次低于的階次低于()。最小多項式最小多項式(5/3) 由于由于(A)=0和和(A)=0,所以必然有所以必然有e(A)=0。 考慮到考慮到()為矩陣為矩陣A的最小多項式的最小多項式,所以不存在比所以不存在比()階次還低的階次還低的A的零化多項式的零化多項式,故故e()必為零必為零,即有即有()=g()() 又

15、因為又因為(A)=0,所以所以()可寫為可寫為()I=(I-A)H() 式中式中,H()為為()的一個因子矩陣的一個因子矩陣,故故()I=g()()I=g()(I-A)H() 將上式與將上式與(I-A)B()=()I比較比較,有有 B()=g()H()最小多項式最小多項式(6/3)q 又因為B()的n2個元素的最高公約式為1,因此q g()=1q 于是q()=()q 因此,由前面證明的|I-A|=d()()而證明了最小多項式()為)()(dAI 最小多項式最小多項式(7/3)q 根據(jù)上述定理3-2,nn維矩陣A的最小多項式可按以下步驟求出。q 1) 根據(jù)伴隨矩陣adj(I-A),寫出作為的因式

16、分解多項式的adj(I-A)的各元素;q 2) 確定作為伴隨矩陣adj(I-A)各元素的最高公約式d()。q 選取d()的最高階次系數(shù)為1。q 如果不存在公約式,則d()=1;q 3) 最小多項式()可由|I-A|除以d()得到。塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(1/4)3. 塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)基于最小多項式(或特征多項式),塞爾維斯特內(nèi)插法可以非常簡潔、快速地計算出矩陣指數(shù)函數(shù),其計算思想與過程可描述如下。假設(shè)()=m+1m-1+m-1+m為矩陣A的最小多項式,則由(A)=0有 Am=-1Am-1-m-1A-mI即Am可用有限項Am-1,A,I的

17、線性組合來表示。塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(2/4)q 將上式兩邊乘以矩陣將上式兩邊乘以矩陣A,則有則有q 即即Am+1可用有限項可用有限項Am-1,A,I的線性組合來表示。的線性組合來表示。12111211112112111.().()mmmmmmmmmmmmmAAAAAAIAAAAI 塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(3/4)其中i(t)(i=0,1,m-1)為待定的關(guān)于時間t的函數(shù)。即,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt亦可以用有限項Am-1,A,I的線性函數(shù)組合表示。q 依次類推依次類推,則可知則可知,Ai(im)可用有限項可用有限

18、項Am-1,A,I的線性組的線性組合來表示。合來表示。q 因此因此,我們有我們有111022)(.)()(.!.! 2nnkkAtAtAtItktAtAAtIe關(guān)鍵喔塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計算矩陣指數(shù)函數(shù)(4/4)q 利用上式去計算矩陣指數(shù)函數(shù)利用上式去計算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的關(guān)鍵是如何計算待定函的關(guān)鍵是如何計算待定函數(shù)數(shù)i(t)。q 下面分下面分q A的特征值互異的特征值互異q A有重特征值有重特征值q 兩種情況來討論如何計算兩種情況來討論如何計算i(t)以及以及eAt。(1) A的特征值互異設(shè)矩陣A的n個互異特征值為1,2,n,則矩陣A的最小多項式()等于特征多項

19、式f()=|I-A|=n+a1n-1+an-1+an。因系統(tǒng)的所有特征值i使特征多項式f(i)=0,故與前面證明過程類似,我們亦有A的特征值互異的特征值互異(1/4)nitttniaaaninitninnini, 1)(.)()(e, 1.1110111i其中待定函數(shù)i(t)(i=0,1,n-1)與矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式中的i(t)一致。A的特征值互異的特征值互異(2/4) 因此因此,可得如下待定函數(shù)可得如下待定函數(shù)i(t)(i=0,1,n-1)的線性方程的線性方程組組:tttnnnnnnnttte.ee)(.)()(.1.1.1211101122111 求解上述方程得函數(shù)i(t)后,由式

20、(3-49)可計算得矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。A的特征值互異的特征值互異(3/4)-例例3-7 q 例3-7 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)6116100010Attttttttttttttt323232321210ee2ee3e8e5e2e6e621eee931421111)()()(q 解 由于矩陣A的3個特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方程組(3-52)可得tttnnnnnnnttte.ee)(.)()(.1.1.1211101122111A的特征值互異的特征值互異(4/4)則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為tttttttttttttttttttttttttttAtAtA

21、tIt3232323232323232322210e9e8-ee3-e4e-ee2-ee27e32-e5e9e12-e6e9-e16e5-e6-e12e6-e3e8-e5e2e6-e621)()()(eA有重特征值有重特征值(1/4)(2) A有重特征值由于矩陣A與它的約旦矩陣 具有相同的最小多項式(),因此由前面的推導(dǎo)過程可知,約旦矩陣 也滿足A設(shè)A與 的特征值i的代數(shù)重數(shù)為mi,則由上式很容易證明i(t)滿足1011( )( ).( )Atmmt It At Aeiii10112121111e( )( ).( )e( )2( ).(1)( ).(1)!e(1)!( ).( )()iiitm

22、imitmimimm mtimmiittttttmtmtmttmmAA 求解上述方程,則可求得待定函數(shù)i(t)。A有重特征值有重特征值(2/4)q 為清楚說明問題,設(shè)A和 有如下6個特征值:1,1,1,2,2,3。q 則相應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)計算式(3-49)中的待定函數(shù)i(t)(i=0, 1,5)的計算式為ttttttttttttttt322111eee! 11ee! 11e! 2111! 4! 5432101! 4! 543210! 2 ! 3! 5! 2 ! 2! 43100)()()()()()(215343332335242322224232222514131211413121131211543210AA有重特征值有重特征值(3/4)例例3-8q 值得指出的是,上述塞爾維斯特內(nèi)插法不僅對矩陣A的最小多項式成立,而且對所有矩陣A的零化多項式也成立。q 因此,在難以求解最小多項式時,上述方法中的最小多項式可用矩陣A的特征多項式代替,所得結(jié)果一致,僅計算量稍大。q 例3-8 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)010230002A A有重特征值有重特征值(4/4)例例3-8q 解 解矩陣A的特征方程,q 得特征值為1,1和2。q 由于特征值2為二重特征值,下面按基于q 最小多項式和q 特征多項式