理論力學(xué)-第十一章 動(dòng)量矩定理ppt課件

1、第十一章第十一章 動(dòng)動(dòng) 量量 矩矩 定定 理理11-1 11-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn) O O 的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩()OMmvrmv對(duì)對(duì) z z 軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩()()zOxyMmvMmv代數(shù)量代數(shù)量, ,從從 z z 軸正向看軸正向看, ,逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正, ,順時(shí)針為負(fù)順時(shí)針為負(fù). .vmr)( vmMO)( vmMz()()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMm v 2 2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 對(duì)軸的動(dòng)量矩對(duì)軸的動(dòng)量矩O zzLLOxyzLL iL jL k

2、 即即 （1 1） 剛體平移剛體平移()zzCLM mv()OOCLM mv二者關(guān)系二者關(guān)系（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zzJL dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 11-2 11-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)設(shè)O O為定點(diǎn)為定點(diǎn), ,有有d()( )dOOMmvMFtFv0 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù), ,等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩. .質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定

3、理d()( )dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式投影式:ddd()()dddOOi iOi iLMmvMmvttt(e)d()dOOiLMFt 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和.(i)(e)d()()()dOiiOiOiMmvMFMFt(i)(e)d()()()dOi iOiOiMmvMFMFt2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理0質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理(e)d()dxxiLM Ft(e)d()d

4、yyiLMFt 投影式投影式: :(e)d()dzziLMFt 問(wèn)題：內(nèi)力能否改變質(zhì)問(wèn)題：內(nèi)力能否改變質(zhì) 點(diǎn)系的動(dòng)量矩？點(diǎn)系的動(dòng)量矩？3 3動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律假設(shè)假設(shè) 那么那么 常量。常量。(e)()0zMFzL 有心力：力作用線始終通過(guò)某固定點(diǎn)有心力：力作用線始終通過(guò)某固定點(diǎn), , 該點(diǎn)稱力心該點(diǎn)稱力心. .( )0OMF ()M mvrmv 常矢量常矢量假設(shè)假設(shè) (e)()0OMFOL 那么那么 常矢量常矢量, ,面積速度定理：面積速度定理：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒. .(1) (1) 與與 必在一固定平面內(nèi)必在一固定平面內(nèi), ,即點(diǎn)即點(diǎn)M

5、 M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線. .rvd(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drrAddAt因此因此, , 常量常量面積速度面積速度思索：誰(shuí)先到達(dá)頂部？思索：誰(shuí)先到達(dá)頂部？(e)sinOMMmgRRmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa 知：知： , ,小車不計(jì)摩擦小車不計(jì)摩擦. .,MJRma求求: :小車的加速度小車的加速度 . .RvmJLO解解: :Rvatvdd由由 , ,得得例例11-111-1知：知： , , , , , , , , , , ,不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦. .mOJ1m2m1r2r求求: :（1 1）NF （2O 處約束力

6、處約束力 （3繩索張力繩索張力 ，1TF2TF例例11-211-2)(222211rmrmJO(e)1 12 2()()OMFm rm r g2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由由 ,得得(e)d()dOOLMFt 222111rvmrvmJLOO解：解：(1)(1) （2 2由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理CyammmgmmmF)()(2121NNF212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 1111T11rmamFgm)(11T1rgmF)()(221121NrmrmgmmmF （3 3） 研討研討1m22222T2rmamgmF)(22

7、T2rgmF2m（4 4） 研討研討求：剪斷繩后求：剪斷繩后, , 角時(shí)的角時(shí)的 . .知：兩小球質(zhì)量皆為知：兩小球質(zhì)量皆為 , ,初始角速度初始角速度 。m0例例11-311-3020221maamaLz2)sin(22lamLz時(shí)時(shí), ,00 時(shí)時(shí), ,202)sin(laa12zzLL解：解： 11-3 11-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程12,nF FF主動(dòng)力主動(dòng)力: :d()()()dizzizNJMFMFt ()ziMF d()dzziJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程約束力約束力: :21NN,FF知：物理擺復(fù)

8、擺），知：物理擺復(fù)擺）， 。求：微小擺動(dòng)的周期求：微小擺動(dòng)的周期 。aJmO,例例11-411-422dsindOJmgat 解：解：sin微小擺動(dòng)時(shí)，微小擺動(dòng)時(shí)，mgatJO22dd0dd22OJmgat即：即：)sin(tJmgaOO通解為通解為 稱角振幅，稱角振幅， 稱初相位，由初始條件確定稱初相位，由初始條件確定. .OmgaJTO2周期周期求：制動(dòng)所需時(shí)間求：制動(dòng)所需時(shí)間 . .t知：知： ，動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù) 。RFJNO,0f例例11-511-500N0ddtOJfF R t0NOJtfF RNddOJFRf F Rt解：解：1111RFMJt2222MRFJt212

9、2112211iJJiMM21121221,MMRRiJJ1知：知： 。 求：求： 。解：解：ttFF 121221RRi因因 ， ，得，得例例11-611-621nziiiJm r 11-4 11-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1. 1. 簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算(1)(1)均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得420(2d)24ROAARJrr r222mRmRRmJiiz（2 2均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量2diiiAmr r（3 3均質(zhì)圓板對(duì)中

10、心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量2AmR式中：式中：221mRJO 或或2. 2. 回轉(zhuǎn)半徑慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑慣性半徑） mJzz2zzmJ或或2CzzJJmd3 3平行軸定理平行軸定理Czdzz 式中式中 軸為過(guò)質(zhì)心且與軸為過(guò)質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為Cz與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積與兩軸間距離平方的乘積. .2211()CziJm xy )(222yxmrmJ

11、iiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(證明：證明：2CzzJJmd04 4組合法組合法OJ 求：求： .ld知：桿長(zhǎng)為知：桿長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤(pán)半徑為，圓盤(pán)半徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 . .1m2m盤(pán)桿OOOJJJ231mlJO桿2222)2()2(21dlmdmJO盤(pán))83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解：解：21JJJz2222112121RmRm 解：解：222mR l211mR l其中其中2212 ()l RRm由由 ，得，得)(212221RRmJz44121 ()2zJl RR222212121 ()()2l RRRR2

12、1,RRm知：知： 。zJ 求求 ： . .5 5實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法思索：如圖所示復(fù)擺如何確定對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量思索：如圖所示復(fù)擺如何確定對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 O O上，作微幅擺動(dòng)上，作微幅擺動(dòng). .mglJT2由由lm,TJ其中其中 知知, , 可測(cè)得，從而求得可測(cè)得，從而求得 . .6. 6. 查表法查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄壁圓薄壁圓筒筒細(xì)直桿細(xì)直桿體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)簡(jiǎn) 圖圖物體的物體的形狀形狀212lmJCz23lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh2薄壁空薄壁空心球心球空心圓空心圓柱柱圓柱圓柱)3(1221222lRm

13、JJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh23圓環(huán)圓環(huán)圓錐體圓錐體實(shí)心球?qū)嵭那?25zJmRRz52334R2223103(4)80zxyJmrJJmrl)4(80310322lrryxz23r l223()4zJm Rr2243rRz222 r R矩形薄矩形薄板板長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體橢圓形橢圓形薄板薄板2222()444zyymJabmJamJb222122babayxzabh222222()12()12()12zyymJabmJacmJbc)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc222

14、2()121212zyymJabmJamJbbabayxz289. 0289. 0)(12122abh11-5 11-5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1 1對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩CCi iii iLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvCiiCiiirLrmvrmv( )0iiCiiCrmvm rvxyz x y zCCrOimiriririivmr?0()OCiiLrrmv)CiiiirmvrmvCvmCLOCCCLrmvL eddddOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 eeCiiirFrFddddddCCC

15、CCrLmvrmvtttxyz x y zCCrOimirirCv0( )eiF eddCiiLrFt ed()dCCiLMFt質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩外力對(duì)質(zhì)心的主矩. .思索：如何實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？思索：如何實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？動(dòng)量矩守恒定律實(shí)例動(dòng)量矩守恒定律實(shí)例航天器中反作用輪姿航天器中反作用輪姿態(tài)控制系統(tǒng)示意簡(jiǎn)圖態(tài)控制系統(tǒng)示意簡(jiǎn)圖例例11-711-7知：均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為知：均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，沿地面純滾動(dòng)，角速度，

16、沿地面純滾動(dòng)，角速度 為為 。求：圓盤(pán)對(duì)求：圓盤(pán)對(duì)A、C、P三點(diǎn)的動(dòng)量矩。三點(diǎn)的動(dòng)量矩。CAPCAP解：解：點(diǎn)點(diǎn)C C為質(zhì)心為質(zhì)心22mRJLCC點(diǎn)點(diǎn)P P為瞬心為瞬心232mRJLPP或或2321222mRmRmRLRmvLCCP2) 12(212222222mRmRmRLRmvLCCA是否可以如下計(jì)算：是否可以如下計(jì)算：23)(22mRmRJJLCAA ee()CCCmaFJMF 2e22e2ddd()dCCCrmFtJMFt11-6 11-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)隨質(zhì)心平移隨質(zhì)心平移繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)投影式：投影式： eee()CxxCyyCCm

17、aFmaFJMF etene()CtCnCCmaFmaFJMF 以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程. .知：半徑為知：半徑為r r ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，如的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，如下圖下圖. .設(shè)輪的慣性半徑為設(shè)輪的慣性半徑為 ，作用于輪的力偶矩為，作用于輪的力偶矩為M .M .求求輪心的加速度輪心的加速度. .如果圓輪對(duì)地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為如果圓輪對(duì)地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f f ，問(wèn)，問(wèn)力偶力偶M M 必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)? ?C例例11-811-8M解：解：N2CxCyCmaFmaFmg

18、mMFr 2222N,CCCCF rMraMrmrFmaFmg純滾動(dòng)的條件：純滾動(dòng)的條件：sNFf F即即22sCrMf mgrCa0Car知：均質(zhì)圓輪半徑為知：均質(zhì)圓輪半徑為r r 質(zhì)量為質(zhì)量為m m ，受到輕微擾動(dòng)后，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為在半徑為R R 的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如下圖的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如下圖. .設(shè)表面足夠設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng). . 求求: :質(zhì)心質(zhì)心C C 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. .例例11-911-9tCart21, sin2CCaSJmr很小解解: :tsinCmaFmgCJFr cos2mgFrRvmNCrRs0dd2322srRgts)sin(00tssrRg3220, 00vss初始條件初始條件grRvs23,000運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為trRggrRvs32sin230例例11-1011-10知：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為知：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為r r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m，其上焊接，其上焊接剛桿剛桿OAOA，桿長(zhǎng)為，桿長(zhǎng)為r r，質(zhì)量也為，質(zhì)量也為m m。用手扶住圓環(huán)使其在。用手扶住圓環(huán)使其在OAOA水平位置靜止。設(shè)圓環(huán)與地面間為純滾動(dòng)。水平位置靜止。