同濟大學第六版高等數(shù)學上下冊課后答案全集

1、同濟第六版高等數(shù)學上下冊課后答案全集第一章習題111 設A( 5(5 B10 3 寫出AB AB AB及A(AB的表達式 解 AB( 3(5 AB10 5 AB( 10(5 A(AB10 5 2 設A、B是任意兩個集合 證明對偶律 (ABCAC BC 證明 因為x(ABCxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC 所以 (ABCAC BC 3 設映射f X Y AX BX 證明(1f(ABf(Af(B (2f(ABf(Af(B 證明 因為yf(ABxAB 使f(xy(因為xA或xB yf(A或yf(Byf(Af(B 所以 f(ABf(Af(B (2因為yf(ABxAB 使f(xy(因為x

2、A且xB yf(A且yf(B y f(Af(B所以 f(ABf(Af(B 4 設映射f XY 若存在一個映射g YX 使 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射 即對于每一個xX 有IX xx 對于每一個yY 有IY yy 證明 f是雙射 且g是f的逆映射 gf 1 證明 因為對于任意的yY 有xg(yX 且f(xfg(yIy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f為X到Y的滿射 又因為對于任意的x1x2 必有f(x1f(x2 否則若f(x1f(x2g f(x1gf(x2 x1x2 因此f既是單射 又是滿射 即f是雙射 對于映射g YX 因為對每個yY 有g(yxX 且滿足f(xfg(

3、yIy yy 按逆映射的定義 g是f的逆映射 5 設映射f XY AX 證明 (1f 1(f(AA (2當f是單射時 有f 1(f(AA 證明 (1因為xA f(xyf(A f 1(yxf 1(f(A 所以 f 1(f(AA (2由(1知f 1(f(AA 另一方面 對于任意的xf 1(f(A存在yf(A 使f 1(yxf(xy 因為yf(A且f是單射 所以xA 這就證明了f 1(f(AA 因此f 1(f(AA 6 求下列函數(shù)的自然定義域 (1解 由3x20得 函數(shù)的定義域為 (2解 由1x20得x1 函數(shù)的定義域為( 1(1 1(1 (3解 由x0且1x20得函數(shù)的定義域D1 0(0 1(4解

4、 由4x20得 |x|2 函數(shù)的定義域為(2 2 (5解 由x0得函數(shù)的定義D0 (6 ytan(x1解 由(k0 1 2 得函數(shù)的定義域為(k0 1 2 (7 yarcsin(x3 解 由|x3|1得函數(shù)的定義域D2 4 (8 解 由3x0且x0得函數(shù)的定義域D( 0(0 3 (9 yln(x1 解 由x10得函數(shù)的定義域D(1 (10 解 由x0得函數(shù)的定義域D( 0(0 7 下列各題中 函數(shù)f(x和g(x是否相同？為什么？(1f(xlg x2 g(x2lg x(2 f(xx g(x (3 (4f(x1 g(xsec2xtan2x 解 (1不同 因為定義域不同 (2不同 因為對應法則不同

5、x0時 g(xx (3相同 因為定義域、對應法則均相相同 (4不同 因為定義域不同 8 設 求 (2 并作出函數(shù)y(x的圖形 解 9 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內的單調性 (1 ( 1 (2yxln x (0 證明 (1對于任意的x1 x2( 1 有1x10 1x20 因為當x1x2時 所以函數(shù)在區(qū)間( 1內是單調增加的 (2對于任意的x1 x2(0 當x1x2時 有 所以函數(shù)yxln x在區(qū)間(0 內是單調增加的 10 設 f(x為定義在(l l內的奇函數(shù) 若f(x在(0 l內單調增加 證明f(x在(l 0內也單調增加 證明 對于x1 x2(l 0且x1x2 有x1 x2(0 l且x1x2 因為

6、f(x在(0 l內單調增加且為奇函數(shù) 所以f(x2f(x1 f(x2f(x1 f(x2f(x1 這就證明了對于x1 x2(l 0 有f(x1 f(x2 所以f(x在(l 0內也單調增加11 設下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(l l上的 證明 (1兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)(2兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù) 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù) 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù) 證明 (1設F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 如果f(x和g(x都是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x

7、所以F(x為奇函數(shù) 即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù) (2設F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果f(x和g(x都是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果f(x是偶函數(shù) 而g(x是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為奇函數(shù) 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù) 12 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù) 哪些是奇函數(shù) 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1yx2(1x2 (2y3x2x3(3 (4yx(x1(x1(5ysin

8、 xcos x1(6解 (1因為f(x(x21(x2x2(1x2f(x 所以f(x是偶函數(shù) (2由f(x3(x2(x33x2x3可見f(x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù) (3因為 所以f(x是偶函數(shù) (4因為f(x(x(x1(x1x(x1(x1f(x 所以f(x是奇函數(shù) (5由f(xsin(xcos(x1sin xcos x1可見f(x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù) (6因為 所以f(x是偶函數(shù) 13 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù) 指出其周期 (1ycos(x2解 是周期函數(shù) 周期為l2 (2ycos 4x解 是周期函數(shù) 周期為(3y1sin x解 是周期函數(shù) 周期為l2(4yxcos x解 不是周期

9、函數(shù)(5ysin2x解 是周期函數(shù) 周期為l14 求下列函數(shù)的反函數(shù) (1 解 由得xy31 所以的反函數(shù)為yx31(2解 由得 所以的反函數(shù)為(3(adbc0 解 由得 所以的反函數(shù)為(4 y2sin3x 解 由y2sin 3x得 所以y2sin3x的反函數(shù)為(5 y1ln(x2 解 由y1ln(x2得xey12 所以y1ln(x2的反函數(shù)為yex12(6 解 由得 所以的反函數(shù)為15 設函數(shù)f(x在數(shù)集X上有定義 試證 函數(shù)f(x在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界 證明 先證必要性 設函數(shù)f(x在X上有界 則存在正數(shù)M 使|f(x|M 即Mf(xM 這就證明了f(x在X上有

10、下界M和上界M 再證充分性 設函數(shù)f(x在X上有下界K1和上界K2 即K1f(x K2 取Mmax|K1| |K2| 則 M K1f(x K2M 即 |f(x|M 這就證明了f(x在X上有界 16 在下列各題中 求由所給函數(shù)復合而成的函數(shù) 并求這函數(shù)分別對應于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值 (1 yu2 usin x 解 ysin2x (2 ysin u u2x 解 ysin2x (3 u1x2 x11 x2 2解 (4 yeu ux2 x1 0 x21解 (5 yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1e217 設f(x的定義域D0 1 求下列各函數(shù)的定義域 (

11、1 f(x2 解 由0x21得|x|1 所以函數(shù)f(x2的定義域為1 1(2 f(sinx 解 由0sin x1得2nx(2n1 (n0 1 2 所以函數(shù)f(sin x的定義域為2n (2n1 (n0 1 2 (3 f(xa(a>0 解 由0xa1得ax1a 所以函數(shù)f(xa的定義域為a 1a(4 f(xaf(xa(a0 解 由0xa1且0xa1得 當時 ax1a 當時 無解 因此當時函數(shù)的定義域為a 1a 當時函數(shù)無意義18 設 g(xex 求fg(x和gf(x 并作出這兩個函數(shù)的圖形 解 即 即 19 已知水渠的橫斷面為等腰梯形 斜角40(圖137 當過水斷面ABCD的面積為定值S0

12、時 求濕周L(LABBCCD與水深h之間的函數(shù)關系式 并指明其定義域 圖137解 又從得 所以 自變量h的取值范圍應由不等式組h0 確定 定義域為 20 收斂音機每臺售價為90元 成本為60元 廠方為鼓勵銷售商大量采購 決定凡是訂購量超過100臺以上的 每多訂購1臺 售價就降低1分 但最低價為每臺75元 (1將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù) (2將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù) (3某一商行訂購了1000臺 廠方可獲利潤多少？解 (1當0x100時 p90 令001(x01009075 得x01600 因此當x1600時 p75 當100x1600時 p90(x100001910

13、01x 綜合上述結果得到 (2 (3 P3110000011000221000(元 習題121 觀察一般項xn如下的數(shù)列xn的變化趨勢 寫出它們的極限 (1 解 當n時 0 (2解 當n時 0 (3解 當n時 2 (4 解 當n時 0 (5 xnn(1n 解 當n時 xnn(1n沒有極限2 設數(shù)列xn的一般項 問? 求出N 使當nN時 xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù) 當 0001時 求出數(shù)N解 0 要使|x n0| 只要 也就是 取 則nN 有|xn0| 當 0001時 10003 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明(1分析 要使 只須 即 證明 因為0 當nN時 有 所以 (2分析 要使 只須 即 證

14、明 因為0 當nN時 有 所以 (3 分析 要使 只須 證明 因為0 當nN時 有 所以 (4分析 要使|099 91| 只須 即 證明 因為0 當nN時 有|099 91| 所以 4 證明 并舉例說明 如果數(shù)列|xn|有極限 但數(shù)列xn未必有極限 證明 因為 所以0 NN 當nN時 有 從而|un|a|una| 這就證明了 數(shù)列|xn|有極限 但數(shù)列xn未必有極限 例如 但不存在 5 設數(shù)列xn有界 又 證明 證明 因為數(shù)列xn有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M 又 所以0 NN 當nN時 有 從而當nN時 有 所以6 對于數(shù)列xn 若x2k1a(k x2k a(k 證明 xna(n 證

15、明 因為x2k1a(k x2k a(k 所以0 K1 當2k12K11時 有| x2k1a| K2 當2k2K2時 有|x2ka| 取Nmax2K11 2K2 只要nN 就有|xna| 因此xna (n習題131 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 (1 分析 因為|(3x18|3x9|3|x3| 所以要使|(3x18| 只須 證明 因為0 當0|x3|時 有|(3x18| 所以 (2 分析 因為|(5x212|5x10|5|x2| 所以要使|(5x212| 只須 證明 因為 0 當0|x2|時 有|(5x212| 所以 (3 分析 因為 所以要使 只須 證明 因為 0 當0|x(2|時 有 所以 (4

16、分析 因為 所以要使 只須 證明 因為 0 當時 有 所以 2 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 (1 分析 因為 所以要使 只須 即 證明 因為 0 當|x|X時 有 所以 (2 分析 因為 所以要使 只須 即 證明 因為0 當xX時 有 所以 3 當x2時 yx24 問等于多少 使當|x2|<時 |y4|<0001？解 由于當x2時 |x2|0 故可設|x2|1 即1x3 要使|x24|x2|x2|5|x2|0001 只要 取00002 則當0|x2|時 就有|x24|0 001 4 當x時 問X等于多少 使當|x|X時 |y1|001?解 要使 只要 故 5 證明函數(shù)f(x|x|當x0

17、時極限為零 證明 因為|f(x0|x|0|x|x0| 所以要使|f(x0| 只須|x| 因為對0 使當0|x0| 時有|f(x0|x|0| 所以 6 求 當x0時的左右極限 并說明它們在x0時的極限是否存在 證明 因為 所以極限存在 因為 所以極限不存在 7 證明 若x及x時 函數(shù)f(x的極限都存在且都等于A 則 證明 因為 所以>0 X10 使當xX1時 有|f(xA| X20 使當xX2時 有|f(xA| 取XmaxX1 X2 則當|x|X時 有|f(xA| 即 8 根據(jù)極限的定義證明 函數(shù)f(x當xx0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等 證明 先證明必要性

18、設f(xA(xx0 則>0 0 使當0<|xx0|< 時 有|f(xA|< 因此當x0<x<x0和x0<x<x0 時都有|f(xA|< 這說明f(x當xx0時左右極限都存在并且都等于A 再證明充分性 設f(x00f(x00A 則>0 1>0 使當x01<x<x0時 有| f(xA< 2>0 使當x0<x<x0+2時 有| f(xA|< 取min1 2 則當0<|xx0|< 時 有x01<x<x0及x0<x<x0+2 從而有| f(xA|< 即f(

19、xA(xx0 9 試給出x時函數(shù)極限的局部有界性的定理 并加以證明 解 x時函數(shù)極限的局部有界性的定理 如果f(x當x時的極限存在 則存在X0及M0 使當|x|X時 |f(x|M 證明 設f(xA(x 則對于 1 X0 當|x|X時 有|f(xA| 1 所以|f(x|f(xAA|f(xA|A|1|A| 這就是說存在X0及M0 使當|x|X時 |f(x|M 其中M1|A| 習題141 兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之 解 不一定 例如 當x0時 (x2x (x3x都是無窮小 但 不是無窮小 2 根據(jù)定義證明 (1當x3時為無窮小; (2當x0時為無窮小 證明 (1當x3時 因為0 當0

20、|x3|時 有 所以當x3時為無窮小 (2當x0時 因為0 當0|x0|時 有 所以當x0時為無窮小 3 根據(jù)定義證明 函數(shù)為當x0時的無窮大 問x應滿足什么條件 能使|y|104？證明 分析 要使|y|M 只須 即 證明 因為M0 使當0|x0|時 有 所以當x0時 函數(shù)是無窮大取M104 則 當時 |y|104 4 求下列極限并說明理由 (1; (2 解 (1因為 而當x 時是無窮小 所以 (2因為(x1 而當x0時x為無窮小 所以 5 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義 填寫下表f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當0|xx0|時 有恒|f(xA| xx0xx0x0 X0 使當|x|X時 有

21、恒|f(x|Mxx解f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當0|xx0|時 有恒|f(xA| M0 0 使當0|xx0|時 有恒|f(x|MM0 0 使當0|xx0|時 有恒f(xMM0 0 使當0|xx0|時 有恒f(xMxx00 0 使當0xx0時 有恒|f(xA| M0 0 使當0xx0時 有恒|f(x|MM0 0 使當0xx0時 有恒f(xMM0 0 使當0xx0時 有恒f(xMxx00 0 使當0x0x時 有恒|f(xA| M0 0 使當0x0x時 有恒|f(x|MM0 0 使當0x0x時 有恒f(xMM0 0 使當0x0x時 有恒f(xMx0 X0 使當|x|X時 有恒|f(x

22、A| 0 X0 使當|x|X時 有恒|f(x|M0 X0 使當|x|X時 有恒f(xM0 X0 使當|x|X時 有恒f(xMx0 X0 使當xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當xX時 有恒f(xM0 X0 使當xX時 有恒f(xMx0 X0 使當xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當xX時 有恒f(xM0 X0 使當xX時 有恒f(xM6 函數(shù)yxcos x在( 內是否有界？這個函數(shù)是否為當x 時的無窮大？為什么？解 函數(shù)yxcos x在( 內無界這是因為M0 在( 內總能找到這樣的x 使得|y(x|M 例如y(

23、2k2k cos2k2k (k0 1 2 當k充分大時 就有| y(2k|M 當x 時 函數(shù)yxcos x不是無窮大 這是因為M0 找不到這樣一個時刻N 使對一切大于N的x 都有|y(x|M 例如(k0 1 2 對任何大的N 當k充分大時 總有 但|y(x|0M 7 證明 函數(shù)在區(qū)間(0 1上無界 但這函數(shù)不是當x0+時的無窮大 證明 函數(shù)在區(qū)間(0 1上無界 這是因為M0 在(0 1中總可以找到點xk 使y(xkM 例如當(k0 1 2 時 有 當k充分大時 y(xkM當x0+ 時 函數(shù)不是無窮大 這是因為M0 對所有的0 總可以找到這樣的點xk 使0xk 但y(xkM 例如可取(k0 1

24、2 當k充分大時 xk 但y(xk2ksin2k0M 習題151 計算下列極限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù) 極限為零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子與分母的次數(shù)相同 極限為最高次項系數(shù)之比 或 (14解 2 計算下列極限 (1解 因為 所以 (2解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) (3 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) 3 計算下列極限 (1解 (當x0時 x2是無窮小 而是有界變量 (2解 (當x時 是無窮小 而arctan x是有界變量 4 證明本節(jié)定理3中的(2習題151 計算下列極限 (1 解 (2解

25、(3解 (4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù) 極限為零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子與分母的次數(shù)相同 極限為最高次項系數(shù)之比 或 (14解 2 計算下列極限 (1解 因為 所以 (2解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) (3 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) 3 計算下列極限 (1解 (當x0時 x2是無窮小 而是有界變量 (2解 (當x時 是無窮小 而arctan x是有界變量 4 證明本節(jié)定理3中的(2習題 171 當x0時 2xx2 與x2x3相比 哪一個是高階無窮??？ 解 因為 所以當x0時 x2x3是高階無窮小 即x2x3o(2xx2

26、2 當x1時 無窮小1x和(11x3 (2是否同階？是否等價？解 (1因為 所以當x1時 1x和1x3是同階的無窮小 但不是等價無窮小 (2因為 所以當x1時 1x和是同階的無窮小 而且是等價無窮小 3 證明 當x0時 有 (1 arctan xx (2證明 (1因為(提示 令yarctan x 則當x0時 y0 所以當x0時 arctanxx (2因為 所以當x0時 4 利用等價無窮小的性質 求下列極限 (1(2(n m為正整數(shù)(3 (4 解 (1 (2 (3 (4因為(x0 (x0(x0所以 5 證明無窮小的等價關系具有下列性質 (1 (自反性(2 若 則(對稱性 (3若 則(傳遞性證明

27、(1 所以 (2 若 則 從而 因此 (3 若 因此習題181 研究下列函數(shù)的連續(xù)性 并畫出函數(shù)的圖形 (1 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 所以函數(shù)f(x在0 1和(1 2內是連續(xù)的 在x1處 因為f(11 并且 所以 從而函數(shù)f(x在x1處是連續(xù)的 綜上所述，函數(shù)f(x在0 2上是連續(xù)函數(shù) (2 解 只需考察函數(shù)在x1和x1處的連續(xù)性 在x1處 因為f(11 并且 所以函數(shù)在x1處間斷 但右連續(xù) 在x1處 因為f(11 并且f(1 f(1 所以函數(shù)在x1處連續(xù) 綜合上述討論 函數(shù)在( 1和(1 內連續(xù) 在x1處間斷 但右連續(xù) 2 下列函數(shù)在指出的點處間斷 說明這些間斷點屬于哪一類 如果是可去

28、間斷點 則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù) (1 x1 x2解 因為函數(shù)在x2和x1處無定義 所以x2和x1是函數(shù)的間斷點 因為 所以x2是函數(shù)的第二類間斷點 因為 所以x1是函數(shù)的第一類間斷點 并且是可去間斷點 在x1處 令y2 則函數(shù)在x1工程項目部安全管理臺帳（匯總表）附注表(2 x臺帳名稱k (k0 1 2 分公司函數(shù)在點 x k ( k Z 和 ( Z處無定義 因而這些點都是函數(shù)的間斷點集團、子公司將證件復印件存檔因(k0 故xk(k0是第二類間斷點 A1.3項目安全管理組織人員表(kZ 所以x0和項目部驗證后將復印件存檔kZ 是第一類間斷點且是可去間斷點A2.1令y|x01 則函數(shù)在x

29、0處成為連續(xù)的 令時 y0 則函數(shù)在處成為連續(xù)的 (3 x0 會議記要和簽到表各部門自行存檔解 因為函數(shù)在x0處無定義 所以x0的間斷點 又因為不存在 所以x安全投入 (4 x 1解 因為審批表復印存檔所以x1是函數(shù)的第一類不可去間斷點 3 討論函數(shù)的連續(xù)性 若有間斷點 判別其類型 A5.3 在分段點x處 所以xA6.11為函數(shù)的第一類不可去間斷點在分段點x1 因為 所以x1為函數(shù)的第一類不可去間斷點 4 若函數(shù)f(x在點本表由檢查部門存檔，不上報連續(xù)且f(x00 則存在x0的某一鄰域U(當x自查和上級檢查出的隱患均登記(x0時 f0證明 不妨設f(x0>0 因為f(x在x0連續(xù) A8.

30、1 由極限的局部保號性定理 存在的某一去心鄰域應急救援演練相關記錄存檔時f(x安全生產事故登記表從而當xU(x0時 f(x>0 這就是說 則存在x(x0 當xU(x0時特種設備登記表f(x0 5 試分別舉出具有以下性質的函數(shù)f(x的例子特殊工種作業(yè)人員登記表x0 1 2 n 是f(獎懲相關考核和發(fā)放記錄存檔的所有間斷點解 函數(shù)在點x0企業(yè)1 2經濟類型 n 處是間斷的 且這些點是函數(shù)的無窮間斷點 (2發(fā)證單位x在R上處處不連續(xù)證照號碼f(x|在R上處處連續(xù)解 函數(shù)在R上處處不連續(xù) 但|f(x|1在R上處處連續(xù) (3f(在R上處處有定義 但僅在一點連續(xù) 解 函數(shù)在R上處處有定義 它只在x0

31、 習題191 的連續(xù)區(qū)間 并求極限 及 解 函數(shù)在(企業(yè)三類人員登記表 內除點x2和x3外是連續(xù)的 所以函數(shù)f(x的連續(xù)區(qū)間為( 3、(3 2、(2 在函數(shù)的連續(xù)點x0處 在函數(shù)的間斷點x2和x3處 2設函數(shù)f(x與(x在點x0g(x(xminf(x g(x在點x0也連續(xù) 證明 已知 可以驗證 因此 因為 (x所以(xx(x在點0也連續(xù) 3 求下列極限 (1工作崗位(項目經理/(3安考證(4上崗證(5證件號 (6(7解 (1因為函數(shù)是初等函數(shù) f(x在點x0所以 (2因為函數(shù)(sin 2x3是初等函數(shù) f(在點有定義 (3f(xln(2cos2x是初等函數(shù) f(x在點有定義 所以 (4 (5(

32、6 (74 求下列極限 (1(2 (3(4 (5 (6 解 (1 (2 (3 (4 (5 因為 所以 (6 5 設函數(shù) 應當如何選擇數(shù)a 使得f(x成為在( 內的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x在( 內連續(xù) 只須f(x在x0處連續(xù) 即只須 因為 所以只須取a1 習題1101 證明方程x53x1至少有一個根介于1和2之間證明 設f(xx53x1 則f(x是閉區(qū)間1 2上的連續(xù)函數(shù) 因為f(13 f(225 f(1f(20 所以由零點定理 在(1 2內至少有一點(12 使f(0 即x 是方程x53x1的介于1和2之間的根 因此方程x53x1至少有一個根介于1和2之間 2 證明方程xasinxb 其中

33、a0 b0 至少有一個正根 并且它不超過ab證明 設f(xasin xbx 則f(x是0 ab上的連續(xù)函數(shù) f(0b f(aba sin (abb(abasin(ab10 若f(ab0 則說明xab就是方程xasinxb的一個不超過ab的根 若f(ab0 則f(0f(ab0 由零點定理 至少存在一點(0 ab 使f(0 這說明x 也是方程x=asinxb的一個不超過ab的根 總之 方程xasinxb至少有一個正根 并且它不超過ab 3 設函數(shù)f(x對于閉區(qū)間a b上的任意兩點x、y 恒有|f(xf(y|L|xy| 其中L為正常數(shù) 且f(af(b0 證明 至少有一點(a b 使得f(0 證明 設

34、x0為(a b內任意一點 因為 所以 即 因此f(x在(a b內連續(xù) 同理可證f(x在點a處左連續(xù) 在點b處右連續(xù) 所以f(x在a b上連續(xù)因為f(x在a b上連續(xù) 且f(af(b0 由零點定理 至少有一點(a b 使得f(04 若f(x在a b上連續(xù) ax1x2 xnb 則在x1 xn上至少有一點 使證明 顯然f(x在x1 xn上也連續(xù) 設M和m分別是f(x在x1 xn上的最大值和最小值 因為xix1 xn(1 in 所以有mf(xiM 從而有 由介值定理推論 在x1 xn上至少有一點 使 5 證明 若f(x在( 內連續(xù) 且存在 則f(x必在( 內有界證明 令 則對于給定的0 存在X0 只要

35、|x|X 就有|f(xA| 即Af(xA 又由于f(x在閉區(qū)間X X上連續(xù) 根據(jù)有界性定理 存在M0 使|f(x|M xX X 取NmaxM |A| |A| 則|f(x|N x( 即f(x在( 內有界6 在什么條件下 (a b內的連續(xù)函數(shù)f(x為一致連續(xù)？總習題一1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內 (1數(shù)列xn有界是數(shù)列xn收斂的_條件 數(shù)列xn收斂是數(shù)列xn有界的_的條件(2f(x在x0的某一去心鄰域內有界是存在的_條件 存在是f(x在x0的某一去心鄰域內有界的_條件 (3 f(x在x0的某一去心鄰域內無界是的_條件 是f(x在x0的某一去心鄰域內無界的

36、_條件 (4f(x當xx0時的右極限f(x0及左極限f(x0都存在且相等是存在的_條件解 (1 必要 充分 (2 必要 充分(3 必要 充分(4 充分必要 2 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論 設f(x2x3x2 則當x0時 有( (Af(x與x是等價無窮小 (Bf(x與x同階但非等價無窮小 (Cf(x是比x高階的無窮小 (Df(x是比x低階的無窮小 解 因為(令2x1t 3x1u 所以f(x與x同階但非等價無窮小 故應選B 3 設f(x的定義域是0 1 求下列函數(shù)的定義域 (1 f(ex (2 f(ln x (3 f(arctan x (4 f(cos x 解 (1由0ex1得x0

37、 即函數(shù)f(ex的定義域為( 0 (2 由0 ln x1得1xe 即函數(shù)f(ln x的定義域為1 e(3 由0 arctan x 1得0xtan 1 即函數(shù)f(arctan x的定義域為0 tan 1(4 由0 cos x1得(n0 1 2 即函數(shù)f(cos x的定義域為 (n0 1 2 4 設 求ff(x gg(x fg(x gf(x 解 因為f(x0 所以ff(xf(x 因為g(x0 所以gg(x0因為g(x0 所以fg(x0因為f(x0 所以gf(xf 2(x 5 利用ysin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形 (1y|sin x| (2ysin|x| (3 6 把半徑為R的一圓形鐵片 自中心

38、處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐 試將這圓錐的體積表為的函數(shù) 解 設圍成的圓錐的底半徑為r 高為h 依題意有R(22r 圓錐的體積為 (02 7 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 證明 對于任意給定的0 要使 只需|x3| 取 當0|x3|時 就有|x3| 即 所以 8 求下列極限 (1 (2 (3 (4 (5(a0 b0 c0 (6 解 (1因為 所以 (2 (3 (4(提示 用等價無窮小換(5 因為 所以 提示 求極限過程中作了變換ax1t bx1u cx1v (6 因為 所以 9 設 要使f(x在( 內連續(xù) 應怎樣選擇數(shù)a?解 要使函數(shù)連續(xù) 必須使函數(shù)在x0處連續(xù) 因為f(0a 所以當a0時

39、 f(x在x0處連續(xù) 因此選取a0時 f(x在( 內連續(xù) 10 設 求f(x的間斷點 并說明間斷點所屬類形 解 因為函數(shù)f(x在x1處無定義 所以x1是函數(shù)的一個間斷點 因為(提示 (提示 所以x1是函數(shù)的第二類間斷點 又因為 所以x0也是函數(shù)的間斷點 且為第一類間斷點 11 證明 證明 因為 且 所以 12 證明方程sin xx10在開區(qū)間內至少有一個根 證明 設f(xsin xx1 則函數(shù)f(x在上連續(xù) 因為 所以由零點定理 在區(qū)間內至少存在一點 使f(0 這說明方程sin xx10在開區(qū)間內至少有一個根 13 如果存在直線L ykxb 使得當x(或x x時 曲線yf(x上的動點M(x y

40、到直線L的距離d(M L0 則稱L為曲線yf(x的漸近線 當直線L的斜率k0時 稱L為斜漸近線 (1證明 直線L ykxb為曲線yf(x的漸近線的充分必要條件是 (2求曲線的斜漸近線 證明 (1 僅就x的情況進行證明按漸近線的定義 ykxb是曲線yf(x的漸近線的充要條件是 必要性 設ykxb是曲線yf(x的漸近線 則 于是有 同時有 充分性 如果 則 因此ykxb是曲線yf(x的漸近線 (2因為 所以曲線的斜漸近線為y2x1 習題211 設物體繞定軸旋轉 在時間間隔0 t內轉過的角度為 從而轉角是t的函數(shù) (t 如果旋轉是勻速的 那么稱為該物體旋轉的角速度 如果旋轉是非勻速的 應怎樣確定該物

41、體在時刻t0的角速度？解 在時間間隔t0 t0t內的平均角速度為 故t0時刻的角速度為 2 當物體的溫度高于周圍介質的溫度時 物體就不斷冷卻 若物體的溫度T與時間t的函數(shù)關系為TT(t 應怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度？解 物體在時間間隔t0 t0t內 溫度的改變量為TT(ttT(t 平均冷卻速度為 故物體在時刻t的冷卻速度為 3 設某工廠生產x單位產品所花費的成本是f(x元 此函數(shù)f(x稱為成本函數(shù) 成本函數(shù)f(x的導數(shù)f(x在經濟學中稱為邊際成本 試說明邊際成本f(x的實際意義 解 f(xxf(x表示當產量由x改變到xx時成本的改變量 表示當產量由x改變到xx時單位產量的成本 表示當產量

42、為x時單位產量的成本4 設f(x10x2 試按定義 求f (1 解 5 證明(cos xsin x 解 6 下列各題中均假定f (x0存在 按照導數(shù)定義觀察下列極限 指出A表示什么 (1 解 (2 其中f(00 且f (0存在 解 (3 解 f (x0f (x02f (x0 7 求下列函數(shù)的導數(shù) (1yx4 (2 (3yx1 6(4 (5(6(7 解 (1y(x44x414x3 (2 (3y(x1 616x1 6116x 0 6 (4 (5(6(78 已知物體的運動規(guī)律為st3(m 求這物體在t2秒(s時的速度 解v(s3t2 v|t212(米/秒 9 如果f(x為偶函數(shù) 且f(0存在 證明f

43、(00 證明 當f(x為偶函數(shù)時 f(xf(x 所以 從而有2f (00 即f (00 10 求曲線ysin x在具有下列橫坐標的各點處切線的斜率 x 解 因為ycos x 所以斜率分別為 11 求曲線ycos x上點處的切線方程和法線方程式 解ysin x 故在點處 切線方程為 法線方程為 12 求曲線yex在點(01處的切線方程 解yex y|x01 故在(0 1處的切線方程為y11(x0 即yx1 13 在拋物線yx2上取橫坐標為x11及x23的兩點 作過這兩點的割線 問該拋物線上哪一點的切線平行于這條割線？解 y2x 割線斜率為 令2x4 得x2 因此拋物線yx2上點(2 4處的切線平

44、行于這條割線 14 討論下列函數(shù)在x0處的連續(xù)性與可導性(1y|sin x|(2 解 (1因為y(00 所以函數(shù)在x0處連續(xù) 又因為 而y(0y(0 所以函數(shù)在x0處不可導 解 因為 又y(00 所以函數(shù)在x0處連續(xù) 又因為 所以函數(shù)在點x0處可導 且y(00 15 設函數(shù)為了使函數(shù)f(x在x1處連續(xù)且可導 a b應取什么值？解 因為 f(1ab 所以要使函數(shù)在x1處連續(xù) 必須ab1 又因為當ab1時 所以要使函數(shù)在x1處可導 必須a2 此時b1 16 已知求f(0及f(0 又f (0是否存在？解 因為f(0 f(0 而f(0f(0 所以f (0不存在 17 已知f(x 求f (x 解 當x&

45、lt;0時 f(xsin x f (xcos x 當x>0時 f(xx f (x1 因為 f(0 f(0 所以f (01 從而f (x 18 證明 雙曲線xya2上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形的面積都等于2a2 解 由xya2得 設(x0 y0為曲線上任一點 則過該點的切線方程為 令y0 并注意x0y0a2 解得 為切線在x軸上的距 令x0 并注意x0y0a2 解得 為切線在y軸上的距 此切線與二坐標軸構成的三角形的面積為 習題 221 推導余切函數(shù)及余割函數(shù)的導數(shù)公式 (cot xcsc2x (csc xcsc xcot x 解 2 求下列函數(shù)的導數(shù) (1(2 y5x32x3e

46、x (3 y2tan xsec x1(4 ysin xcos x (5 yx2ln x (6 y3excos x (7(8(9 yx2ln x cos x (10解 (1 (2 y(5x32x3ex15x22x ln23ex (3 y(2tan x sec x12sec2xsec xtan xsec x(2sec xtan x (4 y(sin xcos x(sin xcos xsin x(cos xcos xcos xsin x(sin xcos 2x (5 y(x2ln x2xln xx2x(2ln x1 (6 y(3excos x3excos x3ex(sin x3ex(cos xsin

47、 x (7(8(9 y(x2ln x cos x2xln x cos xx2cos xx2 ln x(sin x2x ln x cos xx cos xx2 ln x sin x (103 求下列函數(shù)在給定點處的導數(shù)(1 ysin xcos x 求和 (2求 (3 求f (0和f (2 解 (1ycos xsin x (2 (3 4 以初速v0豎直上拋的物體 其上升高度s與時間t的關系是 求 (1該物體的速度v(t (2該物體達到最高點的時刻 解 (1v(ts(tv0gt(2令v(t0 即v0gt0 得 這就是物體達到最高點的時刻 5 求曲線y2sin xx2上橫坐標為x0的點處的切線方程和法

48、線方程解 因為y2cos x2x y|x02 又當x0時 y0 所以所求的切線方程為y2x 所求的法線方程為 即x2y0 6 求下列函數(shù)的導數(shù) (1 y(2x54(2 ycos(43x(3(4 yln(1x2(5 ysin2x (6(7 ytan(x2(8 yarctan(ex(9 y(arcsin x2(10 ylncos x解 (1 y4(2x541(2x54(2x5328(2x53 (2 ysin(43x(43xsin(43x(33sin(43x (3 (4 (5 y2sin x(sin x2sin xcos xsin 2x (6(7 ysec2(x2(x22xsec2(x2 (8 (9

49、 y (10 7 求下列函數(shù)的導數(shù) (1 yarcsin(12x(2(3(4(5(6(7(8(9 yln(sec xtan x(10 yln(csc xcot x解 (1 (2 (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (10 8 求下列函數(shù)的導數(shù) (1(2(3(4(5ysinnxcos nx (6(7(8 y=lnln(ln x (9(10解 (1 (2 (3 (4 (5 yn sinn1x(sin xcos nxsinnx(sin nx(nxn sinn1xcos x cos nxsinnx(sin nxnn sinn1x(cos xcos nxsin xsin nx n sinn1xco

50、s(n1x (6(7(8 (9 (109. 設函數(shù)f(x和g(x可導 且f2(xg2(x0 試求函數(shù)的導數(shù)解 10 設f(x可導 求下列函數(shù)y的導數(shù)(1 yf(x2(2 yf(sin2xf(cos2x解 (1 yf (x2(x2 f (x22x2xf (x2 (2 yf (sin2x(sin2xf (cos2x(cos2xf (sin2x2sin xcos xf (cos2x2cosx(sin xsin 2xf (sin2x f (cos2x11 求下列函數(shù)的導數(shù) (1 ych(sh x (2 ysh xech x (3 yth(ln x(4 ysh3x ch2x (5 yth(1x2 (6

51、yarch(x21(7 yarch(e2x(8 yarctan(th x(9(10解 (1 ysh(sh x(sh xsh(sh xch x (2 ych xech xsh xech xsh xech x(ch xsh2x (3 (4 y3sh2xch x2ch xsh x sh xch x(3sh x2 (5 (6 (7 (8 (9(10 12 求下列函數(shù)的導數(shù) (1 yex(x22x3 (2 ysin2xsin(x2(3(4(5(6(7(8(9 (10解 (1 yex(x22x3ex(2x2ex(x24x5 (2 y2sin xcos xsin(x2sin2xcos(x22xsin2xsin(x22xsin2xcos(x2 (3 (4 (5 (6 (7 (8(9 (10習題 231 求函數(shù)的二階導數(shù) (1 y2x2ln x(2 ye2x