—函數(shù)極限與連續(xù)

1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)§1.1 函 數(shù) 函 數(shù)一、 函數(shù)的概念1、 函數(shù)的定義定義1.1：設(shè)是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集。若對(duì)于每一個(gè)數(shù)，按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則，總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量是的函數(shù)，記作：， 其中： 自變量，因變量， 對(duì)應(yīng)法則，D該函數(shù)的定義域。幾點(diǎn)說明：定義域D：為自變量的取值范圍，也就是使函數(shù)有意義的一個(gè)數(shù)集。記作：當(dāng)自變量取定時(shí)，與對(duì)應(yīng)的數(shù)值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記作：或 對(duì)應(yīng)法則：是反映與的對(duì)應(yīng)規(guī)則的，即是的函數(shù)關(guān)系，例如：對(duì)應(yīng)法則是：“因變量是自變量的平方”。值域：當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值組成的集合稱為函數(shù)的值域，記作：， 。2

2、、 函數(shù)的兩要素()由函數(shù)的定義可知，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)定義的兩個(gè)要素，如果兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則，那么它們就是同一個(gè)函數(shù)。例1 求下列函數(shù)的定義域。（1）；（2）。解 （1）要使有意義，則分母，解得： 且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?。?）要使有意義，則有，解得： ，所以函數(shù)的定義域?yàn)?。（定義域有三種表示方式，這里要講解一下。）例2 已知函數(shù)，求。解；例3 比較下面幾組函數(shù)是否相同？（1）；（2）； （3）。解 （1）的而 僅當(dāng)時(shí)，才相同 故，不是相同的函數(shù)。（2）的， 的， 而 僅當(dāng)時(shí)，才有相同的對(duì)應(yīng)規(guī)則， 故，不是相同的函數(shù)。（3）的是，的是 僅當(dāng)時(shí)，才有相同的對(duì)應(yīng)規(guī)則， 故，不

3、是相同的函數(shù)。例4 判斷下列函數(shù)是否為相同函數(shù)（1）（2）解：（1）定義域： 的 的 顯然兩個(gè)函數(shù)的定義域是不同的， 與不是相同的函數(shù)。（2）定義域：的 的 ，顯然定義域同 對(duì)應(yīng)法則：的值域 的值域 即：在內(nèi)，與的對(duì)應(yīng)規(guī)則是不一樣的，故 與不是相同的函數(shù)。3、 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法有三種：解析法（公式法）、列表法、圖象法表示。1) 解析法函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。例如：函數(shù)，等等就是用解析法表示的函數(shù)，優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單明確，便于數(shù)學(xué)研究、理論分析和計(jì)算等。當(dāng)在其定義域內(nèi)取任意值時(shí)，可由解析式計(jì)算出相應(yīng)的值。2) 列表法用表格表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。例如：某商品在月份的銷售量調(diào)查表如下：

4、月份123456銷售量605843502539上表給出了月份與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)：很容易找到對(duì)應(yīng)于自變量的某一函數(shù)值。缺點(diǎn)：局限性，不可能列出全部函數(shù)值。3) 圖象法函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用建立在平面直角坐標(biāo)系上的幾何圖形來表示。圖1-1例如：氣象臺(tái)每天用自動(dòng)記錄儀把一天中的氣溫變化情況自動(dòng)描繪在記錄紙（如圖1-1所示）。這是用圖形表示的函數(shù)，氣溫與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系它的定域。當(dāng)時(shí)間在其定義域內(nèi)取任意值時(shí)，在曲線上都可找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的氣溫值。優(yōu)點(diǎn)：方便找出對(duì)應(yīng)某一時(shí)間的溫度值，并能觀察出函數(shù)的變化趨勢(shì)。4、 分段函數(shù)有些函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)定義不是用一個(gè)表達(dá)式完成的，而是把整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間段

5、，與一個(gè)區(qū)間段內(nèi)的對(duì)應(yīng)的函數(shù)值用一個(gè)表達(dá)式給出。分段函數(shù)對(duì)于不能用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，有時(shí)要用兩個(gè)以上的數(shù)學(xué)式來表示同一個(gè)函數(shù)，即在定義域的不同部分，用不同的數(shù)學(xué)式來表達(dá)的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域：是各段函數(shù)自變量取值范圍之并。注：分段函數(shù)是用幾個(gè)式子表達(dá)的同一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)。例5： 已知分段函數(shù)，（1）求、和； （2）求函數(shù)的定義域； （3）畫出函數(shù)圖形。解（1）當(dāng)時(shí)，條件成立，按表達(dá)式計(jì)算，從而。當(dāng)時(shí)，仍有條件成立，仍按這一表達(dá)式計(jì)算，有。當(dāng)時(shí)，條件成立，按表達(dá)式計(jì)算，從而 。（2）分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值范圍之總和，依題設(shè)定義域應(yīng)為：圖1-2，即。（3）

6、函數(shù)圖形由函數(shù)的段與直線的段組成，分別將兩個(gè)圖形對(duì)接在同一圖中，就得到了給定函數(shù)的圖形。（如圖1-2所示）二、 函數(shù)的幾何特性1、 函數(shù)的奇偶性定義1.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對(duì)于任意的，恒有，則稱為偶函數(shù)；（圖象關(guān)于軸對(duì)稱），則稱為奇函數(shù)。（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例如：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是偶函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是奇函數(shù)。例6：判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）； （2）；（3）。解：（1）的，對(duì)任意，有：為偶函數(shù)。（2）的，對(duì)任意，有：為非奇非偶函數(shù)。（3）的：，解得：，對(duì)任意，有：為奇函數(shù)。2、 函數(shù)的單調(diào)性定義1.3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意

7、兩點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的； 當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的。例7：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性（1）； （2）； （3） 。解：（1）的，設(shè)且，有：，即 在內(nèi)是單調(diào)增加的。（2）的，設(shè)且，有：，即 在內(nèi)是單調(diào)減少的。 （3）的，設(shè)且，有： 在內(nèi)，設(shè)有：，即 在內(nèi)是單調(diào)減少的。 在內(nèi)，設(shè)有：，即 在內(nèi)是單調(diào)增加的。注意：函數(shù)在整個(gè)定義域區(qū)間內(nèi)無(wú)單調(diào)性可言。3、 函數(shù)的周期性定義1.4設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的，有，且有恒成立，則稱是周期函數(shù)。實(shí)數(shù)稱為周期。通常我們所說的周期函數(shù)的周期指的是函數(shù)的最小正周期。函數(shù)是周期函數(shù),即有：顯然，都是函數(shù)

8、的周期，而是它的最小正周期。函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)；都是以為周期的周期函數(shù)。注：若是以為周期的函數(shù)，則就是以為周期的函數(shù)。例如： ，； ，4、 函數(shù)的有界性定義1.5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，對(duì)于任意的，恒有，則稱在上有界。否則無(wú)界。函數(shù)圖形介于兩條直線和之間，即有：，這時(shí)稱在內(nèi)是有界函數(shù)。有界函數(shù)圖形必介于平行于軸的兩條直線之間。常見的有界函數(shù)有：，等。 反 函 數(shù)一、 反函數(shù)概念1、 反函數(shù)的定義在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依賴關(guān)系時(shí)，根據(jù)具體問題的實(shí)際情況，需要選定其中一個(gè)為自變量，那么另一個(gè)就是因變量（或函數(shù)）。定義1.6 已知函數(shù)：，若對(duì)于任意一個(gè)，中只有唯一的一個(gè)數(shù)與對(duì)

9、應(yīng)，使得：成立，這就以為定義域確定了一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作：， 按習(xí)慣記法，作自變量，作因變量，于是函數(shù)的反函數(shù)一般寫作：說明：反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域。 函數(shù)與兩者互為反函數(shù)。例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)。（1）； （2）。解：（1）先由直接函數(shù)解出： ， 再將x，y互換，得到按習(xí)慣記法的反函數(shù)為： 。（2）先由直接函數(shù)解出： ，再將x，y互換，得到按習(xí)慣記法的反函數(shù)為： 。例2 求下列函數(shù)的定義域和值域。（1）； （2）。解：（1） 定義域，由，定義域，根據(jù)反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，得： 原函數(shù)的值域即為：。 （2） 定義域，由，定義域 原函數(shù)的值域即。2、 反函

10、數(shù)與直接函數(shù)的關(guān)系在同一直角坐標(biāo)系下，函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線為對(duì)稱。 基本初等函數(shù)一、 基本初等函數(shù)(6種)基本初等函數(shù)是我們中學(xué)已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)，在此，我們僅對(duì)它們及它們的圖象、性質(zhì)作以簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)。包括常值函數(shù)在內(nèi)，基本初等函數(shù)共有6種：1常量函數(shù)：2冪函數(shù)： 定義域隨n而異，但不論n取何值，它在區(qū)間內(nèi)總是有定義的。例如，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，定義域?yàn)椤D像我們分和分別討論。A. 當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象過點(diǎn)和，在內(nèi)單調(diào)增加且無(wú)界。圖1-3冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，冪函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值為；與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱； 若與均為常數(shù)，且，則在點(diǎn)的左側(cè)，曲線在之下， 即時(shí)；而在點(diǎn)的右側(cè)

11、，曲線在之上， 即時(shí)，。B. 當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，在內(nèi)單調(diào)減少且無(wú)界。圖1-4所示。例如：；3指數(shù)函數(shù), , 指數(shù)函數(shù)的圖象如圖1-5所示。圖象特征：因定義域是故恒有，所以指數(shù)函數(shù)圖象全部位于軸上方；當(dāng)時(shí)，它是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，它是單調(diào)減函數(shù)；該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為。常用的指數(shù)函數(shù)是，其中是一個(gè)無(wú)理數(shù)，4對(duì)數(shù)函數(shù)(且)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形如圖1-6所示。圖象特征：因定義域是故圖象全部在軸右方；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)；該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為。軸為指數(shù)函數(shù)的漸進(jìn)線。對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖形關(guān)于直線為對(duì)稱。常用的對(duì)數(shù)函數(shù)有： 和 是以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，稱為常用對(duì)數(shù)函

12、數(shù)，是以為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。（自然對(duì)數(shù)函數(shù)將是本課程中更為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)）5三角函數(shù)三角函數(shù)是統(tǒng)稱，包括：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)。正弦函數(shù)：，如圖1-7所示，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋奶匦允牵河薪?、奇函?shù)、周期函數(shù)（周期為）。余弦函數(shù)：，如圖1-8所示，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它的特性是：有界、偶函?shù)、周期函數(shù)（周期為）。 圖1-9 與都是周期函數(shù)，周期均為。（如圖1-9所示）正切函數(shù)：， （如圖1-10所示）定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它的特性是：無(wú)界、奇函數(shù)、周期函數(shù)（周期為）。余切函數(shù)： （如圖1-11所示）定義域?yàn)?值域?yàn)?，它的特性是：無(wú)界、奇函數(shù)、周期函

13、數(shù)（周期為）。圖1-11圖1-10正割函數(shù)：只需知道，其它不作詳細(xì)討論。余割函數(shù)：只需知道，其它不作詳細(xì)討論。6反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，常用的反三角函數(shù)包括：說明：正弦函數(shù)在其定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，故應(yīng)不存在反函數(shù)。 但如果我們限定自變量的取值范圍，使得函數(shù)在限定的區(qū)間內(nèi)具備單調(diào)性，于是就可以討論三角函數(shù)的反函數(shù)了。反正弦函數(shù)： (如圖1-12所示)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?。圖1-12 反正弦函數(shù)圖象定義域： ； 值域：.但如果我們限定自變量在指定區(qū)間上取值，則它在該區(qū)間就變成了單調(diào)增加，于是在該區(qū)間就有反函數(shù)存在了要點(diǎn)?。ㄈ鐖D1-12所示）反余弦函數(shù)：(如圖1-13所示)，定義域?yàn)?/p>

14、，值域?yàn)椤D1-13 反余弦函數(shù)圖象定義域： ； 值域：.但如果我們限定自變量在指定區(qū)間上取值，則它在該區(qū)間就變成了單調(diào)增加，于是在該區(qū)間就有反函數(shù)存在了要點(diǎn)?。ㄈ鐖D1-13所示）反正切函數(shù)：(如圖1-14所示)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?。反余切函?shù)：(如圖1-15所示)，定義域?yàn)?，值域?yàn)椤D1-15 反余切函數(shù)圖1-14反正切函數(shù) 復(fù)合函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，兩個(gè)變量的聯(lián)系有時(shí)不是直接的，而是通過另一變量間接聯(lián)系起來的。例如：設(shè)，用代替中的，得到。這就是說函數(shù)是由經(jīng)過中間變量復(fù)合而成的。即：是由和這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合在一起構(gòu)成的，我們稱為復(fù)合函數(shù)。1. 定義定義1.7 ：已知兩個(gè)函數(shù)：設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，若的

15、值域的全部或部分能使有意義，則稱是通過中間變量構(gòu)成的函數(shù)，即是的復(fù)合函數(shù)。記作：通常稱為外層函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù)，其中是自變量，是中間變量。幾點(diǎn)說明：并不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。例如，就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)榈闹涤蚴?，?的定義域是。當(dāng)“對(duì)于值所對(duì)應(yīng)的值，無(wú)意義”，則這時(shí)二者就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 給出一般判斷方法：， 定義域 ，值域 當(dāng) 時(shí)，則與才能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)不僅可由兩個(gè)函數(shù)，也可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成。分解復(fù)合函數(shù)時(shí)，多采用“由外向內(nèi)，逐層分解”法。例1 ：已知函數(shù)，求二者而成的復(fù)合函數(shù)。解：。例2 ：已知函數(shù)， 求：三者而成的復(fù)合函數(shù)。解：。例3 ：已知函數(shù)， 求（1

16、）；（2）；（3）。解：（1） （將代換中的得到的）；（2）（將代換中的得到的）；（3） （將代換中的得到的）。注意：“復(fù)合函數(shù)”本質(zhì)就是一個(gè)函數(shù)（不是一類新型的函數(shù)），今后經(jīng)常需要將一個(gè)給定的函數(shù)看成是由若干個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式，叫“分解復(fù)合函數(shù)”。2. 復(fù)合函數(shù)分解法（“由外向內(nèi)”分解法）即由最外層函數(shù)起，層層向內(nèi)進(jìn)行，直到分解出自變量的基本初等函數(shù)為止。例4 ：下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的。（1）；（2）解：（1）令（對(duì)數(shù)函數(shù)），則； 令（反正弦函數(shù)），則；因 （冪函數(shù)），已經(jīng)是基本初等函數(shù)了，所以不用再分解了；是由基本初等函數(shù)，復(fù)合而成的。（2）令（冪函數(shù)），則；(實(shí)

17、際上就是的一種習(xí)慣簡(jiǎn)寫形式。） 而（反正弦函數(shù)），已經(jīng)是基本初等函數(shù)了，不用再分解了；是由基本初等函數(shù)，復(fù)合而成的。例5： 分解下列復(fù)合函數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）。解 （1）是由 復(fù)合而成的；（2）是由 復(fù)合而成的；（3）是由 復(fù)合而成的；（4）是由 復(fù)合而成的。例6：判斷下列函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。（1），； （2），。解：（1），定義域，值域，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。（2），定義域，值域，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 初等函數(shù)初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算而成，且能用一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。例如，函數(shù)； 均為初等函數(shù)。說明：初等函數(shù)的構(gòu)成既有函數(shù)的四則運(yùn)算

18、，又有函數(shù)的復(fù)合，所以我們必須掌握把初等函數(shù)按基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合形式分解開來。復(fù)合函數(shù)一般都是初等函數(shù)。分段函數(shù)不是初等函數(shù)。微積分學(xué)中研究的函數(shù)，主要都是初等函數(shù)。例7 ：將下列函數(shù)按基本初等函數(shù)的復(fù)合與四則運(yùn)算形式分解（1） （2） （3） （4）。解：（1）令 則 又令 則 則 由下列函數(shù)構(gòu)成： （2）令 則 又令 則得到 則由下列函數(shù)構(gòu)成：（3） 由下列函數(shù)構(gòu)成： （4） 由下列函數(shù)構(gòu)成： 函數(shù)關(guān)系的建立(選講)在解決工程技術(shù)問題、經(jīng)濟(jì)問題等實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要找出問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法去分析、研究、解決這些問題。由于客觀世界中變量之間的

19、函數(shù)關(guān)系是多種多樣的，往往要涉及到幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等各門學(xué)科的知識(shí)，因此建立函數(shù)關(guān)系式?jīng)]有一般規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。下面通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來說明建立函數(shù)關(guān)系式的方法。例1 北京到某地的行李費(fèi)按如下規(guī)定收取，當(dāng)行李不超過50千克時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)0.30元/千克計(jì)算，當(dāng)超過50千克時(shí)，超過部分按0.45元/千克收費(fèi)，試求北京到該地的行李費(fèi)(元)與行李重量x (千克)之間的函數(shù)關(guān)系。解： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以行李費(fèi)(元)與行李重量x (千克)之間的函數(shù)關(guān)系為：例2 在一次人才招聘會(huì)上，有、兩家公司分別開出他們的工資標(biāo)準(zhǔn)，公司允諾第一年的月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上年月工資增加23

20、0元，公司允諾第一年的月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上年月工資的基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被、兩家公司同時(shí)錄取，試問：若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則第n年的月工資分別是多少？該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)選擇哪家公司？解：（1）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系如下:此人在A公司第n年的月工資數(shù)為：此人在B公司第n年的月工資數(shù)為：（2）若此人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為：若此人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為：由于在A公司收入略高于在B公司的收入，故此人應(yīng)選擇在A公司工作。例3 (復(fù)利息問題)設(shè)銀行將數(shù)量為的款貸出，每期

21、利率為。若一期結(jié)算一次，則期后連本帶利可收回：；若每期結(jié)算次，則期后連本帶利可收回，此函數(shù)既可看成期數(shù)的函數(shù)，也可看成結(jié)算次數(shù)的函數(shù)?，F(xiàn)實(shí)生活中一些事物的生長(zhǎng)()和衰減()就遵從這種規(guī)律。而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算。例如：細(xì)胞的繁殖、樹木生長(zhǎng)、物體冷卻、放射性元素的衰減等等此類計(jì)算銀行復(fù)利問題會(huì)用到極限概念，我們將在后面極限理論部分中的兩個(gè)重要極限中會(huì)遇到此類問題的極限表示法。§1.2極 限 數(shù)列極限一、 引例引例：(割圓術(shù)) 中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年就用“割圓求周”（簡(jiǎn)稱“割圓術(shù)”）的方法，算出。劉徽注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，且當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增

22、大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積?！案钪畯浖?xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！边@幾句話明確地表明了劉徽的這一思想。如圖1-16所示，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，多邊形的邊就越貼近圓周。圖1-16具體操作如下：先把直徑為1的圓分成六等分，求得內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)；再平分各弧求內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)；這樣繼續(xù)割下去，就得到一個(gè)數(shù)列，若以表示其通項(xiàng)，則的值就是正邊形的周長(zhǎng)，見下表： 表2-1序號(hào)內(nèi)接正多邊形數(shù)（）正多邊形周長(zhǎng)（）163.000000002123.105828543243.132628614483.139350205963.1410319461923.141

23、4524773843.1415576187683.14158389915363.141590461030723.1415921061161443.14159251712122883.14159261913245763.14159264514491523.14159265115983043.141592653 由該表可看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著的無(wú)限增大而無(wú)限地接近于圓的周長(zhǎng)，這正如劉徽所說的，“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！边@個(gè)例子反映了一類數(shù)列的一種性質(zhì)：對(duì)數(shù)列，存在某一個(gè)常數(shù)，隨著的無(wú)限增大，能無(wú)限接近于這一常數(shù)，這時(shí)稱數(shù)列以為極限。二、 數(shù)列極限定義1、

24、數(shù)列按自然數(shù)順序排列成有序的無(wú)窮多個(gè)數(shù)，稱為數(shù)列，數(shù)列通常記作： 則數(shù)列展開為： 一般也簡(jiǎn)記作： 。其中稱為數(shù)列的一般項(xiàng)。我們所要研究的就是當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的變化趨勢(shì)。 觀察下面幾個(gè)數(shù)列：，數(shù)列：，當(dāng)時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)；，數(shù)列：，當(dāng)時(shí)，數(shù)列無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)1；，數(shù)列：；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不趨近于一個(gè)確定的常數(shù)；，數(shù)列：，當(dāng)時(shí)，始終在數(shù)+1和來回跳動(dòng)，它不趨近于一個(gè)確定的常數(shù)。2、 數(shù)列極限定義定義2.1：設(shè)數(shù)列：，若當(dāng)時(shí)，若數(shù)列能無(wú)限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)，則稱常數(shù)A為該數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，并記作： 或 讀作：“當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于”，或 “當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于”。由定義前述4個(gè)

25、數(shù)列表示為： 無(wú)極限；圖1-17 在之間跳動(dòng)，無(wú)極限。例1求數(shù)列的極限。解 由下表和圖1-17可看出，當(dāng)，無(wú)限趨近于1。12341010021.51.3331.251.011.001即說明：應(yīng)當(dāng)注意，并不是任何數(shù)列都有極限。 有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列；沒極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。例2寫出下列數(shù)列，并判斷數(shù)列是否有極限解： 數(shù)列： 當(dāng)時(shí)， （收斂于1）數(shù)列： 當(dāng)時(shí)， （收斂于0）數(shù)列： 當(dāng)時(shí)， 無(wú)極限。 （發(fā)散的）數(shù)列的一種特殊記法如下：象前述出現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)，。對(duì)這類數(shù)列雖無(wú)極限，但有確定的變化趨勢(shì)，我們可以借用極限記法表示為： （發(fā)散的）但一定要注意：該數(shù)列是發(fā)散的，只是我們?yōu)榱搜芯繂栴}方便借用極

26、限的技法表示其變化趨勢(shì)而已。同理，數(shù)列數(shù)列，則可分別表示為： 函數(shù)的極限圖7 個(gè)人所得稅函數(shù)圖前面我們討論了數(shù)列的極限，數(shù)列極限只是一種特殊的函數(shù)極限。它研究的是自變量取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)。下面我們來討論一般函數(shù)的極限問題?？砂凑兆宰兞康膬煞N變化趨勢(shì)來討論函數(shù)的極限。一、 時(shí)函數(shù)的極限1、 的含義例1 ：考察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)。由圖1-18看出：當(dāng)取正值且無(wú)限增大，函數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)圖1-18記作：，讀作：“趨向于正無(wú)窮大” ；當(dāng)取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大，函數(shù)也無(wú)限趨近于常數(shù)記作：， 讀作：“趨向于負(fù)無(wú)窮大”；以后當(dāng)我們討論“當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限”，就是討論“當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)

27、，函數(shù)的變化趨勢(shì)”。（見如下定義）2、 時(shí)函數(shù)極限定義定義2.2 ：設(shè)函數(shù)當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，即時(shí)，若函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作： 或 由定義可知，上例中當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限為0，即 。3、 幾何意義由圖1-18可看出，曲線有兩個(gè)分支： 右側(cè)分支沿軸正向無(wú)限伸遠(yuǎn)時(shí)，越來越接近于直線（但永遠(yuǎn)不會(huì)相交）；左側(cè)分支沿軸負(fù)向無(wú)限伸遠(yuǎn)時(shí)，越來越接近于直線（但永遠(yuǎn)不會(huì)相交）； 于是，我們稱直線為曲線的水平漸近線。但有時(shí)的變化趨向只能或只需考慮這兩種變化中的一種情形。4、 單側(cè)極限有時(shí)，我們討論或時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)：若時(shí)，若函數(shù)能無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作：

28、 若時(shí)，若函數(shù)能無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作： 前面如圖1-18所示，有及，這兩個(gè)極限值與相等，都等于0。由此不難得出極限存在的充分必要條件。5、 極限存在的充要條件 極限存在且等于的充分必要條件是極限與都存在且等于，即：例1 ： 討論下列函數(shù)有無(wú)極限解： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 即 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，即 無(wú)極限。圖1-19例2 ： 求 。解： 如圖1-19所示，因?yàn)?，。所以?不存在。例3 ： 討論下列函數(shù)有無(wú)極限并繪出函數(shù)圖形。； 解： 而 不存在。 而 不存在。二、 時(shí)函數(shù)的極限1、 的含義：表示（是個(gè)有限值），且趨向于，既從的左側(cè)趨近于；：表示（是個(gè)有限值），且趨向于

29、，既從的右側(cè)趨近于；：表示和同時(shí)發(fā)生?！爱?dāng)時(shí)，函數(shù)的極限”，就是在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)討論當(dāng)自變量無(wú)限接近 （但）時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)。例4 ：考察當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)。 為了清楚起見，我們把時(shí)，函數(shù)的變化情況列成下表：1.91.991.99922.0012.012.12.952.9952.999533.00053.0053.05圖1-20由上表及圖1-20可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨近于3。2、 時(shí)函數(shù)極限定義定義2.3：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義（在可以沒定義），若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作： 或 由定義可知，例7中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限為3，即。例5 用圖形法求下列函數(shù)的

30、極限：（1）；（2）。解 （1）如圖1-21可知，無(wú)論從大于零的方向還是從小于零的方向趨近于0，的值總是無(wú)限趨近于0，因此，有=0。圖1-21圖1-22（2）函數(shù)的定義域?yàn)殡m然函數(shù)在處無(wú)定義，但由圖1-22可知，無(wú)論從小于1還是大于1的方向趨近于1，函數(shù)的值總是無(wú)限趨近于2，因此，有。注意： 例（1）中，即在時(shí)的極限值與在時(shí)的函數(shù)值相等；例（2）中函數(shù)在處無(wú)定義，但時(shí)，函數(shù)的極限存在。可見極限值只表示函數(shù)的變化趨勢(shì)，它與該點(diǎn)處的函數(shù)值是兩個(gè)不同的概念。3、 左極限、右極限在處的左極限、右極限，就是僅討論當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的極限問題。圖1-23例如，研究時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，只能從0的右側(cè)趨近于0（如圖

31、1-23）。定義2.4 ：當(dāng)從左側(cè)趨近于（記作）時(shí)，若函數(shù)能無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)則稱A為函數(shù) 當(dāng)時(shí)的左極限，記作：當(dāng)從右側(cè)趨近于（記作）時(shí)，若函數(shù)能無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)當(dāng) 時(shí)的右極限，記作：4、 極限存在的充要條件 由定義2.4得出極限存在且等于的充要條件如下：極限存在且等于的充分必要條件是：極限與都存在且等于即：例6 考察函數(shù) ，當(dāng)時(shí)的極限。解 由圖1-24可知，因?yàn)?，圖1-24所以 不存在。 由上例可知，判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在，只需計(jì)算它在分段點(diǎn)的左極限與右極限。若左極限和右極限存在并且相等，則函數(shù)在分段點(diǎn)的極限存在并且等于左右極限，否則函數(shù)在分段點(diǎn)的

32、極限不存在。例7考察極限和解：設(shè)時(shí)，設(shè)時(shí)，的值無(wú)限趨近于，即由此得出下述結(jié)論： (當(dāng)自變量趨近于定值時(shí)，本身的極限就等于)；和(任何一個(gè)常數(shù)的極限等于它本身)。例8 判定下列極限是否存在 解： 當(dāng) 時(shí)，則 當(dāng) 時(shí)，則 不存在。；， 不存在。當(dāng) 時(shí)，則 三、 關(guān)于函數(shù)極限的幾點(diǎn)說明：1、 由于數(shù)列可以看作是正整數(shù)的函數(shù)，所以數(shù)列的極限可看作是函數(shù)當(dāng)時(shí)極限的特例。2、 函數(shù)（或數(shù)列）是一個(gè)變量，而它的極限是一個(gè)常量，二者之間有本質(zhì)區(qū)別；3、 的極限是否存在，與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)，例如：不存在4、 極限是否存在，與函數(shù)在點(diǎn)有無(wú)定義無(wú)關(guān)；5、 當(dāng)時(shí)，不無(wú)限趨近于一個(gè)定數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)，極限不存在；6、

33、極限存在的充要條件是：左、右極限分別存在且相等。 極限的運(yùn)算法則一、 極限的四則運(yùn)算法則定理 2.2：若在同一變化過程中，設(shè)，則代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和，即：； 常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)的前面，即 乘積的極限等于極限的乘積，即:； 當(dāng)時(shí)，商的極限存在，且:（此四則運(yùn)算法則要求學(xué)生熟記并會(huì)應(yīng)用！）例1 計(jì)算解 根據(jù)極限運(yùn)算法則可得： 原式由此可知，若多項(xiàng)式，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)有一般地：例2 計(jì)算解根據(jù)法則及其推論可得：。一般地，若，表示多項(xiàng)式函數(shù)，且，則有一般地：例3 計(jì)算分析：本例為分式的極限，且分母與分子的極限都是0，通常稱其為“型未定式”，解此類題型采用“先因式分解，然后將極限為0的公因子

34、約去”，再用極限四則運(yùn)算法則求極限即可。解例4 計(jì)算分析：本例為“含有根式的型未定式”，解此類題型采用“分子、分母同乘以分子或分母的共軛因式，然后約去公因式”，再求極限即可。解 =例5 計(jì)算下列極限（1）； （2）； (3)。分析：本例三小題均為分式的極限，且分母與分子的極限都是，通常稱其為“型未定式”， 解此類題型采用“將分子與分母同除以的最高次冪”，再用極限四則運(yùn)算法則即可。解（1）；（2）；（3）。（利用到無(wú)窮大與無(wú)窮小之關(guān)系）一般地，當(dāng)時(shí)，有理分式函數(shù)的極限有以下結(jié)果。 （分子最高次冪=分母最高次冪）利用上面的結(jié)果求有理分式當(dāng)時(shí)的極限非常方便。例6 計(jì)算（1）； （2）； (3)。解：

35、 由上面“型有理分式函數(shù)”一般結(jié)果，可方便得出結(jié)論：（1） ， （） （2） ， （）(3) ， （）例7 計(jì)算分析：（1）“型未定式”，不能直接運(yùn)算，解此類題型采用“將差式化為分式”即可。 （2）分子出現(xiàn)無(wú)理式，同除最高次冪即可。解：兩個(gè)重要極限一、 極限我們給出當(dāng)趨近于0時(shí)函數(shù)的值如下表（由于時(shí)，與保持同號(hào)，因此只需列出取正值趨于0的部分），并作出函數(shù)的圖像，如圖1-25所示。圖1-25（弧度）10000.841470980.841470980.10000.0998334170.998334170.01000.099993340.99993340.00100.000999999840.99

36、999984從上表和圖1-25可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨近于1，即得：1、 第一個(gè)重要極限公式此極限當(dāng)公式來使用，在給定的極限極限過程中，函數(shù)是型。例1 求解：一般地：（可作為公式使用）例2 求解： （令，則當(dāng)）例3 使用倍角公式將化為記住公式：解：（另解）例4 求 解： 一般地：2、 第一個(gè)重要極限公式的推廣3、 使用重要極限公式技巧1 第一個(gè)重要極限公式，只有在時(shí)才成立；2 應(yīng)用此公式推廣公式時(shí)注意，若將換成其他變量，只需滿足：，即： 仍成立 。二、 極限我們給出當(dāng)逐漸增大時(shí)函數(shù)的值如下表，并作出函數(shù)圖像，如圖1-26所示。1 10 100 1000 10000 100000 2 2.

37、59 2.705 2.717 2.718 2.71827 -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.88 2.732 2.720 2.7183 2.71828 圖1-26由上表及圖1-26可以看出：存在，其值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，記作，這個(gè)值就是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。1、 第二個(gè)重要極限公式此極限還有另一種形式：例5：求解 令：，則 ，當(dāng)時(shí)，。另法：例6 求分析： 由于 ，故可應(yīng)用第二個(gè)重要極限公式的第種形式解：令，則 ；當(dāng) 時(shí)，于是原式另解：例7 求解一般地：數(shù)是一個(gè)十分重要的常數(shù)，無(wú)論在生命科學(xué)中，還是在金融界都有許多應(yīng)用，數(shù)學(xué)中研究的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都是以為底的，后面將看到，以

38、為底的的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)具有良好的性質(zhì)。2、 第二個(gè)重要極限公式的推廣或3、 使用重要極限公式技巧1 第二個(gè)重要極限公式兩種形式：和 ，均為 型 ；2 應(yīng)用此公式推廣公式時(shí)注意，若將換成其他變量，只需滿足： ，即： 或 仍成立。例8 已知 ，為常數(shù)，求 ： 的值 。解： 而已知 ， ，即有： 例9求下列極限； 解： 由對(duì)數(shù)性質(zhì)可知： ，又知： ，故：說明：極限和對(duì)數(shù)符號(hào)可交換前后位置變成。（解題關(guān)鍵?。o(wú)窮小與無(wú)窮大一、 無(wú)窮小在現(xiàn)實(shí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到“以零為極限”的變量。例如：當(dāng)時(shí)，的極限為零；當(dāng)時(shí)，的極限也為零。1、 定義定義2.5：如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限為零，則函數(shù)就叫做當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量，

39、簡(jiǎn)稱“無(wú)窮小”。（極限為零的變量稱為無(wú)窮小）記作：稱為時(shí)的無(wú)窮小。顯然，當(dāng)時(shí)，均為無(wú)窮??；時(shí)，也均為無(wú)窮小。理解無(wú)窮小應(yīng)注意：無(wú)窮小是變量。它在某一變化過程中無(wú)限趨向于零。無(wú)窮小總是和某一極限過程相聯(lián)系。例如，在時(shí)是無(wú)窮小，但在時(shí)就不是無(wú)窮小了。很小的常量也不是無(wú)窮小。（常量中惟有數(shù)“0”是無(wú)窮?。┮颍ǚ蠠o(wú)窮小定義。）2、 無(wú)窮小性質(zhì)性質(zhì)1：有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小。性質(zhì)2：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。性質(zhì)3：常量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。性質(zhì)4：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。例1 試判斷下列變量在時(shí)是不是無(wú)窮小量。解為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮?。ㄐ再|(zhì)1）即當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小。時(shí)，是無(wú)窮小，為有界函數(shù)（性

40、質(zhì)2）即當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小。時(shí)，是無(wú)窮?。ㄐ再|(zhì)3）即為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小。為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮?。ㄐ再|(zhì)4）即為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小。注意：一定要注意性質(zhì)1，2中“有限個(gè)”的含義，因?yàn)槿绻菬o(wú)限個(gè)無(wú)窮小的“和”或“積”，結(jié)果就不一定是無(wú)窮小了。例2 求極限解：當(dāng)時(shí)，均為無(wú)窮小，此題為“無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和”（結(jié)果不為?。├?求解：當(dāng)時(shí)，即是無(wú)窮小，而，故為有界函數(shù)，所以由性質(zhì)4得：例4 求下列極限（1）（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，即是無(wú)窮小量，且為有界，（無(wú)窮小性質(zhì)4）（2）當(dāng)時(shí)，即是無(wú)窮小量，且，為有界，（同上）二、 無(wú)窮大1、 定義定義2.6 ：如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么函數(shù)就叫做當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱“無(wú)窮大”。（絕

41、對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大），記作：例如：當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值無(wú)限增大，是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大，記作：；當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值無(wú)限增大，是時(shí)的無(wú)窮大，記作：理解無(wú)窮大應(yīng)注意：無(wú)窮大是變量，不能把絕對(duì)值很大的常數(shù)誤認(rèn)為是無(wú)窮大，因?yàn)槌?shù)在時(shí)，其絕對(duì)值不會(huì)無(wú)限增大。無(wú)窮大總是和某一極限過程相聯(lián)系。三、 無(wú)窮小與無(wú)窮大關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義容易理解，在同一變化過程中，無(wú)窮小與無(wú)窮大之間有下述關(guān)系：1. 若是無(wú)窮大, 則是無(wú)窮小;2. 若是無(wú)窮小且, 則是無(wú)窮大。例如：當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，即而為無(wú)窮大，即例3 直觀判斷變量，當(dāng)時(shí)是無(wú)窮??；當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大。解：當(dāng)時(shí)，所以是無(wú)窮??；當(dāng)時(shí)，即是無(wú)窮小，所以是無(wú)窮大。例4 計(jì)算分析

42、：本例為分式的極限，且分母極限為0，故不能直接用商的運(yùn)算法則計(jì)算這類題。解此類題型采用“先將分子與分母顛倒”的方法，再利用“無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系”求極限。解由于分母，而分子，所以將分子與分母顛倒后，即：可見為無(wú)窮小，由“無(wú)窮大與無(wú)窮小關(guān)系”可知為無(wú)窮大，從而可求出原式的極限便為：例5 利用無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系求極限。解：設(shè)當(dāng)時(shí)，即于是為時(shí)的無(wú)窮小，則為時(shí)的無(wú)窮大，設(shè)當(dāng)時(shí)，即則為時(shí)的無(wú)窮小，則為時(shí)的無(wú)窮大，求函數(shù)極限方法歸納一、 極限運(yùn)算法則求極限1、求極限； 解：2、求極限； 解：由于分母的極限 故由商的極限運(yùn)算法則有：二、 “未定式”求極限型未定式1、求極限； 解：；2、求極限解：。型未定式

43、3、求下列極限（1）； （2）；(3)解（1）； （2）；（3） 因?yàn)椋孕臀炊ㄊ?、求下列極限（求型未定式）方法：先通分，再約分。； 解：。三、 “兩個(gè)重要極限”求極限1、求下列極限為常數(shù))； 解：。 。2、求下列極限； 解：。 2、求分析：由于 ，故可應(yīng)用第二重要極限公式的第種形式解 令 ，則 ；當(dāng) 時(shí)，于是另解：四、 “無(wú)窮小性質(zhì)”求極限1、 求極限解： 當(dāng)時(shí)，即是無(wú)窮小量，且為有界函數(shù)， （有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮?。?、 求極限解：此題一定要注意不要錯(cuò)用“第一重要極限公式”求解（錯(cuò)誤原因： 沒注意第一重要極限公式使用條件！）( )所以改用無(wú)窮小性質(zhì)求此題如下:時(shí)，為無(wú)窮小，而

44、，故為有界函數(shù)，（有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小）五、 “無(wú)窮大與無(wú)窮小關(guān)系”求極限1、 求下列極限 ；。解，即為時(shí)的無(wú)窮?。粍t它的倒數(shù)為時(shí)的無(wú)窮大，即 ，即為時(shí)的無(wú)窮小；則它的倒數(shù)為時(shí)的無(wú)窮大，即 六、 復(fù)合函數(shù)求極限定理 2.3：設(shè)則存在，且：上式顯然可以寫成：說明：求復(fù)合函數(shù)極限的時(shí)候，極限符號(hào)“”與函數(shù)符號(hào)“”就可以交換次序。即極限運(yùn)算可以移到內(nèi)層函數(shù)上去實(shí)施。1、 求解：因?yàn)?，所以注：函?shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，稱其為冪指函數(shù)， 因?yàn)椋?故冪指函數(shù)可化為復(fù)合函數(shù)。2、 求解：由對(duì)數(shù)性質(zhì)可知： ，又知： ，故： （復(fù)合函數(shù)求極限）3、 計(jì)算下列極限； 解： 由對(duì)數(shù)性質(zhì)可知： ，又知：

45、 ，故：七、 連續(xù)函數(shù)求極限1、 求解：2、 求解：由于一且初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，又由可得：§1.3 函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)連續(xù)性現(xiàn)實(shí)世界中很多變量的變化是連續(xù)不斷的。如：氣溫的變化、物體運(yùn)動(dòng)的路程變化、金屬絲加熱時(shí)程度的改變等等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性，它是微積分的又一重要概念。下面我們先引入函數(shù)改變量的概念。一、 函數(shù)改變量的概念1、 自變量的改變量設(shè)函數(shù)的自變量由初值變到終值，則終值與初值之差，就叫做自變量的改變量，記作：注意：可以是正的，也可以是負(fù)的。 2、 函數(shù)的改變量 設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由時(shí)變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量為，記作：例1 設(shè)，求符合下列條件的與 ； ； 解：；二、 連續(xù)函數(shù)的概念氣溫是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)時(shí)間變化不大時(shí)，氣溫的變化也不大；物體運(yùn)動(dòng)的路程是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)時(shí)間變化不大時(shí)，路程的變化也不大；金屬絲的長(zhǎng)度是溫度的函數(shù)，當(dāng)溫度變化不大時(shí)，長(zhǎng)度的變化也不會(huì)大 對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的一點(diǎn)，如果自變量在點(diǎn)處取得極其微小的改變量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量也極其微小，且當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的。再觀察下面的四個(gè)函數(shù)曲線，可以看到，這四條函數(shù)曲線在處都斷開了。