中南大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題

1、中南大學(xué)2002-2011年研究生考試數(shù)學(xué)分析試題2002年一、求下列極限（1）；（2）；（3）。二、（共16分，每小題8分）設(shè)函數(shù)，（1）證明連續(xù)；（2）是否一致連續(xù)？（請(qǐng)說(shuō)明理由）。三、（共16分，每小題8分）（1）設(shè)，求階全微分；（2）設(shè)，變換以下方程。四、（共20分，每小題10分）（1）求積分；（2）求曲面 ，和所圍成的體積。五、（共12分，每小題6分）設(shè)，（1）求的條件收斂域；（2）求的絕對(duì)收斂域。六、證明：積分是參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。七、（8分）設(shè)定義于上的函數(shù)存在三階的導(dǎo)函數(shù)，且，證明：。2003年一、（共27分，每小題9分）求下列極限（1）；（2）；（3）設(shè)在上可積，且，求。二、（共

2、24分，每小題12分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，（1）證明：若存在，則在上一致連續(xù)；（2）上述逆命題是否成立？（請(qǐng)給出證明或舉出反例）。三、（共27分，每小題9分）設(shè)（1）求偏導(dǎo)數(shù)和；（2）討論函數(shù)和在原點(diǎn)的連續(xù)性；（3）討論在原點(diǎn)的可微性。四、（共30分，每小題15分）（1）求在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂半徑；（2）計(jì)算三重積分，其中是由曲面與平面所圍的區(qū)域。五、（12分）計(jì)算下列曲面積分，其中，積分是沿曲面的外側(cè)。六、（共15分，每題5分）設(shè)（1） 求關(guān)于的收斂性；（2）在上述收斂域中是否一致收斂？（3）討論的條件收斂性和絕對(duì)收斂性。七、（共8分，每題4分）設(shè)，發(fā)散，記，證明：（1）發(fā)散； （2）收斂

3、。八、（8分）設(shè)定義于的實(shí)值函數(shù)在右連續(xù)，且對(duì)任何實(shí)數(shù)，都滿足證明： （為常數(shù)）2004年1證明：若數(shù)列收斂，則它有且只有一個(gè)極限。 （20分）2證明下列結(jié)論：（a）； （10分）（b）序列收斂。 （20分）3設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在上，恒有。（20分）4在區(qū)間和上，分別討論級(jí)數(shù)的一致收斂性。 （20分）5考察函數(shù)在原點(diǎn)處的可微性。 （20分）6設(shè)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，則是的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 （20分）7設(shè)和滿足及 又設(shè)可微，非增，則 （20分）2005年一、（共30分，每小題10分）（1）求極限（2）求極限（3）設(shè)證明其中，二、（共20分，每小題10分）分別討論函數(shù)在下

4、列區(qū)間中是否一致連續(xù)：（1），這里為隨便多大的正數(shù)；（2）在區(qū)間上。三、（20分）證明下列拉格朗日定理并敘述其幾何意義：“若函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使?！彼摹ⅲ?0分）求半徑為的球內(nèi)嵌入有最大體積的圓柱體的體積。五、（共36分，每小題12分）（1）求積分；（2）求第一類曲面積分其中為體積的邊界；（3）分別研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在下列區(qū)間上的一致收斂性：（a）在上，其中（b）在上。六、（12分）設(shè)是上的非負(fù)可積函數(shù)序列，且存在。若，有；證明對(duì)任何一個(gè)上的連續(xù)函數(shù)都有。七、（12分）設(shè)，都是周期函數(shù)，且；證明。2006年一、 判斷題：（每題5分，共25分）（1） 若級(jí)數(shù)收斂，則 （）；

5、（2） 收斂的數(shù)列一定有界. （）；（3） 開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù). （）；（4） 若函數(shù)在點(diǎn)附近具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則在處達(dá)到極小值. （）；（5） 若函數(shù)在上有定義且是連續(xù)的，而且極限存在且有限，則在此區(qū)間上一致連續(xù). （）.二、 求下面數(shù)列的極限值：（每小題10分，共30分）（1）其中為常數(shù)；（2）；（3）三、 求下列函數(shù)的極值：（每小題10分，共20分）（1）；（2）四、 （20分）設(shè)收斂，收斂，試證明級(jí)數(shù)收斂.五、 （15分）若非負(fù)函數(shù)在上連續(xù)，且則六、 （20分）設(shè)在上連續(xù)，證明其中七、（20分）若函數(shù)（1）在區(qū)間上有二階導(dǎo)函數(shù)，（2）則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得20

6、07年一、 判斷題：（正確的打，錯(cuò)誤的打×，每題5分，共25分）（1） 任何定義在上的函數(shù)都可以表示成一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和。 （）（2） 設(shè)連續(xù)且，則 （）（3） 若序列收斂，則和必有一序列收斂。 （）（4） 若對(duì)任意，函數(shù)在上連續(xù)，則在內(nèi)連續(xù)。 （）（5） 若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且有極大值點(diǎn)，則。 （）二、 求下列極限值：（每小題10分，共20分）（1）；（2）其中三、 （20分）求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。四、 （15分）試證明時(shí)五、 （20分）試求六、 （25分）設(shè)為的連續(xù)函數(shù)，證明七、 （25分）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)且非常數(shù)函數(shù)，試證明，在中至少存在一點(diǎn)，使得2008年一、判斷

7、題（5分，共25分）（1） 若函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（2） 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)每一點(diǎn)存在有限的左導(dǎo)數(shù)，且，則至少存在一點(diǎn)使得在處的左導(dǎo)數(shù)等于0（3） 若序列和序列都收斂，則序列和序列必收斂（4） 若函數(shù)是在區(qū)間上的連續(xù)遞增函數(shù)，則在內(nèi)可導(dǎo)且（5） 若序列收斂，則它一定有界一、 計(jì)算題（10分，共20分）（1）求級(jí)數(shù)（2）求積分三、（20分）在什么條件下三次拋物線與軸相切？并求出其切點(diǎn)四、（15分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有有界的導(dǎo)函數(shù)，證明在內(nèi)一致連續(xù)五、（20分）若在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明六、（25分）設(shè)：（i）在閉區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（ii）在區(qū)間內(nèi)有三階導(dǎo)函數(shù)；（iii）且下

8、面等式成立：及證明在內(nèi)存在一點(diǎn)使得七、（25分）設(shè)0且，定義函數(shù)證明（i）是內(nèi)的下凸函數(shù)（ii）在內(nèi)有根的充要條件是02009年一、 計(jì)算題（10分，共60分）1、 計(jì)算極限2、 已知，求3、 已知條件收斂，計(jì)算極限4、 求空間曲線在處的法平面方程5、 計(jì)算曲面被柱面所截下那一部分的面積6、 計(jì)算，其中是曲面上的部分，并取外側(cè)二、（20分）證明在上一致連續(xù)，但不一致連續(xù)三、（15分）已知在處取得極小值。假設(shè)在鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，證明四、（20分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域；如果其和函數(shù)是，證明：時(shí)恒有五、（25分）設(shè)在內(nèi)是可微函數(shù)，令如果，求六、設(shè)，證明函數(shù)列在上一致收斂2010年1. 計(jì)算題(每小題10分，共60分)1. 計(jì)算極限 2. 設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，在x=0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)f(x)0，且 求 3. 求曲面 上平行于平面 的切平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程.4. 設(shè) 當(dāng) 時(shí)，求 .5. 計(jì)算曲面積分 ， 其中S為球面 .6. 計(jì)算 其中是邊長(zhǎng)為a的正立方體的表面，并取外側(cè).2. 設(shè) 在上連續(xù)，且 證明 (20分).3. 設(shè)是由所圍成的閉區(qū)域，求函