數(shù)列求和7種方法方法全,例子多

1、1、等差數(shù)列求和公式： Sn2、等比數(shù)列求和公式:Snn13、Snkn(n 1)k 12例1已知lOg3X1log2 3解:由 lOg3X1log2 3由等比數(shù)列求和公式得門佝 a.)_ n(nna2 2ai(1 qn) aia.q1 q 1 q4、Sn23n求 XXXxlog3 X log3 2 x23SnX X X數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法

2、、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定 的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1)d(q 1)(q 1)n 21k2n(n 1)(2 n 1)k 16的前n項和.12Xn(利用常用公式)1 1 x(1 xn)=汕 R = 1 _ 丄1 x彳 12n1 一2例 2設(shè) Sn = 1+2+3+n , n N

3、*,求 f (n)(n§的最大值.32) Sn 1解：由等差數(shù)列求和公式得S1)，Sn1-(n 1)(n 2)(利用常用公式)2Sn150150 f( n)n(n 32) Sn 1 n 34n 641164 l 8 2n 34( n =)50nn二當(dāng) In 命，即 n = 8 時，f (n)max的前n項和S n = 2 1,則*八；題 2 .若 12+2 2+ +( n-1) 2= an3+ bn2+ cn ,貝U a=, b=, c=(難一1)愆(2陽一 12把'一3聊，+昶111解：原式=1答案： -'二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所

4、用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1n 1n 1解：由題可知，(2n 1)x 的通項是等差數(shù)列2n 1的通項與等比數(shù)列x 的通項之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn(設(shè)制錯位)得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn (錯位相減)1 xn 1再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xnx)2(1例4求數(shù)列2,62 2Q n尹前n項的和.解:由題可知,2 ' ?3 '爭的

5、通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列*的通項之積練習(xí)題設(shè)Sn2Sn2222"一得（12n42242)S2n 1_6_23622n班2n2門i2 22" 3（設(shè)制錯位） Sn 4 仔已知 h ,求數(shù)列an的前項和Sn.答案:=n-2" - 1-2C - 21 - - - -2"-1 = n*2n - 2" +12-1練習(xí)題的前n項和為答案:三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原例5求證：C：3cn5C；(2n1)C：(n 1)2n證明：設(shè)Snc3C15C；(2n1)C：.把式右邊

6、倒轉(zhuǎn)過來得Sn(2n1)C:(2n1)Cnn 13C c (反序)又由n mCn可得Sn (2n1)C°(2n1)C：3C：1nCn.+得2Sn(2n2)(C°cnn 1nCnCn ) 2( n 1)2n （反序相加）Sn(n1) 2nan).數(shù)列相加，就可以得到 n個.S (2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)3例 6 求 sin21 sin22 sin2 32 2sin 88 sin 89 的值(1 )(2)2 2解：設(shè) S sin 1 sin 2將式右邊反序得S sin 2 89sin288又因為 si nx cos(90+得2S (sin 21cos21

7、 )S= 44.5已知函數(shù)證明：亠；sin2 3sin2 3x),s in22 2sin 2 88 sin2 89sin 2 2sin212x cos(反序相加)(sin2 2cos2 22 2(sin 89 cos 89 ) = 89求召戶扁低戶L10丿的值.解：(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊(2 )利用第(1 )小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,兩式相加得:2£ =沙/丄丄U®丿丿10S =-所以A 1練習(xí)、求值：四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1

8、 1 1例7求數(shù)列的前n項和：1 1,4,-2 7,，一百 3n 2，a aa1 1 1解：設(shè) Sn (1 1) ( 4) (-y 7)(f 3n 2)aaa將其每一項拆開再重新組合得1Sn (1a12 a1n1)(14a73n 2)(分組)當(dāng)a = 1時,Snn(3n1)n(3n1)n（分組求和）22當(dāng)a 1時,Sn11F (3n 1)n .1 na a(3n 1)n11 2a 12a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1) 的前n項和.解：設(shè)ak k（k1)(2k1)2k3 3k2 knn& k(k 1)(2k 1) =(2k3 3k2 k)k 1k 1將其每一項拆開再重新組合得nk (

9、分組)nnSn = 2 k33 k2k 1k 1=2(13 23n3) 3(12 22n2)(1 2 n)n2(n 1)22n(n 1)(2 n 1)2晉（分組求和）2n(n 1) (n 2)2五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)f(n 1)f(n)(2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)(2n)2(2n 1)(2 n 1)(5)an1n(n 1)( n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)a

10、n1n 1n 212(n 1) nn(n 1) 2nn(n 1)2nn 2n 1 (n 1)2n,則 Sn11(n 1)2n(7) an1(An B)(A n C)1 1 1C_(_B An C)(8) an1 1 1例9 求數(shù)列,的前n項和.1 J2 <2J3Jn Jn 1解：設(shè)an.n 1. n (裂項)（裂項求和）=(.2 1)(32)=、n 1 1例 10在數(shù)列an中，an12n 1n 1解：12nann 1n 1n 1Ui21 18('')（裂項）n n 1n n 12 2數(shù)列bn的前n項和Sn11 1118(1 J( )J)22 3341丿8n8(1 -n1n

11、 1例 11求證：11cos0 cos1cos1cos2解:設(shè)S11cos0 cos1cos1cos 2則Sn(n 1 n)n2，又bn-，求數(shù)列bn的前n項的和n 1an an 1n21 1()(裂項求和)n n 11cos12cos88 cos89 sin 11cos88 cos89si n1cos n cos(n 1)tan(n 1) tann (裂項)1cos0 cos11cos1 cos21cos88 cos89（裂項求和）sin 1(tan 1tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan3tan 2 ) tan 89 tan 88 11cos1sin 1(tan 89 tan

12、O ) = cot1 =2_sin 1sin 1原等式成立1(3w- 2)x(3/s + l)n答案：-1練習(xí)題2 。六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn .例 12求 cosl ° cos2 ° cos3 ° + cos178 ° cos179。的值° + cos178 ° cos179解：設(shè) Sn= cos1 ° cos2 ° cos3cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項)/Sn=(cos1

13、 ° cos179 ° )+ ( cos2 ° cos178 ° )+ (cos3 ° cos177 ° )+ + (cos89 °+ cos91 °)+ cos90 ° (合并求和)=0例 13數(shù)列an: a11,a23 a32,an 2an 1an ,求 S2002 .解：設(shè) S2002 = a1a2a3a2002由 a11, a23,a32, an 2an 1 an可得-a6k 1a6k 2a6k3 a6k 4a6k5 a6k 60 （找特殊性質(zhì)項）S2002 = a1a2a3a2002（合并求和）

14、ai999a2000a200ia2002=a6k ia6k 2a6ka6k 4例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5 a69,求 log3 ai log3 a2log3 aio 的值.解：設(shè) Sn log3 ai log3a2log 3 aio由等比數(shù)列的性質(zhì) m n p qam ana paq(找特殊性質(zhì)項)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga M logalog a M NSn(log3 ailog3aio) (log3 a2log3 a9)(log3 a5log3 a6)(合并求和)練習(xí)、求和:=(log 3 4=log3 9=ioaio) (log 3 a2 a9 )(log3 a5a6)lo

15、g3 9log3 9練習(xí)題i 設(shè)i-一-一 1一-,則二練習(xí)題 2 若 Sn=i-2+3-4+(-i) n-i n，則 Si7+ S33 + S 50 等于A.i B.-i C.OD .2解：對前n項和要分奇偶分別解決，即:Sn=答案:練習(xí)題 3i00 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-i2 的值是A.5000B.5050C.i0i00D.20200+(2+i)=5050.答案：B解：并項求和，每兩項合并，原式=(i00+99)+(98+97)+七、禾U用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重

16、要的方法例 15求 1 11 1111111之和.n個 1解：由于111k個 11(10k1）（找通項及特征）1 11 111=1(101 1)9111n個 1丄(10291)(103 1)916（10）（分組求和）112=6(10 1010310n) 9(11)1 10(10n 1)910 11n 1=81(10 109n)例16已知數(shù)列an：an解:/ (n1)(an(n11)(an提高練習(xí):設(shè)數(shù)列anbn設(shè)數(shù)列Cn2.設(shè)二次方程a(nan 1)an 1 )中，Sn是其前an 1 2an（na n n,(n 1,2,nX8(n3r求(n 1)(an an 1)的值.11)( n 1)(n3)（n 2）（n4）（找通項及特征）=8 (n 2)(n4(丄n 1 n 24) (n1?。?/p>